Das Weierstraßsche Majorantenkriterium (auch: Weierstraßscher M-Test) ist ein Kriterium zum Nachweis gleichmäßiger und absoluter Konvergenz einer Funktionenreihe. Als Spezialfall enthält es das Majorantenkriterium für Reihen. Es wurde nach dem Mathematiker Karl Weierstraß benannt.
Aussage Sei eine Folge reell- oder komplexwertiger Funktionen auf der Menge . Seien reelle Konstanten, so dass
für alle und alle in gilt. Weiterhin konvergiere die Reihe .
Dann gilt: Die Reihe
konvergiert absolut und gleichmäßig auf .H. Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. Vieweg+Teubner (2009), Satz 105.3, S. 555.
Beispiel Sei eine reelle Zahl, dann ist die Weierstraß-Funktion
überall stetig, aber nirgends differenzierbar.E. M. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis. An Introduction. University Press Group Ltd (2003), Theorem 3.1, S. 114. Die Stetigkeit dieser Funktion kann durch den Weierstraßschen M-Test nachgewiesen werden. Es gilt nämlich
sowie
nach der Formel für die geometrische Reihe. Daher konvergiert die Reihe gleichmäßig nach dem Weierstraßschen M-Test. Die einzelnen Partialsummen bilden nun eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen konvergiert. Damit ist als ein solcher Grenzwert stetig.
Literatur Herbert Amann und Joachim Escher, Analysis 1, Birkhäuser, Basel, 2002. (siehe Satz V.1.6)
Einzelnachweise
Weierstrass Majorantenkriterium