mini|hochkant=1.2|Der Prototyp aller L-Funktionen: die Riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene. Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes. Verschiedene Farben kodieren verschiedene Argumente der komplexen Funktionswerte. Helle Farbtöne zeigen Funktionswerte mit großem Absolutbetrag an, dunkle einen niedrigen nahe Null.
L-Funktionen werden in der analytischen Zahlentheorie und darauf aufbauenden mathematischen Gebieten untersucht. Das prototypische Beispiel einer L-Funktion ist die Riemannsche Zeta-Funktion. L-Funktionen haben fundamentale Eigenschaften mit der Riemannschen Zeta-Funktion gemeinsam. Sie sind also Verallgemeinerungen der Riemannschen Zeta-Funktion. Zu den fundamentalen Eigenschaften der Riemannschen Zeta-Funktion zählen:
die Riemannsche Zeta-Funktion stimmt in einem Teilbereich der komplexen Zahlenebene mit einer Dirichlet-Reihe und einem Euler-Produkt überein, die beide absolut konvergieren; die zunächst nur in jenem Teilbereich definierte Riemannsche Zeta-Funktion lässt sich analytisch fortsetzen zu einer auf der komplexen Zahlenebene meromorphen Funktion; die fortgesetzte Riemannsche Zeta-Funktion genügt einer Funktionalgleichung eines bestimmten Typs.
Basierend auf den grundlegenden Arbeiten von Leonhard Euler (1707–1783) zur heute so bezeichneten Riemannschen Zeta-Funktion, untersuchten die Mathematiker Bernhard Riemann (1826–1866), Peter Gustav Dirichlet (1805–1859), Richard Dedekind (1831–1916), Erich Hecke (1887–1947) und Emil Artin (1898–1962) grundlegende Unterklassen von L-Funktionen, die heute deren jeweiligen Namen tragen.
Die forschende Suche nach einer allgemeinen und eindeutigen Definition des Begriffs „L-Funktion“, welche die gewünschten und zum Teil noch unbewiesenen Eigenschaften von L-Funktionen beweisbar macht, ist noch nicht abgeschlossen. Vielmehr handelt es sich um ein wichtiges Ziel der analytischen Zahlentheorie, Klarheit über die sinnvollste Definition des Begriffs „L-Funktion“ zu gewinnen. In dieser Richtung hat Atle Selberg (1917–2007) im Jahr 1989 eine axiomatische Definition der Klasse aller L-Funktionen vorgeschlagen, die heute den Namen „Selberg-Klasse“ trägt.Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989. Ob diese oder andere Definitionsvorschläge schon alle wünschenswerten Eigenschaften von L-Funktionen umfassen und unerwünschte ausschließen, ist noch nicht abschließend geklärt. Nach wie vor prägen mathematische Vermutungen (d. h. unbewiesene, aber für plausibel oder zumindest wünschenswert gehaltene Aussagen über Eigenschaften von L-Funktionen) die Theorie der L-Funktionen. Diese zählt somit weiterhin zu den Gebieten intensiver mathematischer Forschung.
Die beiden Begriffe „L-Funktion“ und „Zeta-Funktion“ werden häufig synonym verwendet. Trotzdem zählen nicht alle mathematischen Funktionen, deren Namen den Begriff „Zeta-Funktion“ enthalten, zu den L-Funktionen. Beispielsweise gehört die Primzetafunktion nicht zu den L-Funktionen, da sie analytisch nicht auf die ganze komplexe Ebene fortgesetzt werden kann.
Ein erstes Verständnis des Themenbereichs der L-Funktionen erfordert mathematische Kenntnisse im Bereich der komplexen Zahlen, der Funktionentheorie, der analytischen und algebraischen Zahlentheorie sowie der Darstellungstheorie von Gruppen. Solche Vorkenntnisse können in diesem Artikel zwar teilweise erläutert, aber nicht umfassend dargestellt werden.
Definition
Wie in der Einleitung erwähnt, gibt es noch keine allgemeine, eindeutige und weithin anerkannte Definition des Begriffs „L-Funktion“. Der nachfolgende Definitionsansatz folgt dem Ansatz, den die beiden Mathematiker Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski in ihrem Lehrbuch zur analytischen Zahlentheorie angegeben haben.Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 1, S. 94. Dieser Definitionsansatz ist zwar stellenweise abstrakt und unvollständig in dem Sinne, dass er die „arithmetischen Objekte“, denen er eine „L-Funktion“ zuordnet, sowie den genauen Mechanismus dieser Zuordnung nicht näher spezifiziert. Er umfasst aber die Eigenschaften, die von L-Funktionen im Allgemeinen erwartet werden, und ermöglicht es somit, die entscheidenden Merkmale dieser Funktionen zu erläutern. Nebenbei werden auch noch weitere Grundbegriffe der Theorie der L-Funktionen eingeführt:
Es sei ein – im Rahmen dieser abstrakten Definition nicht näher spezifiziertes – arithmetisches Objekt, z. B. ein Dirichlet-Charakter oder ein algebraischer Zahlkörper. Diesem arithmetischen Objekt zugeordnet ist eine Funktion , die komplexe Argumente auf komplexe Funktionswerte abbildet. Iwaniec und Kowalski nennen eine solche Funktion eine L-Funktion, wenn die nachfolgenden, mathematischen Objekte zugeordnet sind (siehe D-1 bis D-6), die die anschließend genannten Bedingungen erfüllen (siehe B-1 bis B-9):
D-1: Dirichlet-Reihe und Euler-Produkt
Dem arithmetischen Objekt zugeordnet sind eine Dirichlet-Reihe , welche man auch eine L-Reihe nennt, und ein Euler-Produkt . Dabei ist für alle natürlichen Zahlen und . symbolisiert die Menge aller Primzahlen. Die natürliche Zahl heißt der Grad des Euler-Produkts oder auch der Grad der L-Funktion . Für jede Primzahl und jedes ist . Die komplexen Zahlen werden Lokale Wurzeln oder auch Lokale Parameter von bei genannt. Für ein gegebenes heißt der Ausdruck , also der -te Faktor im Euler-Produkt, der Euler-Faktor von bei .
D-2: Gamma-Faktor
Daneben ist dem Objekt ein so genannter Gamma-Faktor
zugeordnet, wobei die Gamma-Funktion, die Kreiszahl und den oben genannten Grad der L-Funktion bezeichnen. Die Parameter sind komplexe Zahlen. Sie heißen die Lokalen Parameter von im Unendlichen oder an der unendlichen Primstelle.
D-3: Führer (Konduktor)
Ebenfalls zugeordnet ist dem Objekt eine natürliche Zahl , der so genannte Führer oder Konduktor von . Primzahlen , die nicht teilen, heißen unverzweigt bzgl. .
D-4: Vollständige L-Funktion
Mit Hilfe der Dirichlet-Reihe, des Gamma-Faktors und des Führers, die zugeordnet sind, definiert man jetzt die so genannte vollständige L-Funktion von :
D-5: Wurzelzahl
Des Weiteren ist dem Objekt eine komplexe Zahl
zugeordnet. Diese komplexe Zahl heißt die Wurzelzahl von .
D-6: Duales, arithmetisches Objekt
Schließlich ist noch ein weiteres, arithmetisches Objekt zugeordnet, das im Rahmen dieser abstrakten Definition nicht näher spezifiziert wird. Es wird das Dual von genannt und mit bezeichnet. Wie im Fall von sind auch eine Dirichlet-Reihe , ein Euler-Produkt
mit , ein Gamma-Faktor und ein Führer sowie eine vollständige L-Funktion zugeordnet. Ist , so nennt man selbstdual, was nichts anderes bedeutet als für alle .Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 1, S. 95.
Die oben genannten, dem arithmetischen Objekt zugeordneten Objekte müssen nun die folgenden Bedingungen erfüllen, damit die Definition einer L-Funktion nach Iwaniec und Kowalski erfüllt:
B-1: Absolutbetrag von lokalen Parametern bei
Für jede Primzahl und jedes ist .
B-2: Werte von lokalen Parametern bei unverzweigtem
Für alle Primzahlen , die bzgl. unverzweigt sind, und alle ist .
B-3: Anforderungen an die lokalen Parameter im Unendlichen
Die Parameter sind entweder reell oder kommen in Form komplex konjugierter Paare im Gamma-Faktor vor. Außerdem ist für jedes . Diese letzte Bedingungen sorgt dafür, dass keine Nullstellen in und keine Polstellen mit besitzt. bezeichnet den Realteil einer komplexen Zahl.
B-4: Absolute Konvergenz der Dirichlet-Reihe und des Euler-Produkts
Sowohl die Dirichlet-Reihe als auch das Euler-Produkt, die zugeordnet sind, konvergieren für absolut.
B-5: Übereinstimmung von L-Funktion, Dirichlet-Reihe und Euler-Produkt in einer komplexen Halbebene
Die L-Funktion, die Dirichlet-Reihe und das Euler-Produkt, die zugeordnet sind, stimmen in der komplexen Halbebene überein:
B-6: Analytische Fortsetzbarkeit und Polstellen
Schon aus den Bedingungen, die die zugeordnete Dirichlet-Reihe erfüllen muss, folgt die Holomorphie der vollständigen L-Funktion in der Halbebene . Diese muss aber auch analytisch fortsetzbar sein zu einer meromorphen Funktion der Ordnung 1 auf ganz , welche Polstellen höchstens in und besitzt.
B-7: Absolutbetrag der Wurzelzahl
Die Wurzelzahl besitzt den Absolutbetrag 1. Also: .
B-8: Anforderungen an die Objekte, die dem Dual von zugeordnet sind
Was das Dual von angeht, so muss gelten: für alle , sowie und . Das bedeutet: In der Dirichlet-Reihe, die zugeordnet ist, sind die -Koeffizienten gerade die komplex konjugierten Zahlen der -Koeffizienten in der Dirichlet-Reihe, die zugeordnet ist. Die Gamma-Faktoren und Führer, die bzw. zugeordnet sind, stimmen überein.
B-9: Funktionalgleichung
Die beiden vollständigen L-Funktionen, die bzw. zugeordnet sind, erfüllen die Funktionalgleichung
für alle . mini|hochkant|Atle Selberg (1917–2007) Der Definitionsansatz von Iwaniec und Kowalski spiegelt die Tatsache wider, dass eine Funktion, die als L-Funktion angesehen wird, typischerweise als Zuordnung der L-Funktion zu einem mathematischen Objekt (z. B. Dirichlet-Charakter, algebraischer Zahlkörper) auftritt. Ihr Definitionsansatz ist abstrakt und unvollständig, da er die Frage offen lässt, was denn jene mathematischen Objekte genau sind und wie jene Zuordnung stattzufinden hat.
Ohne Bezug zu anderen, mathematischen Objekten kommt der Definitionsansatz des norwegisch-US-amerikanischen Mathematikers Atle Selberg von 1989 aus. In einer nicht-abstrakten, eindeutigen Definition spezifiziert er eine Teilmenge der Menge aller Dirichlet-Reihen, deren Elemente bestimmte Eigenschaften erfüllen müssen: absolute Konvergenz der Dirichlet-Reihe, analytische Fortsetzbarkeit, Funktionalgleichung, Ramanujan-VermutungDie Ramanujan-Vermutung bezieht sich auf die Koeffizienten der Dirichlet-Reihe. Sie besagt: Für beliebiges ist . Dabei darf die implizite Konstante im Landau-Symbol von abhängen. und Euler-Produkt. Diese Teilmenge wird heute als Selberg-Klasse bezeichnet.Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet-series. In: Enrico Bombieri u. a. (Hrsg.): Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory. 1992, S. 367–385; Collected Papers. Vol. II, Springer, 1991, S. 47–63.
Die alles überragende Hypothese und der motivierende Hintergrund für die Definition der Selberg-Klasse ist die so genannte Große Riemannsche Vermutung. Auf die Selberg-Klasse angewandt besagt diese Vermutung: keine Nullstelle einer analytischen Fortsetzung einer Dirichlet-Reihe in der Selberg-Klasse besitzt einen Realteil größer als 1/2. Diese Vermutung entspricht im Fall des (vermeintlich) einfachsten Elements der Selberg-Klasse (Riemannsche Dirichlet-Reihe samt ihrer analytischen Fortsetzung zur Riemannschen Zeta-Funktion) der Riemannschen Vermutung, welche bis heute weder bewiesen noch widerlegt ist. Die Große Riemannsche Vermutung konnte bislang für kein einziges Element der Selberg-Klasse bewiesen oder widerlegt werden.
Vor diesem Hintergrund sind auch die noch existierenden Unzulänglichkeiten bei der Definition des Begriffs „L-Funktion“ zu sehen: man möchte den Begriff „L-Funktion“ so definieren, dass L-Funktionen die Große Riemannsche Vermutung beweisbar erfüllen – andererseits konnte man bislang noch nicht einmal den einfachsten Fall (Riemannsche Vermutung für die Riemannsche Zeta-Funktion) beweisen, was ein Zeichen für mangelndes Verständnis der Riemannschen Zeta-Funktion sein könnte und damit eine eindeutige Definition des verallgemeinernden Begriffs der „L-Funktion“ erschwert.
Beispiele von L-Funktionen
Dieser Abschnitt gibt einen Überblick über grundlegende Beispiele von L-Funktionen.
Riemannsche Zeta-Funktion
mini|Bernhard Riemann (1826–1866)