Der Satz von Schur-Zassenhaus ist ein mathematischer Satz in der Gruppentheorie. Der nach Issai Schur und Hans Julius Zassenhaus benannte Satz lautetRowen B. Bell, J. L. Alperin: Groups and Representations, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, Band 162, ISBN 0-387-94526-1 (Kapitel 9: The Schur-Zassenhaus-Theorem):
Für eine endliche Gruppe und einen Normalteiler mit existiert eine Untergruppe mit und . Die Gruppe ist also das semidirekte Produkt aus und .
Die Untergruppe in obigem Satz ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, aber man kann zeigen, dass je zwei solche Untergruppen konjugiert sind.
Beispiele Die zyklische Gruppe hat den Normalteiler . Da die Zahlen und teilerfremd sind, kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden. ist offenbar die einzige Untergruppe, die die Aussage des Satzes erfüllt. Da die Gruppe abelsch ist, ist das semidirekte Produkt in diesem Fall sogar direkt.
Die symmetrische Gruppe hat den Normalteiler . Wegen und kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden, offenbar erfüllen die drei Untergruppen die Aussage des Satzes.
Die zyklische Gruppe hat den Normalteiler . Hier sind und nicht teilerfremd, weshalb der Satz nicht anwendbar ist. Tatsächlich gibt es keine Untergruppe , die die Aussage des Satzes erfüllt, denn eine solche müsste ein Element der Ordnung 2 haben, aber das einzige Element der Ordnung 2 ist und das liegt bereits in . Dieses Beispiel zeigt, dass auf die Teilerfremdheit von und in obigem Satz nicht verzichtet werden kann.
Ist irgendeine Gruppe, so zeigt das Beispiel , dass die Teilerfremdheitsbedingung nicht notwendig ist für das Bestehen einer Darstellung als semidirektes, ja sogar direktes, Produkt.
Einzelnachweise
Quellen Andreas Nickel: Basiswissen Algebra (PDF; 544 kB), Universität Regensburg, S. 6
Kategorie:Gruppentheorie Schur-Zassenhaus, Satz von