miniatur|Graph der Clausen-Funktion (rot) und (grün)
In der Mathematik ist die Clausen-Funktion (nach Thomas Clausen) durch das folgende Integral definiert:
Allgemeine Definition Allgemeiner definiert man für komplexe mit :
Diese Definition kann auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortgesetzt werden.
Verallgemeinerte Definition mini|Beispiele von Glaisher-Clausen-Funktionen im Intervall . mini|Beispiele von Standard-Clausen-Funktionen im Intervall . Eine verallgemeinerte Definition der Clausen-Funktionen für lautet:
Clausen-Funktionen der Form sind Glaisher-Clausen-Funktionen (nach James Whitbread Lee Glaisher) und sind Standard-Clausen-Funktionen.
Beziehung zum Polylogarithmus Die Clausen-Funktion steht in Beziehung zum Polylogarithmus:
.
Kummers Beziehung Ernst Kummer und Rogers führen folgende für gültige Beziehung an:
Beziehung zu den Dirichlet L-Funktionen Für rationale Werte von kann die Funktion als periodischer Orbit eines Elementes einer zyklischen Gruppe aufgefasst werden. Folglich kann als einfache Summe aufgefasst werden, welche die hurwitzsche Zeta-Funktion beinhaltet. Das erlaubt es, Beziehungen zwischen bestimmten dirichletschen L-Funktionen einfach zu berechnen.
Die Clausen-Funktion als eine Regularisierungs-Methode Die Clausen-Funktion kann auch als Methode betrachtet werden, um folgenden divergenten Fourier-Reihen eine Bedeutung zu geben:
was mit bezeichnet werden kann. Durch Integration erhält man:
Dieses Ergebnis kann durch analytische Fortsetzung für alle negativen verallgemeinert werden.
Reihenentwicklung Eine Reihenentwicklung für die Clausen-Funktion (für ) ist
ist dabei die riemannsche Zeta-Funktion. Eine schneller konvergierende Reihe ist
Die Konvergenz wird dadurch sichergestellt, dass für große schnell gegen 0 konvergiert.
Spezielle Werte
Allgemeine Spezielle Fälle Einige Spezialfälle sind gegeben durch:
(für )
Weitere Spezialfälle sind:
wobei der Polylogarithmus ist,
für wobei das Arkustangensintegral ist,
wobei Barnessche G-Funktion und die Gammafunktion ist,
,
wobei der verallgemeinerte Logsinus ist
wobei die dirichletsche Beta-Funktion ist.
Spezifische Fälle Einige spezielle Werte sind:
, , , , , und
wobei K die catalansche Konstante ist.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Mathematische Funktion