Direkte numerische Simulation

Die direkte numerische Simulation, kurz DNS, ist eine Berechnungsmethode der Strömungsmechanik zur rechnerischen Lösung der vollständigen instationären Navier-Stokes-Gleichungen. Sie unterscheidet sich von anderen Berechnungsmethoden der Strömungsmechanik dadurch, dass kleinskalige turbulente Schwankungen numerisch in Raum und Zeit aufgelöst und nicht durch Turbulenzmodelle dargestellt werden.

Aufgrund der zeitlich variierenden, räumlich kleinen Schwankungen in einer turbulenten Strömung ist neben der hohen räumlichen Auflösung eine instationäre Betrachtungsweise für die detaillierte Beschreibung der physikalischen Vorgänge erforderlich. Die DNS ist damit die genaueste Methode, Strömungen zu berechnen; sie stellt allerdings auch die höchsten Anforderungen an das numerische Verfahren sowie an die zur Verfügung stehende Rechenleistung. Deshalb findet die DNS hauptsächlich in der Grundlagenforschung Verwendung. Ein großer Anwendungsbereich ist der laminar-turbulente Umschlag, unter dem man den Übergang von einer glatten stationären Strömung in den quasichaotischen turbulenten Zustand versteht. Des Weiteren wird die DNS in den Bereichen Ablöseblasen, vollturbulente Strömungen und Aeroakustik eingesetzt und dient auch der Weiterentwicklung von Turbulenzmodellen.

Zugrunde liegende Gleichungen Strömungsfelder verhalten sich gemäß der Navier-Stokes-Gleichungen. Für niedrige Geschwindigkeiten bei einer Mach-Zahl kleiner als 0,3 reicht es in der Regel, die Navier-Stokes-Gleichungen für inkompressible Fluide anzuwenden. Sie bestehen im Wesentlichen aus drei Transportgleichungen, den Impulsgleichungen in den drei Raumrichtungen. Aus der Massenerhaltung ergibt sich für inkompressible Strömungen die Divergenzfreiheit der Geschwindigkeit. Mit zunehmender Geschwindigkeit spielen Kompressibilitätseffekte zunehmend eine Rolle, so dass die Navier-Stokes-Gleichungen für kompressible Fluide anzuwenden sind. Diese sind auch erforderlich, wenn zum Beispiel aeroakustische Phänomene untersucht werden sollen, da sich nur bei Berücksichtigung der Kompressibilität eine endliche Schallgeschwindigkeit ergibt. Da die Navier-Stokes-Gleichungen für kompressible Strömungen durchgehend Transportgleichungen sind, gibt es im Gegensatz zu den Gleichungen für inkompressible Fluide keine elliptischen Terme. Je nach Anwendungsfall können zusätzliche Gleichungen mit einbezogen werden. So spielen etwa im Hyperschall bei hoher Mach-Zahl chemische Reaktionen wie Dissoziation von Molekülen oder Ionisation von Atomen eine Rolle.

Physikalische Prozesse Da in einer DNS das Strömungsfeld ohne Turbulenzmodell berechnet werden soll, lassen sich die vom Verfahren zu erfassenden strömungsmechanischen Vorgänge am anschaulichsten anhand des laminar-turbulenten Umschlags beschreiben. Unter dem Begriff Umschlag, auch Transition genannt, versteht man hierbei den Übergang von einer ursprünglich laminaren stationären Strömung zu einem turbulenten Zustand, der von kleinskaligen nahezu chaotischen Schwankungen bestimmt ist. Die Ursache hierfür ist eine Instabilität der Strömung gegenüber kleinen Störungen, die abhängig vom jeweiligen Strömungszustand ab einer gewissen Reynolds-Zahl existiert. Bereits mit Hilfe der linearen Stabilitätstheorie lassen sich die Frequenzen der angefachten Störungen und deren Anfachungsraten sehr gut für ein gegebenes stationäres Strömungsfeld vorhersagen. Für eine inkompressible Plattengrenzschicht ohne Druckgradient ergeben sich z. B. angefachte Störungen ab einer Reynolds-Zahl von Re⋅x ≈ 91.000, wobei x die Koordinate in Strömungsrichtung mit ihrem Ursprung an der Plattenvorderkante darstellt. Anstelle der Stromabkoordinate wird häufig die lokale Verdrängungsdicke δ1 der Grenzschicht verwendet. Damit ergibt sich eine kritische Reynolds-Zahl von Reδ1=520, ab der das erste Mal angefachte Störungen existieren. Diese angefachten Störungen, Tollmien-Schlichting-Wellen genannt, wachsen in Stromabrichtung exponentiell an. Erreichen die Instabilitätswellen eine merkliche Amplitude, sind sie nicht mehr unabhängig voneinander zu betrachten, sondern wechselwirken miteinander. In den Navier-Stokes-Gleichungen ergibt sich dies aus den nichtlinearen Termen. Unterteilt man eine Größe U in ihren stationären Anteil u0 sowie den instationären Anteil u, so ergibt sich aus einem nichtlinearen Term

Nimmt man für den instationären Anteil eine Welle der Form

mit der Wellenzahl α, so ergibt sich aus dem Produkt von u mit sich selbst

das heißt, es werden Wellen mit der doppelten Wellenzahl generiert. Die nichtlineare Generierung bewirkt ein Anwachsen auch von eigentlich linear gedämpften Störungen. Zunehmend kurzwelligere Störungen erreichen nichtlineare Amplituden und ziehen Energie aus den gröberen Skalen ab. Da die zweite Raumableitung einer Welle proportional zum Quadrat der Wellenzahl ist, wirkt für kurzwelligere Störungen jedoch zunehmend die Viskosität der Generierung entgegen.

Je nach eingebrachten Störungen ergeben sich unterschiedliche Wirbelstrukturen im nichtlinearen Bereich. So wird bei der Grenzschicht zwischen K-Typ (nach Philip KlebanoffP. Klebanoff, K. Tidstrom: Evolution of Amplified Waves Leading to Transition in a Boundary Layer with Zero Pressure Gradient. NASA TN D-195, 1959.), H-Typ (nach Thorwald HerbertT. Herbert: Secondary Instability of Boundary Layers. Annual Review of Fluid Mechanics, Vol. 20, 1988, S. 487–526, doi:10.1146/annurev.fl.20.010188.002415) und Oblique (englisch für schief) unterschieden. In den Spätstadien der Transition brechen die großen Wirbelstrukturen auf und es ergibt sich ein chaotisches Bild aus kleinen Wirbeln. Zweidimensionale DNS sind nur in Ausnahmefällen sinnvoll. Generell gilt, dass eine 2D-Turbulenz nicht existiert. Deshalb ist es für eine DNS im Allgemeinen notwendig, die vollen dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen zu simulieren, was einen entsprechend hohen Rechenaufwand bedeutet. mini|zentriert|700px|Künstliches Schlierenbild des Umschlags laminar-turbulent in einer Plattengrenzschicht, berechnet mittels DNS.

Vergleich mit anderen Methoden Von einer DNS spricht man, wenn alle relevanten Skalen räumlich und zeitlich aufgelöst werden. Dies bedeutet, dass Wellenzahlen soweit sauber abgebildet werden müssen, bis nur mehr der Einfluss der Viskosität der nichtlinearen Generierung entgegenwirkt. Andere Methoden der numerischen Strömungsmechanik betrachten die instationären Vorgänge der Turbulenz entweder eingeschränkt oder überhaupt nicht. Bei der Large-Eddy-Simulation (LES, im deutschen auch Grobstruktursimulation) beschränkt man sich auf die groben turbulenten Skalen, indem man räumlich gefilterte Strömungsgrößen betrachtet. Der Einfluss der nicht mehr aufgelösten Skalen wird durch sogenannte Subgridscale-Modelle abgebildet. Da diese Modelle im Wesentlichen künstliche Viskosität einbringen, kann eine unteraufgelöste DNS auch als LES angesehen werden.

Im Gegenzug dazu werden bei RANS-Rechnungen (englisch für Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen) keinerlei turbulente Schwankungen aufgelöst, sondern vollständig durch Turbulenzmodelle modelliert. Mit den zeitlich gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen werden auch andere Gleichungen als bei DNS und LES gelöst, weshalb ein RANS-Ergebnis auch bei beliebig feiner Auflösung nicht gegen die exakte Lösung der direkten numerischen Simulation konvergiert.

Diskretisierungsverfahren in der DNS mini|400px|Skizze eines Integrationsgebietes für die DNS einer Plattengrenzschicht. Aufgabe eines numerischen Verfahrens zur direkten numerischen Simulation ist es somit, instationäre Wellenprozesse ausreichend fein in Raum und Zeit aufzulösen. Außerdem ist auf passende Randbedingungen zu achten, um ein nicht unnötig großes Rechengebiet zu benötigen sowie um Reflexionen an den Rändern zu vermeiden. Typischerweise sind zusätzlich Störungen einzuleiten. Grundsätzlich sind zwar Störungen bereits immanent im Verfahren enthalten (z. B. Diskretisierungsfehler, Näherungen in den Anfangs- und Randbedingungen oder Rundungsfehler), jedoch ist das Ergebnis dann abhängig vom verwendeten Rechengitter und für Rundungsfehler sogar vom verwendeten Rechner. Außerdem möchte man bei einer DNS den Einfluss von unterschiedlichen Störungen untersuchen.

Aufgrund des hohen Rechenaufwandes beschränkt man sich bei der DNS üblicherweise auf periodische Randbedingungen in der dritten Raumrichtung. Für die Grenzschicht an einer ebenen Platte bedeutet dies, dass von einer unendlichen Ausdehnung in Quer- beziehungsweise Spannweitenrichtung ausgegangen wird. Bei rotationssymmetrischen Körpern entspricht die Spannweitenrichtung dann der Umfangsrichtung. Das nebenstehende Bild zeigt beispielhaft ein Integrationsgebiet für die Plattengrenzschicht.

Da der Erfolg einer DNS wesentlich von der Fähigkeit abhängt, Wellen ausreichend exakt zu transportieren, sind entsprechende Anforderungen an die Numerik zu stellen. Bei der Raumdiskretisierung sind gute Dispersions- und Dissipationseigenschaften zu erreichen,S. Lele: Compact finite differences with spectral-like resolution. Journal of Computational Physics, Vol. 103, 1992, S. 16–42, weshalb fast ausschließlich Verfahren hoher Ordnung verwendet werden. Für die spannweitige Richtung ist aufgrund der Periodizität ein Spektralansatz geeignet, da dieser ideal für den Wellentransport ist. In nicht-periodischen Raumrichtungen ist ein spektraler Ansatz zwar möglich, jedoch sind Diskretisierungsmethoden, die nicht auf periodischen Randbedingungen basieren, praktikabler. Beispiele dafür sind Finite Differenzen oder Finite Volumen. Häufig werden in DNS-Codes Finite Differenzen verwendet, da sie auf strukturierten Gittern die schnellste Methode zur Berechnung von Raumableitungen hoher Ordnung sind.

Aufgrund der stetigen Generierung von höherharmonischen Wellen ist es für die Stabilität einer Rechnung erforderlich, kurzwellige Störungen zu entfernen. Das Problem der kurzwelligen Anteile ist, dass auf einem gegebenen Gitter nur Wellen bis zu einer bestimmten Wellenzahl aufgelöst werden können. Werden jedoch Wellen mit Wellenzahlen oberhalb dieser Grenze generiert, so werden diese zu gewissen Anteilen auf niedrigere Wellenzahlen abgebildet (sogenanntes Aliasing), was im Allgemeinen zum Absturz des Verfahrens führt. Auch für die Wellentransporteigenschaften jeder räumlichen Diskretisierung existiert eine Aliasing-Grenze. Für Wellenzahlen oberhalb dieser Aliasing-Grenze ergibt sich eine negative Gruppengeschwindigkeit, das heißt diese instationären Anteile laufen entgegen der physikalisch richtigen Transportrichtung. Ab welcher Wellenzahl dies auftritt, hängt von der Art und der Ordnung des Verfahrens ab. Mit zunehmender Ordnung wandert die Aliasing-Grenze zu höheren Wellenzahlen. Prinzipiell ist ein Entfernen der kurzwelligen Anteile auch durch eine entsprechend hohe räumliche Auflösung möglich. In diesem Fall sorgt die Viskosität für eine Dämpfung dieser Anteile. Dies ist jedoch nicht praktikabel, da dies eine allzu große räumliche Auflösung erfordert. Gängige Methoden zum Dealiasing sind räumliche Filterung mit einem Tiefpassfilter, Upwinding oder eine abwechselnde Gewichtung der Diskretisierung.M. Kloker: A robust high-resolution split-type compact FD scheme for spatial DNS of boundary-layer transition. Applied Scientific Research, Vol. 59, 1998, S. 353–377, doi:10.1023/A:1001122829539 Bei einer spektralen Diskretisierung sind die Anteile in Abhängigkeit von der Wellenzahl gegeben. Dealiasing erfolgt dann einfach durch Nullsetzung hoher Wellenzahlen (üblicherweise ab 2/3 der maximalen Wellenzahl.C. Canuto, M. Hussaini, A. Quarteroni: Spectral Methods in Fluid Dynamics. In: Springer series in computational physics, Springer Verlag, New-York 1988, ISBN 0-387-17371-4.)

Aus den Navier-Stokes-Gleichungen ergibt sich mittels der Raumdiskretisierung die Zeitableitung der einzelnen Größen.