Die Wellenfunktion, meist als mathematische Funktion von Ort und Zeit geschrieben, gibt in der Wellenmechanik den quantenmechanischen Zustand eines Systems aus einem oder mehreren Elementarteilchen an. Bei einem Quantensystem aus Teilchen umfasst die Ortskoordinaten sämtlicher Teilchen. Gegebenenfalls können Variablen für weitere Freiheitsgrade hinzugefügt werden. Der Funktionswert selbst ist keine direkt messbare Größe, die Wellenfunktion enthält nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik aber jede physikalisch mögliche Information über die Werte der in diesem Zustand messbaren Größen. In vielen Fällen ist es in der Quantenphysik aus prinzipiellen Gründen nicht möglich, schon vor einer Messung einer Größe den Messwert genau vorherzusagen, vielmehr wird dieser erst durch den Messprozess hervorgebracht. Die physikalisch mögliche Information ist dann darauf beschränkt, für die zu erwartenden Messergebnisse eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vorherzusagen. Zum Beispiel ist es bei einem Quantensystem unmöglich, vor einer Ortsmessung den genauen Ort jedes Teilchens zu kennen. Die Wellenfunktion gibt durch ihr Betragsquadrat die räumliche Verteilung der Wahrscheinlichkeit an, die Teilchen zu diesem Zeitpunkt an den Positionen anzutreffen. Betrachtet man ein System, das nur ein einziges Teilchen enthält, kann man sich diese Wahrscheinlichkeitsverteilung unmittelbar im dreidimensionalen Raum vorstellen.
Erwin Schrödinger führte die Wellenfunktion 1926 ein, aufbauend auf dem Konzept der Materiewelle, die zuvor von Louis de Broglie als zusätzliches Element zur Beschreibung der Bewegungen von Elementarteilchen vorgeschlagen worden war. Ihre räumliche Form und zeitliche Entwicklung werden durch die zugleich eingeführte Schrödinger-Gleichung bestimmt. Diese (oder eine der weiterentwickelten Gleichungen, wie z. B. die Pauli-, Dirac- oder Klein-Gordon-Gleichung) beschreibt, welches Quantensystem betrachtet wird und wie es sich zeitlich entwickelt.
Für ein frei fliegendes Teilchen hat die Wellenfunktion die von anderen Wellen her bekannte mathematische Form. Für ein Quantensystem mit einem Teilchen in einem anziehenden Kraftfeld kann die Wellenfunktion stehende Wellen bilden, die den gebundenen stationären Zuständen mit diskreter („gequantelter“) Energie entsprechen. Bei genügend hoher Teilchenenergie kann die Wellenfunktion einen Streuzustand bilden, der aus zwei Komponenten besteht: einer ungestört einlaufenden Welle und einer vom Kraftfeld erzeugten auslaufenden Kugelwelle. Beide Komponenten überlagern sich im ganzen Raum. Bildet die Wellenfunktion ein räumlich konzentriertes Wellenpaket, dann zerfließt dies im Allgemeinen sehr schnell, wenn es nicht durch ein Kraftzentrum in der Mitte zusammengehalten wird. In gewissen Fällen lässt die Funktion ein Verhalten erkennen, wie es der Vorstellung von einem Teilchen entspricht (Beispiel: Harmonischer Oszillator).
Nur wenn die Betrachtung auf ein System mit einem einzigen Teilchen beschränkt bleibt, kann die Wellenfunktion eine im dreidimensionalen Raum vorstellbare Welle beschreiben. Gehören mehrere Teilchen zum betrachteten System, ist die Wellenfunktion eine Funktion der Ortskoordinaten aller Teilchen in einem entsprechend höherdimensionalen Raum. Zudem ist die Wellenfunktion komplexwertig und kann daher nicht einfach grafisch dargestellt werden. Wellenfunktionen, die zu einem Zustand mit wohldefinierter Energie gehören (Energieeigenzustand), können stets als Produkt von zwei Faktoren geschrieben werden, von denen einer nur von der Zeit und der andere nur von dem Ort bzw. von den Orten abhängt. Die Abhängigkeit von der Zeit hat dann die Form eines komplexen Phasenfaktors . ( ist die reduzierte Planck-Konstante.) Der andere Faktor, der nur vom Ort (bzw. den Orten) abhängig ist, kann in vielen Fällen reellwertig gewählt werden und ist dann im Fall eines Einteilchensystems in üblicher Form grafisch darstellbar.
Da die Wellenfunktion keine messbare physikalische Größe darstellt, ist sie zunächst als ein mathematisches Hilfsmittel zur Berechnung von möglichen Messergebnissen anzusehen. Ob sie unabhängig davon auch als ein Gegenstand der realen Welt existiert, wird seit ihrer Einführung immer noch kontrovers diskutiert (siehe auch Interpretationen der Quantenmechanik).
Von Teilchenbahnen zur Vorstellung einer Wellenbewegung Um den Ort eines punktförmigen Teilchens im Raum mathematisch zu beschreiben, braucht man die Werte seiner drei räumlichen Koordinaten in jedem Moment (); für N Teilchen braucht man analog 3N Ortskoordinaten. Diese stellen im 3N-dimensionalen Konfigurationsraum in jedem Moment einen Punkt dar, der den aktuellen räumlichen Zustand des Systems angibt. In der Zeit bewegt dieser Punkt sich längs der Trajektorie des Systems voran. Für diese Bewegung im Konfigurationsraum stellt die klassische Mechanik mittels des Hamiltonschen Prinzips eine Gleichung bereit, die in gleicher Form in der Optik als Eikonalgleichung auftritt, wenn man (im gewöhnlichen 3-dimensionalen Raum) von der Wellenoptik ausgehend die geometrische Optik als Näherung auffasst und nun zum Beispiel den Weg eines aus Lichtwellen gebildeten Lichtstrahls bestimmen will. Angesichts des Versagens der klassischen Mechanik in der Atomphysik nahm Schrödinger diesen rein mathematisch motivierten Grundgedanken zum Ausgangspunkt, als er nach einer Abänderung der klassischen Mechanik suchte, die der gewohnten physikalischen Anschauung nicht so fremd wäre wie die 1925 von Werner Heisenberg und anderen entdeckte Matrizenmechanik.
Welche physikalische Größe der Träger einer „Materiewelle“ im Konfigurationsraum sein könnte, blieb dabei zunächst völlig offen; Schrödinger nannte sie „Feldskalar“. (Ähnlich dazu hieß es in den frühen optischen Wellentheorien so lange „Lichterregung“, bis durch die Maxwellsche Elektrodynamik klar wurde, dass es sich um das elektromagnetische Feld handelt.) Für die Frequenz und Wellenlänge der Materiewelle hingegen gab es für Teilchen in freier Bewegung die aus Quantenhypothese und Relativitätstheorie abgeleiteten Einstein-de-Broglie-Beziehungen zu Energie und Impuls des Teilchens. Ausgehend von der Idee, dass die stationären Zustände der Atome, die mit ihren bestimmten Energiestufen im Rahmen der klassischen Mechanik nicht zu verstehen sind, mit stehenden statt fortschreitenden Wellen darstellbar wären, fand Schrödinger die dazu geeignete Eigenwertgleichung, die als zeitunabhängige Schrödingergleichung bezeichnet wird. Lösungen dieser Gleichung sind Funktionen, die in jedem Punkt die Amplitude der stehenden Welle angeben. Für ein System mit anziehendem Coulomb-Potential erhielt Schrödinger Lösungen in räumlich konzentrierter Form nur für bestimmte Energiewerte unterhalb , mathematisch als Eigenwerte bezeichnet. Im Fall des H-Atoms stimmten sie genau mit den Energien der aus dem Bohrschen Atommodell bekannten stationären Zustände überein. Große Amplituden haben diese Wellenfunktionen nur in einem Bereich von der Größe des Atoms, außerhalb fallen sie exponentiell ab.
Aus der zeitunabhängigen Schrödingergleichung ergibt sich auf einfachem Weg die Verallgemeinerung zu einer Wellengleichung, die auch bei nicht-stationärem Verhalten erfüllt sein muss, die also eine Bewegungsgleichung darstellt und als zeitabhängige Schrödingergleichung bezeichnet wird. Da diese Bewegungsgleichung im komplexen Raum formuliert werden muss, ist ihre Lösung im Allgemeinen eine Funktion mit komplexen Funktionswerten. Schon deshalb kann nicht unbedingt die Bedeutung einer realen physikalischen Größe zukommen. ist in der Regel nicht messbar, sondern dient nur der mathematischen Beschreibung des quantenmechanischen Zustands eines physikalischen Systems.
Ein detaillierter Hinweis darauf, wie die Amplitude der Wellenfunktion mit der Anwesenheit von Teilchen verknüpft ist, ergibt sich, wenn man ihre Veränderung durch eine Störung des Systems berechnet. Die erfolgreiche Erklärung der Aufspaltung der Energieniveaus des H-Atoms durch ein äußeres elektrisches Feld (Starkeffekt), sowie der Übergangsraten bei der Absorption oder Emission entsprechender Lichtwellen, leitete Schrödinger zu der
Die Wellenmechanik zeigt gegenüber der kurz zuvor entwickelten Matrizenmechanik zwei zu Beginn wichtige Vorteile: Sie erlaubt zum einen auf einfache Weise die Berechnung von instationären Phänomenen, also von Prozessen der Veränderung, und sie eröffnet zum anderen die Möglichkeit, sich die Wellenfunktion als eine räumliche Welle im dreidimensionalen Raum denken zu können, also diejenigen Prozesse anschaulich zu verstehen, die bei Quantensystemen von der Größe der Atome abhängen. Der in der Einleitung erwähnte Streuzustand ist hierfür ein Beispiel. Diese Veranschaulichung ist allerdings nur möglich, wenn das betrachtete System so weit vereinfacht wird, dass es nur ein einziges Teilchen enthält. Bei N Teilchen müsste man sich ein Wellenfeld im 3N-dimensionalen Raum vorstellen, nicht N Wellenfelder (unterscheidbarer Art) im dreidimensionalen Raum.
Aus der Wellenfunktion lässt sich das zu erwartende Ergebnis jeder Messung berechnen, allerdings oft nur als Wahrscheinlichkeitsverteilung vieler möglicher Messwerte. Gerade die letztgenannte Einschränkung entspricht den Beobachtungen. Misst man zum Beispiel im Beugungsversuch am Doppelspalt auf einem Schirm den Auftreffort von Elektronen, die aus einer praktisch punktförmigen Quelle einzeln emittiert wurden und einen Doppelspalt passiert haben, findet man eine breite Verteilung, obwohl alle Elektronen am Anfang im selben physikalischen Zustand gewesen sind, der sich bis zum Auftreffen am Schirm auch in gleicher Weise entwickelt haben müsste. Zudem zeigt diese Verteilung dieselben Interferenzstreifen, die für die Interferenz von Wellen vorhergesagt werden, wenn ihre Wellenlänge den von den Einstein-de Broglie-Beziehungen bestimmten Wert hat.
Definition
Entwicklungskoeffizienten des Zustandsvektors Formal betrachtet sind die Wellenfunktionen die Entwicklungskoeffizienten des quantenmechanischen Zustandsvektors im Orts- beziehungsweise Impulsraum. Es ist in Dirac-Notation
mit dem Zustandsvektor den Kovektoren zu den Ortseigenzuständen den Kovektoren zu den Impulseigenzuständen sodass gilt:
Die Orts- und Impulseigenzustände sind die Eigenzustände des Ortsoperators beziehungsweise Impulsoperators , für die und gilt. Sie entsprechen den (physikalisch nicht realisierbaren) Zuständen mit scharf definiertem Ort bzw. Impuls. Die Wellenfunktionen im Orts- und im Impulsraum sind normiert, da der Zustandsvektor bereits normiert ist:
Lösung der Bewegungsgleichung Von praktischer Bedeutung sind die Wellenfunktionen als Lösung der Bewegungsgleichungen im Orts- oder Impulsraum. Dabei macht man sich zunutze, dass der Ortsoperator in der Ortsbasis ein Multiplikationsoperator und der Impulsoperator in der Ortsbasis ein Differentialoperator ist. In der Impulsbasis sind die Rollen vertauscht, dort ist der Ortsoperator ein Differentialoperator und der Impulsoperator ein Multiplikationsoperator.
Die Schrödinger-Gleichung lautet in der basisunabhängigen Dirac-Notation
und im Ortsraum
mit der reduzierten Planck-Konstante , dem Laplace-Operator , der Masse des Teilchens und einem ortsabhängigen Potential ; alle (im Rahmen dieses Artikels behandelten) Eigenschaften der Wellenfunktion, die die nichtrelativistische Schrödinger-Gleichung löst, lassen sich auf den relativistischen Fall der Klein-Gordon- oder der Dirac-Gleichung verallgemeinern.
Zwar ist die Schrödinger-Gleichung keine Wellengleichung im Sinn der klassischen Physik, doch ist eine Lösung der Schrödinger-Gleichung im Ortsraum bei verschwindendem Potential eine ebene Welle, dargestellt durch die Funktion
mit der Kreisfrequenz und dem Wellenvektor . Ihre Dispersionsrelation lautet:
Da die Bewegungsgleichungen linear sind, ist jede Superposition von Lösungen wieder eine Lösung.
Wellenfunktion im Impulsraum