Die Frobenius-Methode, nach Ferdinand Georg Frobenius (1849–1917), ist eine Methode um Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
zu finden, wobei und als analytisch in einer Umgebung von vorausgesetzt werden. Die Idee ist es Lösungen in der Form einer verallgemeinerten Potenzreihe
anzusetzen und die unbekannten Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen. Der zentrale Satz wurde zuerst von Lazarus Immanuel Fuchs basierend auf Arbeiten von Karl Weierstraß bewiesenL. Fuchs: Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 66 (1866) S. 121. und danach von Frobenius verallgemeinertG. Frobenius: Ueber die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 76 (1873), S. 214. .
Satz von Fuchs
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir setzen. Gegeben sei die Differentialgleichung
wobei bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung hat. Sie können also in der Form
geschrieben werden, wobei die Reihen in einer Umgebung von 0 konvergieren.
Die charakteristischen Exponenten
sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung
welche sich durch Koeffizientenvergleich für in obiger Differentialgleichung ergibt,
und wir können sie gemäß ordnen.
Dann gilt folgende Fallunterscheidung:
Ist keine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form
Ist eine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form
Der Konvergenzradius entspricht dem Minimum des Konvergenzradius der Reihen für und .
Auch die Umkehrung gilt: Gibt es zwei Lösungen der obigen Form, so hat bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung.
Eine Differentialgleichung mit meromorphen Koeffizienten, für die alle Singularitäten (inklusive ) vom obigen Typ sind, wird als Fuchssche Differentialgleichung bezeichnet.
Verallgemeinerungen
Der Satz von Fuchs kann auf Differentialgleichungen höherer Ordnung und auf Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung verallgemeinert werden.
Anwendungen
Mit der Methode von Frobenius können folgende Differentialgleichungen gelöst werden:
Bessel’sche Differentialgleichung Legendre’sche Differentialgleichung Laguerre’sche Differentialgleichung hypergeometrische Differentialgleichung
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen Kategorie:Ferdinand Georg Frobenius als Namensgeber