Seminumerische Algorithmen sind eine Kombination aus numerischen und analytischen oder algebraischen Verfahren in der Programmierung. Seminumerische Algorithmen sind meist gegenüber rein numerischen Verfahren genauer, erfordern jedoch oft einen höheren Implementierungsaufwand, da Vorwissen über die numerischen Zusammenhänge in Bezug auf spezialisierte Anwendungen oder Anforderungen eingearbeitet wird, anstelle allgemeine Verfahren zu nutzen.
Weit verbreitetes Anwendungsgebiet seminumerischer Implementierungen sind z. B. auch Computeralgebrasysteme, da mit ihnen auf elegante Weise numerische wie auch algebraische Verfahren kombiniert werden können.
Die Problematik der numerischen Berechnung aufeinanderfolgender kontinuierlich bis unstetig wirkende Übertragungssysteme in Verbindung mit logischen Entscheidungsfunktionen hat es in der Systemtheorie, der Steuerungstechnik und Regelungstechnik schon immer gegeben.
Es geht um zu berechnende mathematische Modelle von zusammenhängenden Übertragungssystemen, die zum Teil mit Differenzialgleichungen beschrieben werden können und um solche, die algebraisch oder mit logischen Anweisungen definiert werden müssen.
In der deutschsprachlichen Fachliteratur ist der Begriff der „Seminumerischen Algorithmen“ spärlich behandelt. In den Medien sind Abhandlungen über sehr spezielle Anwendungen veröffentlicht, die nur von „Experten“ verstanden werden können.
Dieser Artikel behandelt eine Konfiguration verschiedenartiger zusammenhängender dynamischer und statischer Übertragungssysteme, die numerisch berechnet werden sollen.
Ein typisches Praxisbeispiel eines seminumerischen Gesamtmodells mit einem Totzeitsystem und mehreren in Reihe liegenden Verzögerungsgliedern (PT1-Gliedern) erklärt die Zusammenhänge.
Begriffsklärung für seminumerische Algorithmen Ein Algorithmus entspricht einer Folge von Anweisungen (Einzelschritten), mit deren Hilfe z. B. in der Technik ein mathematisches Problem gelöst werden kann. Möchte man das zeitliche Verhalten eines dynamischen Übertragungssystems berechnen, so lässt sich mit Hilfe von Eingangs-, Systemberechnungs- und Ausgangsfolgen schrittweise der Lösungsweg tabellarisch definieren.
Die mit indizierten Eingabefolgen als Funktion der diskreten Zeit werden unter Berücksichtigung der Daten der Systembeschreibung in Ausgabefolgen berechnet. Dabei erhalten alle Datenfolgen die Indizierung . Hat das zu berechnende Systemmodell ein Eingangssignal z. B. ein Sprungsignal , eine mathematische Modellbeschreibung und ein Ausgangssignal , so müssen sämtliche Datenfolgen und Zwischenergebnisse als Funktion der diskreten Zeit tabellarisch der Indizierung entsprechen. Die numerische Berechnung der Datenfolgen bezeichnet man als rekursiv, d. h. jeder Folgewert ist bei der exponentiellen Folge abhängig von der zeitlich vorhergehenden Folge.
Bei Aufgabenstellungen in der klassischen Mathematik z. B. bei der Berechnung des Systemverhaltens mit Differenzialgleichungen ist das Ergebnis kein Einzelwert, sondern eine zeitabhängige steigende oder fallende Funktion. Werden Differenzialgleichungen in Differenzengleichungen bei gleichen Parametern umgewandelt, entstehen mittels numerischer Berechnungen Datenfolgen (Datenpunkte), die angenähert der zeitabhängigen Funktion entsprechen. Die Datenfolge ist umso genauer, je kleiner das Zeitintervall, die Schrittweite gewählt wird. Die Schrittweite zwischen zwei Folgen kann (in Grenzen) frei gewählt werden und führt mit zunehmender Verringerung zu einer größeren Genauigkeit der System-Ausgangsfolgen.
Unter seminumerisch (Vorsilbe „semis“ = lat.: „halb“) wird die numerische Behandlung von nichtlinearen und linearen Systemeigenschaften verstanden, bei der die numerische Behandlung der Systeme für alle Folgen die gleiche Indizierung und Schrittweite aufweisen.
Zu den nichtlinearen Anweisungen einer Systembeschreibung gehören die bekannten Beziehungen wie: „größer, kleiner, gleich“ oder „IF-THEN-ELSE“ (= wahr oder falsch-Verzweigung) und die „Eingangssignal-Definition wie Sprungfunktion, Stoßfunktion und Anstiegsfunktion“.
Berechnungsgrundlagen mit seminumerischen Algorithmen Eine gewöhnliche Differenzialgleichung (DGL) kann das Verhalten eines dynamischen Systems vollständig beschreiben. Nicht alle DGL-en sind auf konventionellem Wege einfach zu lösen. Abhilfe bieten die numerischen Verfahren, welche anstelle der kontinuierlichen Funktion der Systemausgangsgröße eine diskrete Lösung in Form von nummerierten Folgegliedern (Stützstellen) darstellen. Im Gegensatz zu einem kontinuierlichen Signalverlauf steht bei einem zeitdiskreten Signal die Größe der Signalinformation nur zu bestimmten Zeitpunkten zur Verfügung.
Die numerische Behandlung verschiedenster Übertragungssysteme stellt sich als tabellarisch geordnete Funktionen in Form einer gewählten endlichen Anzahl von nummerierten Folgengliedern dar. Meist interessiert die Systemsprungantwort der Ausgangsgröße des Gesamtsystems, wobei die verschiedenen Einzelsysteme sich auf die gemeinsame Nummerierung der diskreten unabhängigen Variable beziehen.
Bei einer numerischen Berechnung der Sprung-Antwort eines Systems zur Zeit mit und steigt oder fällt die erste Datenfolge . Ist ein Anfangswert des dynamischen Systems gegeben, startet die Berechnung bei und mit dem Anfangswert .
Die lineare Systemeigenschaft existiert in der Praxis häufig nicht, da viele zusammenwirkende Systeme z. B. in der Regelungs- und Steuerungstechnik bei Ventilkennlinien, Stellgrößenbegrenzungen oder Schaltvorgängen keine Linearität aufweisen. Ein Totzeitsystem ist wohl ein lineares System, es kann aber nicht durch eine DGL beschrieben werden. Für nichtlineare statische Systeme, die sich nicht durch Gleichungen beschreiben lassen, gelten Tabellenwerte, die sich mit anderen Systemen auf gleiche nummerierte Folgeglieder beziehen.
Ein dynamisches Übertragungssystem verhält sich linear, wenn bei der zugehörigen Differenzialgleichung die gesuchte Funktion y(t) und deren Ableitungen nur in der 1. Potenz vorkommen und keine Winkelfunktionen enthalten. Ein nichtlineares dynamisches Übertragungssystem, dessen Differenzialgleichung bekannt ist, kann nach Umwandlung in eine Differenzengleichung leicht berechnet werden. Häufig sind bei Übertragungssystemen die Differenzialgleichungen nicht bekannt. In diesem Fall kann die Identifikation des Systems als mathematishes Modell durch messtechnische Einrichtungen gewonnen werden.
Bei der numerischen Lösung in tabellarischer Form enthält die 1. Tabellenzeile in ihren Elementen alle Daten für . Die Tabellengröße wird bestimmt durch die Anzahl der Zeilenelemente für Eingangs-Ausgangssignale, Systemberechnungen, Schrittweite und Indizierung. Die Anzahl der Spalten bestimmt .
Die Tabellengröße der 1. Zeile wird bestimmt: Indizierung fortlaufend bis . Zeitfolge bis Eingangsgröße z. B. Sprungsignal, Impulssignal, Anstiegssignal. Systemberechnung z. B. mehrere Systeme. Ausgangsgröße . Alle weiteren Zeilen sind mathematisch identisch bis auf die fortlaufende Indizierung k und das steigende Zeitintervall Die Schrittweite in Abhängigkeit von der Indizierung k bestimmt dem Anzahl der Datenfolgen.
Anzahl der Datenfolgen z. B. = Datenpunkte = Anzahl der Spalten. Anzahl der Zeitintervalle =
Für die Berechnung eines technischen Problems können die einzelnen Lösungsschritte wie folgt aussehen: Klärung des physikalischen Problems, Mathematische Einzelmodelle festlegen, Numerische Beschreibung der einzelnen Übertragungsmodelle, Numerisches Verfahren festlegen: Einschrittverfahren, Mehrschrittverfahren, und andere, Algorithmen für gemischte Systeme festlegen: (Algorithmen sind Anweisungen, wie und in welcher Reihenfolge ein (mathematisches) Problem zu lösen ist).
Definition Systembegriff mini|250px|Blockdiagramm eines Übertragungssystems als Ein- und Mehrgrößensystem. System: Aus mehreren Teilen zusammengesetztes Ganzes. Systemtheorie: Analyse von Strukturen, Dynamik und Funktionen. Abstrakte mathematisch Modelle mit Ein- und Ausgangssignalen beschreiben in der Systemtheorie das Systemverhalten verschiedenartigster dynamischer Systeme bei gegebenen Anfangszuständen völlig unabhängig von technologischen Details.H. Schwarz; Einführung in die moderne Systemtheorie, Vieweg, Berlin, 1969, „Einleitung“, ISBN 978-3-322-96127-3 Systemeigenschaften: Eigenschaften, die für das System charakteristisch sind. Systemstruktur: Gesamtheit der Elemente eines Systems. Dynamisches System: Es ist eine abgegrenzte zeitabhängige Funktionseinheit, die durch ihre Signaleingänge und Signalausgänge in einer Wechselwirkung mit der Umwelt steht. Die Wirkung des Eingangssignals mit dem Systemverhalten und dem Systemzustand kann sich auf das Systemausgangssignal überlagern. Übertragungssystem: System mit mindestens einem oder mehreren Signaleingängen und einem oder mehreren Signalausgängen. Es kann sich zeitabhängig oder zeitunabhängig verhalten. Übertragungsfunktion: Laplace-transformierte lineare Differenzialgleichung, deren Ableitungen durch die unabhängige Variable s ersetzt wird. Statisches System (signaltechnisch): Jedes Ausgangssignal ist ohne Zeitverhalten unmittelbar vom Eingangssignal abhängig.
Numerische Verfahren mini|250px|Diskrete Wertefolgen eines PT1-Gliedes der Methode Rückwärts-Differenzenquotient Differenzengleichungen als einfachstes Verfahren der Numerik werden zur numerischen Berechnung in vielen wissenschaftlichen Disziplinen – wie Wirtschaft, Medizin, Technik, Elektrotechnik, Regelungstechnik, Kybernetik, Informatik, Akustik und andere – eingesetzt. Sie gehören zu den Einschrittverfahren.
Eine Differenzengleichung steht in enger Beziehung zu einer DGL. Die Differenzengleichung einer Verzögerungsfunktion einfacher und höherer Ordnung entsteht z. B., wenn der Differenzialquotient einer zu berechnenden DGL durch einen Differenzenquotient ausgetauscht wird. Durch diesen Vorgang entsteht automatisch das rekursive Verhalten der Differenzengleichung, bei der sich je nach Ordnung jedes aktuelle Folgeglied sich auf ein oder mehrere zurückliegende Folgeglieder bezieht.
Eine Differenzengleichungen höherer Ordnung verknüpft die Werte der Ausgangsfolgen entsprechend der Ordnung an zwei, drei oder mehreren zurückliegenden Zeitpunkten: Rekursion: .
Die Zahl der Wertefolgen bestimmt die Schrittweite und die Endgröße der unabhängigen Variable bei zeitabhängigen Systemen .
ist der Darstellungszeitraum, Schrittweite.
Neben dem einfachen numerischen Verfahren mit Differenzengleichungen (Einschrittverfahren) stehen auch andere aufwendigere Verfahren (z. B. Mehrschrittverfahren) zur besseren Approximation an den analytischen Verlauf einer Funktion zur Verfügung. Dazu gehören z. B. das Trapezflächenverfahrens (Heun-Verfahren), Runge-Kutta-Verfahren, das Mehrschrittverfahren (Adams-Bashforth-Verfahren) und andere. Grund der aufwendigen Approximationsverfahren ist die erzielbare höhere Genauigkeit und damit erhebliche Reduzierung der Anzahl der Folgeglieder.Bilen Emek Abali, Celal Cakiroglu: Numerische Methoden für Ingenieure, mit Anwendungsbeispielen in Python. Springer Vieweg, 2020, Hauptkapitel: „Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen“
Bei in Reihe liegenden Übertragungssystemen ist die Ausgangsgröße die Eingangsgröße des nachfolgenden Systems. Es handelt sich dabei um eine Multiplikation der Einzelsysteme. Bei parallelwirkenden Übertragungssystemen werden die Ausgangsgrößen gleicher Folgeglieder addiert.Lutz / Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink; Verlag: Europa-Lehrmittel, 42781 Haan Gruiten; 12., ergänzte Auflage 2021, Hauptkapitel: „Elemente des Wirkungs- und Signalflussplans“
Die numerische Berechnung dynamischer und statischer Systeme kann mit jeder Programmiersprache durchgeführt werden.
Berechnungsbeispiel einer Differenzengleichung eines Integrationsgliedes (I-Glied) aus einer Differentialgleichung