Zufallsmatrix

Eine Zufallsmatrix bezeichnet in der Stochastik eine matrixwertige Zufallsvariable (). Ihre Verteilung nennt man zur Abgrenzung von den multivariaten Verteilungen eine matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Zufallsmatrizen spielen eine wichtige Rolle in der statistischen sowie mathematischen Physik, insbesondere in der statistischen Mechanik. Aus historischer Sicht hat sich die Theorie aus dem Versuch entwickelt, Systeme mit vielen stochastischen aber miteinander agierenden Teilchen zu beschreiben. Viele der Grundlagen der Theorie stammen deshalb von mathematischen Physikern und viele Modelle haben eine physikalische Interpretation. Die ersten Arbeiten zum Thema Zufallsmatrizen stammen allerdings von dem Statistiker John Wishart.

Die Theorie der Zufallsmatrizen ist in der multivariaten Statistik relevant, wo man sie zur Analyse von Kovarianzmatrizen benötigt. Insbesondere im Zusammenhang mit hoch-dimensionalen Daten und spektralstatistischen Verfahren wie der Hauptkomponentenanalyse (PCA).

Zufallsmatrizen sind zu unterscheiden von der stochastischen Matrix. Haarsches Maß und Weylsche Integralformel Lie-Gruppen treten in der Theorie der Zufallsmatrizen natürlich auf, da klassische Zufallsmatrix-Ensembles als Wahrscheinlichkeitsmaße auf kompakten Matrixgruppen modelliert werden können und sich ihre spektrale Statistik durch die Eigenwerte der entsprechenden Gruppenelemente beschreiben lässt.

Auf jeder Lie-Gruppe existiert ein eindeutiges, links-invariantes Maß , d. h. für jedes und jede Borel-messbare Menge gilt . Dieses Maß nennt man linkes Haarsches Maß und es ist eindeutig bis auf Multiplikation mit einer Konstanten.

Betrachtet man nun eine kompakte Lie-Gruppe , so existiert ein eindeutiges, linkes Haarsches Maß , welches zugleich auch rechts-invariant und normalisiert ist, genannt das Haarsche Wahrscheinlichkeitsmaß auf . Das heißt für jedes und jede Borel-messbare Menge gilt .

Für kompakte Lie-Gruppen lässt sich mit Hilfe der Integralformel von Weyl eine Formel für die Wahrscheinlichkeitsdichte bezüglich der Eigenwerte finden. Als Beispiel sei die unitäre Gruppe, die Eigenwerte sind von der Form mit . Weiter sei eine sogenannte Klassenfunktion und der maximale Torus von , also die Untergruppe aller Diagonalmatrizen von , bezeichnet die adjungierte Darstellung und bezeichne das Wurzelsystem, dann gilt: , und somit erhält man mit Hilfe von Weyl’s Integralformel ein Integral über den maximalen Torus

.

Definition Eine formale mathematische Definition lautet: Sei der Raum der -Matrizen über dem Körper mit einer σ-Algebra und ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine -messbare Funktion heißt Zufallsmatrix.

Als -Algebra kann die borelsche σ-Algebra des euklidischen Umgebungsraumes der Mannigfaltigkeit verwendet werden. Eine Zufallsmatrix ist somit das matrixwertige Analogon zu einer skalaren Zufallsvariablen.

Zentrale Begriffe Partitionsfunktion Sei ein Matrix-Raum (z. B. der hermiteschen -Matrizen ) und sei ein komplexes Maß auf diesem Raum, welches in der Regel nicht normalisiert ist. Dann nennt man das Integral

Partitionsfunktion und man erhält einen Erwartungswert zur Funktion

Wignersche Matrix Seien und i.i.d Zufallsvariablen mit gleichem Erwartungswert sowie und . Man nennt eine Zufallsmatrix eine (komplexe) Wignersche-Matrix wenn sie hermitesch ist und folgendes gilt .

Die Matrix wird oft mit skaliert. Manche Autoren definieren sie aber auch ohne Skalierung.

Sie ist ein wichtiger Typ von Zufallsmatrizen und benannt nach Eugene Wigner.

Wignersche Matrizen mit einer zugrundeliegenden Normalverteilung führen zu dem Begriff der gaußschen invarianten Ensembles. Allgemeine Wignersche Matrizen sind nicht invariant.

Das GUE erhält man, wenn zusätzlich gilt und die Einträge normalverteilt sind. Das GOE erhält man wenn alle Einträge reell und normalverteilt sind und zusätzlich gilt.

Invariante Ensembles Zentrale Studienobjekte sind die invarianten Ensembles, welche durch die folgenden Maße auf dem entsprechenden Raum der Matrizen induziert werden:

wobei der Dyson-Index ist und das Potential. Man setzt an voraus, dass genügend schnell, wenn , damit alle Momente existieren. In der Regel ist ein Polynom. Man erhält für das orthogonale Ensemble (OE) auf dem Raum der reellen symmetrischen Matrizen. das unitäre Ensemble (UE) auf dem Raum der hermiteschen Matrizen das symplektische Ensemble (SE) auf dem Raum der hermiteschen quaternionen Matrizen.

Die freie Energie der unitären Ensembles ist

wobei den Raum der hermiteschen Matrizen bezeichnet.

Mit Hilfe der weylschen Integralformel lässt sich zeigen, dass das kanonische (unnormalisierte) Haarsche Maß auf der entsprechenden kompakten Lie-Gruppe oder folgende Darstellung zulässt

wobei das Lebesgue-Maß der Eigenwerte ist. Für skalierte Einträge des Gaußschen Ensembles erhält man eine geschlossene Form des Wahrscheinlichkeitsmaßes über der Weyl-Kammer mit

Das Wahrscheinlichkeitsmaß enthält den Boltzmann-Faktor wobei die totale potentielle Energie bezeichnet

Die Konstante

lässt sich mit Hilfe des Selberg-Integrals berechnen.

Gaußsche Ensembles Wichtige Spezialfälle der invariante Ensembles sind die Gaußschen Ensembles, welche durch das Potential mit und die folgenden Gaußschen Maße erzeugt werden

Man erhält für das Gaußsches Orthogonales Ensemble (GOE) auf dem Raum der reellen symmetrischen Matrizen. das Gaußsches Unitäres Ensemble (GUE) auf dem Raum der hermiteschen Matrizen. das Gaußsches Symplektisches Ensemble (GSE) auf dem Raum der hermiteschen quaternionen Matrizen.

Die Bezeichnung orthogonal/unitär/symplektisch bezeichnet, unter welcher Matrix Konjugation die Verteilung invariant ist.

Beispielsweise gilt für eine Matrix aus dem GOE und einer Matrix aus der orthogonalen Gruppe , dass .

In der Quantenmechanik werden sie verwendet, um Hamiltonoperatoren zu modellieren.

Herleitung des GUE durch Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse Man betrachte das System stochastischer Differentialgleichungen der Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse

wobei unabhängige brownsche Bewegungen sind mit

und die Initialwerte beliebig sind.

Definiert man nun eine hermitesche Zufallsmatrix für mit

und bezeichnet mit das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß, dann gilt für und

wobei das GUE bezeichnet.

Zirkulare Ensembles Man erhält das Zirkulare Unitäre Ensemble (ZUE) durch das haarsche Maß auf dem Raum der unitären Matrizen. Das Zirkulare Orthogonale Ensemble (ZOE) erhält man durch das haarsche Maß auf dem Raum der symmetrischen unitären Matrizen. Das Zirkulare Symplektische Ensemble (ZSE) erhält man durch das haarsche Maß auf dem Raum der selbst-dualen unitären Quaternionen-Matrizen. Die Dichte der Eigenwerte der Zirkularen Ensembles ist

wobei für das ZOE, für das ZUE und für das ZSE gilt.

β-Ensembles und Dysons „Threefolded Way“ Man spricht von Dysons -Ensemble, da Freeman Dyson in seiner wissenschaftlichen Schrift The Threefolded Way diese Klassifizierungen der Zufallsmatrizen herleitete, basierend auf physikalisch möglichen Zeitumkehr-Eigenschaften der Quantenmechanik (orthogonal, unitär, symplektisch). Der Fall ist aufgrund des Satzes von Frobenius nicht möglich. Neben den Gaußschen Ensembles spielen auch die -Wishart-Laguerre-Ensembles und die -Jacobi-Manova-Ensembles eine zentrale Rolle in der Theorie der Zufallsmatrizen.

Es ist üblich, nur von Laguerre-Ensembles bzw. Jacobi-Ensembles zu sprechen, statt von Wishart- bzw. Manova-Ensembles

Allgemeine spielen in der klassischen Theorie der Zufallsmatrizen eine untergeordnete Rolle.

Theorie der Zufallsmatrizen Die Theorie der Zufallsmatrizen befasst sich weniger mit einer konkreten Zufallsmatrix, sondern mit dem Matrizenraum dahinter. Konkret geht es um Wahrscheinlichkeitsmaße auf Matrixräumen und Lie-Gruppen, dies erklärt den Begriff des Ensembles. Ein klassisches Problem der Theorie der Zufallsmatrizen ist das Finden einer multivariaten Wahrscheinlichkeitsdichte für die Eigenwerte unterschiedlicher Matrix-Ensembles. Eine der frühesten Arbeiten stammt von Dyson, welcher eine geschlossene Form für eine große Menge von Matrizen fand, abhängig von der zugrundeliegenden Symmetrie der Matrizen und Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Die Spektraleigenschaften großer Zufallsmatrizen haben universelle Eigenschaften und man kann beim Studium komplizierter deterministischer Operatoren, wie zum Beispiel dem Dirac-Operator aus der Physik, diese Operatoren mit Zufallsmatrizen ersetzen und die Theorie der Zufallsmatrizen anwenden.

Beim Studium von Integralen über Matrix-Räume verwendet man zum Teil Resultate aus der Theorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren. Auch die freie Wahrscheinlichkeitstheorie von Voiculescu ist von Relevanz für große Zufallsmatrizen.

Generell untersucht man Matrizen mit bestimmten Symmetrie-Eigenschaften (z. B. hermitesche) und hat bestimmte stochastische Anforderungen an die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Raum jener Matrizen (z. B. obere Dreiecksmatrix unabhängig). Des Weiteren interessiert man sich vor allem für die Spektraltheorie und dessen asymptotisches Verhalten, wenn die Dimension . Die Spektraltheorie ist engverbunden mit der Theorie der Punktprozesse, da die Eigenwerte einen (zufälligen) Punktprozess formen. Bei vielen Ensembles taucht in der gleichen Region derselbe Punktprozess in unendlicher Dimension auf (Universalität). Matrix-wertige Funktionen wie die Determinante oder die Spur können nicht einfach auf unendlich-dimensionale Matrizen übertragen werden. Für bestimmte Operatoren lässt sich aber mit der abstrakten Fredholmtheorie eine Erweiterung auf unendlich-dimensionale separable Hilberträume über die äußere Algebra finden. Es lassen sich Determinanten für Operatoren aus den Schatten-von Neumann-Klassen definieren.

Definiert man die Einträge der Matrix als Brownsche Bewegungen, so lässt sich auch das matrixwertige Analogon eines stochastischen Prozesses bilden und die Theorie der stochastischen Analysis und die Martingal-Theorie ist anwendbar, siehe Dysons brownsche Bewegung und Wishart-Prozess.

Spektraltheorie der Zufallsmatrizen Mit sei der -te Eigenwert der Matrix notiert.

Sind die Einträge einer hermiteschen Zufallsmatrix von der Größe , so konvergiert das empirische Spektralmaß

wobei das Dirac-Delta bezeichnet.

Die Ensembles sind Punktprozesse Da die zufälligen Ensembles Punktprozesse sind, kann man die -Punkt Korrelationsfunktion für die Eigenwerte herleiten. Sei eine Testfunktion und definiere das Funktional

Dann ist die -Punkt Korrelationsfunktion folgende ausgewertete Funktionalableitung

Mit dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz lässt sich Konvergenz im Erwartungswert für definieren

Globale Spektraltheorie Die globale Spektraltheorie untersucht das makroskopische Grenzverhalten der Eigenwertverteilung großer Zufallsmatrizen. Im Zentrum steht dabei das oben eingeführt empirische Spektralmaß , welches die Verteilung der Eigenwerte einer beschreibt.

Ein fundamentales Resultat ist das sogenannte Wignersche Halbkreisgesetz (siehe Eugen Wigner). Es besagt, dass das (geeignet skalierte) empirische Spektralmaß einer Wigner-Matrix im Limes schwach gegen eine deterministische Maßverteilung konvergiert, die durch das Halbkreisgesetz gegeben ist. In der physikalischen Terminologie entspricht diese Grenzverteilung der makroskopischen Zustandsdichte des Systems.

Die Grenzverteilung ist kein zufälliges Objekt, sondern ein deterministisches Wahrscheinlichkeitsmaß, das als eindeutiges Gleichgewichtsmaß eines Variationsprinzips charakterisiert ist. Dieses Variationsproblem ist strikt konvex auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße und besitzt daher einen eindeutigen Minimierer, der die makroskopische Eigenwertverteilung vollständig beschreibt. Das Variationsproblem der Verteilung der Eigenwerte Allgemeiner handelt es sich bei der Grenzwertverteilung der Eigenwerte um die Lösung eines Variationsproblem. Definiere den Raum der Maße

und betrachte das Energie-Funktional