Die Geschwindigkeit ist neben dem Ort und der Beschleunigung einer der grundlegenden Begriffe der Kinematik, eines Teilgebiets der Mechanik. Die Geschwindigkeit beschreibt, wie schnell und in welcher Richtung ein Körper oder ein Phänomen (beispielsweise ein Wellenberg) im Lauf der Zeit seinen Ort verändert. Eine Geschwindigkeit wird durch ihren Betrag und die Bewegungsrichtung angegeben; es handelt sich also um eine vektorielle Größe. Als Formelzeichen ist üblich nach dem lateinischen bzw. englischen Wort für Geschwindigkeit (, ).
Oft wird mit dem Wort Geschwindigkeit allerdings nur ihr Betrag gemeint (Formelzeichen ), der anschaulich gesprochen das momentane Tempo (englisch speed) der Bewegung wiedergibt, wie es beispielsweise im Auto vom Tachometer angezeigt wird. gibt an, welche Wegstrecke ein Körper innerhalb einer bestimmten Zeitspanne zurücklegt, wenn die Geschwindigkeit entsprechend lange konstant bleibt; es handelt sich um eine skalare Größe. Die international verwendete Einheit ist Meter pro Sekunde (m/s), gebräuchlich sind auch Kilometer pro Stunde (km/h) und – vor allem in der See- und Luftfahrt – Knoten (kn).
Die höchstmögliche Geschwindigkeit, mit der sich die Wirkung einer bestimmten Ursache räumlich ausbreiten kann, ist die Lichtgeschwindigkeit . Diese Obergrenze gilt also auch für jedwede Informationsübertragung. Körper, die eine Masse besitzen, können sich nur mit geringeren Geschwindigkeiten als bewegen.
Eine Geschwindigkeitsangabe ist immer relativ zu einem Bezugssystem zu verstehen. Ruht ein Körper in einem Bezugssystem, so hat er in einem anderen Bezugssystem, welches sich gegenüber dem ersten mit der Geschwindigkeit bewegt, die entgegengesetzt gleich große Geschwindigkeit .
Begriffsgeschichte und Etymologie
Die genaue Fassung der alltäglichen Begriffe von Geschwindigkeit und Bewegung galt seit der Antike und das ganze Mittelalter hindurch als problematisch (siehe z. B. „Achilles und die Schildkröte“ und das „Pfeil-Paradoxon“). Die Klärung im physikalischen Sinn stammt von Galileo Galilei und markiert den wissenschaftlichen Durchbruch zur neuzeitlichen Physik am Anfang des 17. Jahrhunderts. Bis dahin war nur die Durchschnittsgeschwindigkeit längs einer gegebenen endlichen Strecke genau definiert worden, und eine Geschwindigkeitszunahme, wie beispielsweise beim freien Fall, stellte man sich als Folge kleiner Sprünge des Geschwindigkeitsbetrags vor. Bei Galilei hingegen überstreicht eine stetig variierende Geschwindigkeit ein Kontinuum aller Zwischenwerte, die er nicht als Durchschnittsgeschwindigkeit eines gegebenen Stückchens der Strecke, sondern als Momentangeschwindigkeit am jeweiligen Punkt der Bahn begriff. Die genaue Fassung dieses Geschwindigkeitsbegriffs mithilfe des Grenzübergangs zu unendlich kleinen Strecken wurde erst Ende des 17. Jahrhunderts von Isaac Newton gegeben. Dabei wurden die beiden Aspekte Betrag und Richtung der Geschwindigkeit zunächst nur getrennt behandelt, bis sie im 19. Jahrhundert zu einer einzigen mathematischen Größe, dem Geschwindigkeitsvektor, zusammengeführt wurden.
Das Wort Geschwindigkeit geht auf mittelhochdeutsch geswinde zurück (schnell, vorschnell, ungestüm, kühn), mittelniederdeutsch geswint, geswine (stark, Bedeutungsverstärkung durch das Präfix ge-), mittelhochdeutsch swinde, swint (gewaltig, stark, heftig, gewandt, schnell, böse, gefährlich). Althochdeutsches Vorkommen wird durch Namen wie Amalswind, Swindbert, Swinda erwiesen.Wolfgang Pfeifer, Etymologisches Wörterbuch des Deutschen, dtv, 5. Auflage 2000, S. 438.
Definition mini|Bahnkurve (blau), Ortsvektoren (, ), Sehne () und Wegstrecke (Strecke von nach entlang der Bahnkurve)
Bewegt sich ein Objekt entlang einer Bahnkurve, wobei es sich zum Zeitpunkt im Punkt und zu einem späteren Zeitpunkt im Punkt befindet, so ergibt sich seine Geschwindigkeit zum Zeitpunkt (bzw. im Punkt ) näherungsweise aus der Ortsänderung und der dafür benötigten Zeitspanne gemäß
Dabei ist der Verbindungsvektor von Punkt zu Punkt . Geometrisch entspricht er der Sehne des Kurvenabschnitts zwischen den beiden Punkten. Außerdem gibt er näherungsweise die Richtung der Geschwindigkeit an. Aus der Näherung erhält man die exakte Definition für die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt (bzw. am Punkt ), wenn man das Zeitintervall gegen null gehen lässt. Dabei rückt (aufgrund der Stetigkeit der Bewegung) der Punkt beliebig nah an den Punkt heran, so dass auch gegen null geht; der Quotient hingegen strebt einem Grenzwert zu, der gerade der Momentangeschwindigkeit entspricht:
mini|Wegstrecken bei einer Bewegung mit gekrümmter Bahnkurve mini|Sonderfall der geradlinigen Bewegung Hierfür schreibt man auch oder ,
da es sich um eine Zeitableitung handelt.
Da die Sehne beim Grenzübergang die Richtung der Tangente an die Bahnkurve annimmt, ist dies auch die Richtung der Momentangeschwindigkeit.
Der Betrag der Momentangeschwindigkeit (das „Tempo“ oder die Bahngeschwindigkeit) ist durch den Betrag des Geschwindigkeitsvektors
gegeben, wobei der Betrag des Ortsvektors ist. Die Bahngeschwindigkeit ist nicht dasselbe wie , wie man beispielsweise an der Kreisbewegung mit sehen kann.
Den Betrag der Momentangeschwindigkeit kann man auch erhalten, wenn man statt der dreidimensionalen Bahnkurve nur die Weglänge (Symbol ) entlang der Bahnkurve berücksichtigt (s. Abb.). Man bildet hierfür den Grenzwert des Quotienten aus zurückgelegter Weglänge und benötigter Zeit :
Durchschnittsgeschwindigkeit Wenn man zur Berechnung der Geschwindigkeit die gesamte zurückgelegte Strecke durch die gesamte verstrichene Zeit teilt, so erhält man als Ergebnis die Durchschnittsgeschwindigkeit. Die Information über die zeitliche Veränderung geht dabei verloren. Wenn beispielsweise ein Auto eine Strecke von 100 km in einer Stunde zurücklegt, so hatte es eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h. Dabei kann es tatsächlich mit konstanter Geschwindigkeit 100 km/h gefahren sein oder eine Viertelstunde mit einer Geschwindigkeit von 200 km/h und eine Dreiviertelstunde mit einer Geschwindigkeit von 66,7 km/h.
Man beachte, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit stets den zeitlichen Mittelwert der Geschwindigkeit darstellt. Fährt ein Auto zunächst für eine halbe Stunde eine konstante Geschwindigkeit von 50 km/h und anschließend eine halbe Stunde mit einer konstanten Geschwindigkeit von 100 km/h, so beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit 75 km/h. Fährt das Auto aber zunächst eine Strecke von 25 km mit einer konstanten Geschwindigkeit von 50 km/h und danach eine Strecke von 25 km mit einer konstanten Geschwindigkeit von 100 km/h, so wird für den zweiten Bewegungsabschnitt nur die Hälfte der Zeit benötigt (eine Viertelstunde). Folglich beträgt in diesem Fall die Durchschnittsgeschwindigkeit 66,7 km/h, obwohl dies vielleicht der Intuition widerspricht.
Ein weiteres Beispiel für Körper mit veränderlicher Geschwindigkeit sind Himmelskörper, deren Geschwindigkeiten auf Ellipsenbahnen um einen Zentralkörper variieren. Beim Merkur beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit 47,36 km/s, schwankt allerdings wegen der merklichen Exzentrizität zwischen 39 und 59 km/s.
Anfangsgeschwindigkeit Wenn die Geschwindigkeit eines Körpers oder Massenpunkts zu Beginn eines bestimmten Bewegungsabschnittes interessiert, wird sie auch als Anfangsgeschwindigkeit (Formelzeichen meist ) bezeichnet.
Die Anfangsgeschwindigkeit ist eine der Anfangsbedingungen beim Lösen der Bewegungsgleichungen in der klassischen Mechanik, zum Beispiel für numerische Simulationen in der Himmelsmechanik. Sie ist ein wichtiger Parameter z. B. für die Flugbahn beim senkrechten und schrägen Wurf sowie für die Reichweite von Schusswaffen oder Raketen.
Beispiele: Beim Wurf wird sie auch als Abwurfgeschwindigkeit bezeichnet. In der Außenballistik wird sie mit der Mündungsgeschwindigkeit identifiziert, mit der ein Projektil den Lauf der Waffe verlässt. Anfangsgeschwindigkeit der ballistischen Flugbahn einer Rakete ist die Brennschlussgeschwindigkeit. Die Einschussgeschwindigkeit eines Raumflugkörpers in eine Umlaufbahn oder Übergangsbahn bestimmt deren Gestalt. Die Eintrittsgeschwindigkeit in die Erdatmosphäre eindringender Objekte (wie Meteoroide) ist wesentlich für ihr weiteres Schicksal.
Endgeschwindigkeit
mini|hochkant|Die vertikal nach unten gerichtete Gewichtskraft ist gleich der vertikal nach oben gerichteten aerodynamischen Widerstandskraft . Die Kräfte heben sich auf, so dass der Körper keine weitere Beschleunigung erfährt. Die Endgeschwindigkeit ist erreicht.
Die Endgeschwindigkeit (auch: Grenzgeschwindigkeit) ist die Geschwindigkeit, die ein Objekt am Ende seiner Beschleunigung erreicht hat.
Ein Objekt erreicht seine Endgeschwindigkeit, wenn die bremsenden Kräften, beim freien Fall insbesondere der mit der Fallgeschwindigkeit wachsende Luftwiderstand, durch Zu- oder Abnahme der Geschwindigkeit so stark geworden sind, dass sich ein Kräftegleichgewicht aller beteiligten Kräfte ausbildet. Die Beschleunigung bei Erreichen der Endgeschwindigkeit ist daher null.
Der Begriff wird auch in der Technik verwendet. Im Automobilsektor spricht man zum Beispiel von Endgeschwindigkeit oder Maximalgeschwindigkeit, wenn sich das Fahrzeug begrenzt durch Motorleistung und äußere Umstände nicht weiter beschleunigen lässt.
Einfache Sonderfälle
Geradlinig gleichförmige Bewegung Von geradlinig gleichförmiger Bewegung spricht man, wenn die Geschwindigkeit des Objekts immer die gleiche ist (d. h. gleich in Betrag und Richtung), was gleichbedeutend mit der Beschleunigung ist. In diesem Fall bewegt sich das Objekt auf einer Geraden, entlang derer man üblicherweise das Koordinatensystem ausrichtet, so dass die Geschwindigkeit eine skalare Größe ist. Dann gilt:
Hierbei ist der in der Zeitspanne zurückgelegte Weg.
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung hat die Beschleunigung stets den gleichen Betrag und die gleiche Richtung. Ist die Bewegungsrichtung parallel zu , so bewegt sich das Objekt auf einer Geraden. Praktischerweise richtet man das Koordinatensystem in Richtung der Bewegung aus und schreibt Beschleunigung und Geschwindigkeit als Skalar. Dann gilt . Hierbei steht für die Anfangsgeschwindigkeit.
Kreisbewegung
Die Geschwindigkeit einer Kreisbewegung bezeichnet man als Umfangsgeschwindigkeit oder allgemein als Bahngeschwindigkeit:
Hierbei steht für die Winkelgeschwindigkeit und für den Radius der Kreisbewegung.
Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ist der Betrag der Umfangsgeschwindigkeit konstant und kann als Quotient der bei einem Umlauf zurückgelegten Weglänge und der dafür benötigten Zeit ausgedrückt werden:
Beziehungen zu anderen physikalischen Größen Beziehung zum Ort Bewegt sich ein Massepunkt im Raum (dreidimensionale Bewegung), so kann man aus dem zeitlichen Verlauf des Geschwindigkeitsvektors auf die Verschiebung des Massepunkts schließen, indem man über die Zeit integriert:
,
wobei und . Hieraus erhält man die Position des Massepunktes zum Endzeitpunkt als
.
Bewegt sich der Massepunkt auf einer Geraden (geradlinige bzw. eindimensionale Bewegung), so richtet man das Koordinatensystem üblicherweise entlang dieser Geraden aus. Die Position des Teilchens wird dann allein durch die Koordinate beschrieben. Die oben stehende Formel vereinfacht sich in diesem Fall zu
.
Dies ist die kinematische Version des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
Beziehung zur Wegstrecke Die zurückgelegte Strecke erhält man durch Integration des Geschwindigkeitsbetrags über die Zeit:
.
Im einfachsten Fall, nämlich bei konstanter Geschwindigkeit, wird daraus .
Beziehung zu Beschleunigung und Ruck Die erste Zeitableitung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung: .
Umgekehrt gewinnt man die Geschwindigkeit aus der Beschleunigung durch Integration (Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz):
.