mini|hochkant=1.5|Gergonne-Punkt G Der Gergonne-Punkt eines Dreiecks (benannt nach dem französischen Mathematiker Joseph Diez Gergonne) ist ein ausgezeichneter Punkt im Inneren eines Dreiecks. Er hat die Kimberling-Nummer .
Definition Der Inkreis eines Dreiecks berühre die Seiten des Dreiecks in den Punkten , und . Gergonne zeigte, dass sich die drei Verbindungsstrecken zwischen diesen Berührungspunkten und der jeweils gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks in einem Punkt, dem Gergonne-Punkt , schneiden. Das Dreieck wird als Gergonne-Dreieck bezeichnet.
Dass sich diese drei Strecken in einem Punkt schneiden, folgt aus der Gleichheit von Tangentenabschnitten (, , ) und dem Satz von Ceva.
Eigenschaften mini|hochkant=1.5|Gemeinsame Gerade g von Gergonne-Punkt G, Mittenpunkt M und Schwerpunkt S Der Gergonne-Punkt liegt mit dem Schwerpunkt und dem Mittenpunkt (in dieser Reihenfolge) auf einer Geraden. Dabei gilt . Gergonne-Punkt und Nagel-Punkt sind isotomisch konjugiert.
Koordinaten
Die trilinearen Koordinaten des Gergonne-Punkts () sind (gleichwertig) oder
Die baryzentrischen Koordinaten sind (gleichwertig) oder
Dabei sind die Seitenlängen des Dreiecks und die Größen der Innenwinkel.
Literatur Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv, 71, 1987, 2, S. 230–233. Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 978-3-662-53034-4, S. 78.
Weblinks
Gergonne-Punkt – Visualisierung mit GeoGebra.
Einzelnachweise
Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck fr:Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle#Point de Gergonne en:Gergonne Point