mini|hochkant|0-km-Stein, Budapest Die Zahl Null ist die Anzahl der Elemente in einer leeren Ansammlung von Objekten, mathematisch gesprochen die Kardinalität der leeren Menge.
Null bezeichnet in der Mathematik je nach Kontext verschiedenartig definierte Objekte, die jedoch oft miteinander identifiziert werden können, d. h. als dasselbe Objekt angesehen, das verschiedene miteinander kompatible Eigenschaften vereint. Da Kardinalzahlen (Anzahl der Elemente einer Menge) mit speziellen Ordinalzahlen identifiziert werden, und die Null gerade die kleinste Kardinalzahl ist, wird die Null – im Gegensatz zum gängigen Sprachgebrauch – auch als erste Ordinalzahl gewählt. Als endliche Kardinal- und Ordinalzahl wird sie je nach Definition auch zu den natürlichen Zahlen gezählt.
Die Null ist das neutrale Element bezüglich der Addition (anschaulich gesprochen die Differenz zweier gleicher Zahlen) in vielen Körpern, wie etwa den rationalen Zahlen, reellen Zahlen und komplexen Zahlen, und eine gängige Bezeichnung für ein neutrales Element in vielen algebraischen Strukturen, selbst wenn andere Elemente nicht mit gängigen Zahlen identifiziert werden. Als ganze Zahl ist die Null Nachfolgerin der Minus-Eins und Vorgängerin der Eins. Auf einer Zahlengeraden trennt der Nullpunkt die positiven von den negativen Zahlen. Die Null ist die einzige reelle Zahl, die weder positiv noch negativ ist. Die Zahl Null ist gerade.
Dargestellt wird die Null durch die Ziffer „0“, deren Einführung Stellenwertsysteme wie das Dezimalsystem erst möglich machte.bei einigen Streitkräften, beispielsweise in der Bundeswehr, erfolgt die Darstellung mit einem kleinen Schrägstrich oben rechts, vgl. :Datei:Bundeswehr - ATN Sicherungssoldat 1994 (links) mit Umrandung "ATN 3002987".jpgin der Gebärdensprache: 140pxin Darstellungen von Computermonitoren oder -ausdrucken: teils mit Punkt (mittig) oder mit Schrägstrich: 140px
Die Geschichte der Null Erst die Erfindung eines Stellenwertsystems mit dem Lückenzeichen „0“ und die Betrachtung von „0“ als eigenständige Ziffer, die etwas darstellt, mit dem man wie mit anderen Zahlen rechnen konnte, führte zur Vorstellung, dass die Null „0“ eine Zahl sei. Damit war eine Grundlage für die weitere Entwicklung der Mathematik gelegt.
Alte Welt Babylonien In der Perser- (539–331 v. Chr.) und hauptsächlich der Seleukidenzeit (305–63 v. Chr.) gab es als Vorstufe der Zahl Null ein Fehlzeichen im Sexagesimalsystem der Babylonier,Vogel, S. 16, Fußnote 3. nämlich in sexagesimalen Zahlen an Stellen ohne Wert. Davor wurde es nur in altbabylonischer Zeit (um 1800–um 1500 v. Chr.) in manchen Texten verwendet, um Doppeldeutigkeiten wie sexagesimal 30,16 (= 30×60 + 16 = 1816) und 20,26 (= 20×60 + 26 = 1226) oder 10,36 (= 10×60 + 36 = 636) zu verhindern,Bei dieser Wiedergabe sexagesimaler Zahlen werden die Stellen durch Kommas voneinander getrennt. eine Stelle ohne Wert wurde dann durch eine Lücke dargestellt.Gericke: Geschichte des Zahlbegriffs, S. 46 f. Meistens musste man aber aus dem Zusammenhang heraus auf das Fehlen von Stellen schließen, was jedoch nur sehr selten nötig war, denn in den erhaltenen Texten findet sich unter Tausenden von Zahlenangaben nur etwa ein Dutzend solcher Fälle.Vogel, S. 17. Die sexagesimalen Zahlen der Babylonier hatten keine feste Größenordnung, so wurde z. B. dezimal 123 (= 2×60 + 3) genau so geschrieben wie 7380 (= 2×60² + 3×60) oder 2,05 (= 2 + 3/60). Nur in astronomischen Texten änderte sich dies ab 200 v. Chr. und das Fehlzeichen wurde dort auch am Ende von Zahlen verwendet.Menninger; Band 1, S. 178, Band 2, S. 212.
Bereits in altbabylonischer ZeitVogel, S. 60 f. traten außerdem in algebraischen Texten Differenzen bei Zwischenergebnissen auf, die auch null wurden. In solchen Fällen stand in den Texten aber nur,Vogel, S. 61. dass Minuend und Subtrahend gleich seien, es findet sich weder ein Name für null noch wurde eine Anzahl von null als Lösung algebraischer Aufgaben anerkannt. Die Babylonier kannten daher noch keine Zahl Null.
Ägypten, Griechenland und Römisches Reich
Die Griechen dagegen kannten keine Zahl Null. Erst die hellenistische Welt übernahm von den Babyloniern mit der Astronomie auch deren Sexagesimalbrüche, man schrieb diese jedoch mit den ionischen Zahlsymbolen.siehe E. Löffler: Ziffern und Ziffernsysteme. 1. Teil: Die Zahlzeichen der alten Kulturvölker. 2., neu bearb. Auflage. B.G. Teubner, Leipzig/Berlin 1918, S. 37 f. So auch der griechische Astronom Klaudios Ptolemaios, der im 2. Jahrhundert n. Chr. in der berühmten Bibliothek des Museions in Alexandria arbeitete. Er verwendete in astronomischen Angaben das Fehlzeichen o,H.-D. Ebbinghaus u. a.: Zahlen. 3. Auflage. Springer, Berlin 1992, S. 12. das vermutlich für („nichts“) steht.Menninger; Band 2, S. 212 f.
Die römischen Kaiser förderten zwar die Wissenschaften in den ehemals hellenistischen Gebieten ihres Reiches, bedeutende eigene mathematische Leistungen hatten die Römer jedoch nicht vorzuweisen. Die Römer kannten zwar sprachliche Ausdrücke für „nicht etwas“ (nullum) und „nichts“ (nihil), aber kein Zahlzeichen und keinen eigenen mathematischen Begriff für einen Zahlwert „Null“ (siehe Römische Zahlschrift). Bei der Darstellung von Zahlen auf dem Rechenbrett oder dem Abakus wurde das Nichtvorhandensein eines Stellenwertes durch Freilassen der entsprechenden Spalte angezeigt; in Tabellenwerken wurde das Fehlen einer Zahl zuweilen durch einen waagerechten Strich, manchmal kombiniert mit einem kleinen Kreis, markiert.
Indien und Südostasien
Vermutlich beeinflusst durch das babylonische Sexagesimalsystem sowie durch Astronomie und KalenderrechnungErgebnisse der babylonischen Astronomie gelangten vom 3. Jahrhundert v. Chr. bis zum 1. Jahrhundert n. Chr. vor allem über den Hafen Bharukaccha in Nordwestindien ins Land und damit auch Kenntnisse über das babylonische Sexagesimalsystem. Neugebauer: A history of ancient mathematical astronomy. 1975. Ifrah loc. cit, S. 508. entstand zwischen 300 v. Chr. und 600 n. Chr. in Indien das dezimale Stellenwertsystem mit 0 und Zahlzeichen für 1, …, 9, die auf speziellen Zahlzeichen der Brahmi-Zahlschrift und der Kharoshthi-Schrift beruhen.Gericke: Mathematik in Antike und Orient. S. 183 ff. Da im Dezimalsystem Stellen mit einer Lücke, d. h. dem Wert null, sehr viel häufiger auftreten als im babylonischen Sexagesimalsystem, wurde ein Lückenzeichen für die Null im dezimalen Stellenwertsystem unentbehrlich, was für die Akzeptanz der Null als Zahl wohl förderlich gewesen sein dürfte.
Seit dem 7. Jahrhundert n. Chr. findet sich in Inschriften ein Punkt oder ein Kreis als Symbol für die „Leere“ („śūnya“ bzw. „shunya“), wie in Indien spätestens seit dem 5. Jahrhundert n. Chr. die Null genannt wurde.Gericke: Geschichte des Zahlbegriffs. S. 47. In seinem 628 verfassten Lehrbuch „Brāhmasphutasiddhānta“ gab der in Bhinmal (Rajasthan) lehrende Mathematiker und Astronom Brahmagupta Rechenregeln auch für die Null an.Gericke: Mathematik in Antike und Orient. S. 189, 192. Ein weiterer gesicherter Nachweis der Null als Zahl (geschrieben als kreisförmiges Symbol „O“) in Indien (schon früher in Südostasien) ist eine Steintafel im 875 erbauten Chaturbhuj Tempel von Gwalior (500 km südlich von Neu-Delhi) mit den Daten 27. Dezember 786, 10. Januar 787 und 17. Januar 787, die von einer Gartenanlage handelt, deren Länge 270 (hastas) beträgt und 50 Blumengirlanden erhielt.Epigraphia Indica, Vol. I, Calcutta 1892, S. 159–162.
Eine weitere frühe schriftliche Verwendung der Null findet sich in der Inschrift K. 151 aus Sambor Prei Kuk in Kambodscha vom Anfang des 7. Jahrhunderts und berichtet von der Errichtung einer Götterstatue am 14. April 598: Das hier benutzte Jahr der Śaka-Ära ist 520, wobei die Null mit dem Begriff „Luftraum“ („kha“, geschrieben „Φ“) wiedergegeben ist.K.-H. Golzio, Chronologie der Inschriften Kambojas, Wiesbaden 2006, S. 1. Ein weiterer Nachweis der Verwendung der Ziffer „0“ (geschrieben als Punkt) stammt ebenfalls aus Kambodscha in der Inschrift K. 127 auf einer Stele der Tempelanlage Bayon nahe Angkor Wat, wo in Ziffern das Śaka-Jahr „605“ genannt wird, das unserem Jahr 683 entspricht.Golzio: Chronologie. S. 23. Eine ganze Reihe von Inschriften, deren Datum „0“ enthält und die aus etwa der gleichen Zeit stammen, wurden auf Sumatra gefunden.G. Cœdès: Les inscriptions malaises de Çrīvijaya. BEFEO XXX, 1930, S. 29–80; auf S. 33–44.
Ein weiterer materieller Beleg für ein schriftliches Symbol der Null im indischen Raum findet sich im Bakhshali-Manuskript. Nach der 2024 veröffentlichten Radiokarbondatierung der Birkenrinde stammt das Manuskript wahrscheinlich aus dem Zeitraum zwischen 799 und 1102. Die ursprünglich verbreitete Interpretation der Ergebnisse der ersten Radiokarbondatierung von 2017, die eine Entstehung im 3. oder 4. Jahrhundert nahelegten, wurde von Forschern wie Kim Plofker in Frage gestellt. Demnach zeigt das Manuskript eine Einheitlichkeit sowohl bei Schrift, Inhalt und Erhaltungszustand, die darauf deutet, dass es dem spätesten Zeitpunkt der Datierungen der Birkenrinde zugeordnet werden sollte.Kim Plofker, Agathe Keller, Takao Hayashi, Clemency Montelle, Dominik Wujastyk: „The Bakhshālī Manuscript: A Response to the Bodleian Library’s Radiocarbon Dating“, in: History of Science in South Asia 5.1 (2017), S. 134–150. doi:10.18732/H2XT07.
In den ursprünglichen indischen Systemen der Brahmi-Zahlschrift wie auch beim Aryabhata-Code und der Kharoshthi-Schrift war die Reihenfolge der Wertigkeiten umgedreht, die Einer wurden zuerst (linksbündig) geschrieben, dann die höherwertigen Zahlen. Dies galt aber nur für die Zeit vor der Einführung der Null und der dezimalen Schreibweise.
China Im antiken China kannte man keine Zahl Null, denn Problemstellungen hatten niemals eine Anzahl von null als Lösung und es gab keine eigenständige Null, mit der man wie mit anderen Zahlen rechnen konnte.Martzloff, S. 204. Zahlen wurden jedoch wohl spätestens seit dem 1. Jahrhundert n. Chr. (frühe Han-Dynastie) durch Stäbchen ausgelegt (Jiu Zhang Suanshu, Kapitel 8, Problem 3):Martzloff, S. 210. Die Einer senkrecht, die Zehner waagerecht, die Hunderter wieder senkrecht usw., wobei an einer Stelle mit mehr als 5 Stäbchen 5 davon durch ein Stäbchen in jeweils anderer Richtung ersetzt wurden.Gericke: Mathematik in Antike und Orient. S. 170. Für die Nutzung von Rechenbrettern in der frühen Han-Zeit gibt es keinen Beweis: Martzloff, S. 209. Man verfügte also über ein dezimales Stellenwertsystem, in dem es allerdings – wie im ursprünglichen Sexagesimalsystem der Babylonier – kein Fehlzeichen für Stellen ohne Wert gab.Anders als von einigen Historikern behauptet, lassen sich für die Zeit vor dem 8. Jahrhundert n. Chr. keine Lücken für fehlende Stellen nachweisen: Martzloff, S. 204–207. Erst in der Übersetzung eines indischen astronomischen Textes aus der Zeit von 713 bis 741 n. Chr. findet sich die früheste bekannte chinesische Erwähnung eines Fehlzeichens (ein Punkt).Martzloff, S. 207.
Ebenso war wahrscheinlich schon im 1. Jahrhundert n. Chr. eine Art Matrizenrechnung zur Lösung von linearen Gleichungssystemen bekannt (Jiu Zhang Suanshu, Kapitel 8).Gericke: Mathematik in Antike und Orient. S. 176–177. Zur Unsicherheit der Datierung siehe Martzloff, S. 131. Dabei traten in den Rechnungen auch negative Werte auf, die man mit Stäbchen – erstmals in der Geschichte – unterschiedlich zu positiven Werten darstellte. Für diese wurden Additions- und Subtraktionsregeln angegeben, insbesondere auch für leere Einträge, die Matrizenelementen mit dem Wert null entsprachen. Damit hatte man eine rechnerische Vorstufe der Zahl Null. Die Vorzeichenregeln der Multiplikation sind in China dagegen erst ab 1299 n. Chr. nachgewiesen.Martzloff, S. 200–203.
Europa ab dem Mittelalter