Das Gauge-Integral (auch: Eichintegral, Henstock-Integral, Henstock-Kurzweil-Integral, Denjoy-Perron-Integral) ist ein Integraltyp deskriptiver Natur, dessen heutige Formulierung erst Mitte des 20. Jahrhunderts von dem Mathematiker Jaroslav Kurzweil (1926–2022)Zemřel vědec Jaroslav Kurzweil, významná osobnost české matematiky, tn.nova.cz, 18. März 2022 entdeckt wurde. Ralph Henstock widmete sich der Entwicklung der Theorie dieses Integraltyps. Eine zentrale Abschätzung, das sog. Henstock-Lemma, ist nach ihm benannt. Vorläufer ist das (äquivalente) Denjoy-Perron-Integral, das allerdings auf einer sehr technischen und unanschaulichen Definition beruht.
Die Besonderheit des Gauge-Integrals besteht darin, dass jede Ableitungsfunktion automatisch (das heißt ohne Zusatzvoraussetzungen) integrabel ist mit Daneben treten in der Theorie des Gauge-Integrals bedingt integrable Funktionen auf. Darunter versteht man Funktionen, die zwar integrabel sind, nicht aber deren Betrag. Sowohl bei der Riemann- als auch bei der Lebesgue-Definition folgt aus der Integrierbarkeit einer Funktion stets die Integrierbarkeit ihres Betrags.
Das Gauge-Integral enthält sowohl das Riemann- als auch das Lebesgue-Integral als Spezialfälle, d. h., jede Riemann- bzw. Lebesgue-integrable Funktion ist Gauge-integrabel; da es jedoch Funktionen gibt, die weder Riemann- noch Lebesgue-integrabel, aber dennoch Gauge-integrabel sind, stellt das Gauge-Integral eine echte Erweiterung des Lebesgue-Integrals dar.
Den Namen „Eichintegral“ („gauge“ ist der englische Ausdruck für Eichung) verdankt das Integral seiner Definition: Ähnlich wie das Riemann-Integral kommen auch beim Eichintegral Zerlegungen und Riemann-Summen zum Einsatz, die Feinheit einer Zerlegung wird allerdings mit einer speziellen intervallwertigen Funktion, genannt Eichfunktion, beurteilt.
Einleitung Der Hauptsatz Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (in der gängigen Zählung sein 1. Teil) ist ein zentraler Satz in der Theorie des Riemann- und des Lebesgue-Integrals. Er lautet:
Satz: Ist eine Ableitungsfunktion von über dem Intervall Riemann- (bzw. Lebesgue-) -integrierbar, so gilt:
Der Hauptsatz liefert in der Praxis eine der wichtigsten Methoden, den Wert eines Integrals konkret und exakt zu bestimmen. Möchte man etwa die Funktion mit über integrieren, so fasst man f als Ableitungsfunktion einer Funktion genannt Stammfunktion, auf. Offenbar ist durch eine Stammfunktion von gegeben, sodass folgt:
Sowohl beim Riemann- als auch beim Lebesgue-Integral muss allerdings die Integrierbarkeit von als Voraussetzung angeführt werden – nicht jede Ableitungsfunktion ist unbedingt auch integrabel. Vielmehr zeigt sich, dass es Ableitungsfunktionen gibt, die weder Riemann- noch Lebesgue-integrabel sind. Ein Beispiel ist die Funktion mit
mini|499px|Abbildung 1: Darstellung der Funktion g und ihrer Ableitung (die Funktion g wurde mit dem Faktor 150 skaliert)
(vgl. Abb. 1). Ihre Ableitung ist durch
gegeben. Da nicht beschränkt ist, ist auch nicht Riemann-integrabel. Man kann zeigen, dass auch nicht Lebesgue-integrierbar ist.
Eine (anschauliche) Analyse der Gründe, aus denen nicht Riemann-integrabel ist, führt zu einer entscheidenden Verbesserung der Riemann-Definition. Dazu überlegt man sich zunächst, woher die Formel überhaupt kommt.
Das Straddle-Lemma und die Probleme des Riemann-Integrals
Nach dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung gibt es zu einer differenzierbaren Funktion auf einem Intervall ein mit
Wählt man zu einer Zerlegung Zwischenstellen nach dem Mittelwertsatz, so erhält man als Ergebnis für Riemannsummen
mini|400px|Abbildung 2: Die Tangente im Punkt an der Stelle und die Sekante über dem Intervall , in dem liegt, sind nahezu parallel, die Sekantensteigung (mittlere Steigung über ) also eine gute Näherung der Tangentensteigung (punktuelle Steigung).
Die letzte Summe stellte dabei eine Teleskopsumme dar. Für andere Zwischenstellen gilt in der obigen Rechnung i. A. keine Gleichheit, doch für den Nachweis von ist es auch nicht erforderlich, dass alle Riemannsummen exakt gleich sind. Es genügt, dass sich die Riemannsummen der Zahl für irgendwelche Zwischenstellen beliebig nähern, sofern man die betrachteten Zerlegungen nur hinreichend fein wählt. Dies wäre etwa dann der Fall, wenn eine Funktion auf jedem Intervall für alle die Näherung
erfüllt, wobei der durch die Näherung entstehende Fehler beliebig klein wird, sofern das Intervall nur hinreichend klein ist (Abb. 2).
Nun gibt es aber Funktionen, die genau dieses Verhalten nicht zeigen. Eine solche Funktion ist die Funktion aus dem vorherigen Abschnitt. Man betrachte etwa das Intervall für irgendein (auch beliebig kleines) oszilliert nahe 0 „wild hin und her“, daher lässt sich auf jedem Intervall dieser Form (egal, wie klein es auch sei) eine Stelle finden, sodass eine beliebig große positive oder negative Zahl ist. Die durchschnittliche Steigung über dem Intervall hingegen strebt gegen 0, wenn gegen 0 tendiert. Schließlich ist und die durchschnittliche Steigung von g über dem Intervall gerade der Differenzenquotient von an der Stelle 0:
kann also beliebig stark von der durchschnittlichen Steigung auf dem Intervall abweichen. Da jede Zerlegung Z ein Intervall dieser Form „enthält“, gibt es für jede Zerlegung ein Teilintervall und bestimmte Zwischenstellen, für die die Näherung verletzt ist. Dies kann – wie im Fall der Funktion g – dazu führen, dass nicht Riemann-integrabel ist, denn nach der Riemannschen Definition müssen ja alle Zwischenstellen zu einer Zerlegung Z untersucht werden. Wünschenswert wäre eine Integraldefinition, bei der zu bestimmten Teilintervallen auch nur bestimmte Zwischenstellen betrachtet zu werden brauchen. Zwecks Integration der Funktion wäre es z. B. hilfreich, für das Teilintervall nur die Zwischenstelle 0 zuzulassen, denn nach wäre Näherung damit erfüllt.
Eine Integrationstheorie, die auf Riemannsummen basiert und in der jede Ableitungsfunktion integrabel ist, sollte nach den vorherigen Überlegungen nur solche Paare von Zerlegungen und Zwischenstellen berücksichtigen, für die
gilt. Der folgende Satz eröffnet eine Möglichkeit, solche Paare zu identifizieren:
Satz (Straddle-Lemma): Sei differenzierbar in Dann gibt es zu jedem ein mit für alle mit und
Wenn man die Ungleichung des Straddle-Lemmas durch dividiert, wird seine Kernaussage offenbar: Zu jedem Punkt gibt es ein abgeschlossenes Intervall für das
gilt. Die Zahl gibt den Fehler dieser Näherung an. Da beliebig, also insbesondere beliebig klein sein darf, kann sogar stets ein Intervall gefunden werden, auf dem die obige Näherung beliebig gut ist. Voraussetzung ist lediglich, dass sich die Intervallgrenzen und hinreichend nahe bei befinden, oder anders formuliert: Voraussetzung ist, dass das Intervall in einer hinreichend kleinen Umgebung von liegt:
Wählt man nun nur solche Paare aus der Zerlegung zusammen mit Zwischenstellen aus, für die die Bedingung
zutrifft (wobei nach dem Straddle-Lemma gewählt ist), so ist die Näherung stets erfüllt, und alle zugehörigen Riemann-Summen liegen nahe bei wie gewünscht.
mini|450px|Abbildung 3: Der Feinheitsbegriff Riemanns reicht nicht aus, um zu beurteilen, ob eine Zerlegung und zugehörige Zwischenstellen die Bedingung befriedigen. Die Zerlegungen und sind im Sinne Riemanns gleich fein (das größte Teilintervall ist jeweils gleich lang). Für die Zwischenstelle ist Bedingung für die Zerlegung zwar erfüllt, für trotz gleicher Feinheit jedoch nicht.
Es stellt sich nun die Frage, wie man aus allen möglichen Kombinationen von Zwischenstellen und Zerlegungen solche „geeigneten“ Kombinationen auswählt. Der Riemannsche Feinheitsbegriff, d. h. die Betrachtung der größten Intervalllänge taugt dazu nicht. Offensichtlich gehen die gewählten Zwischenstellen und damit die Positionen der Teilintervalle gar nicht in die Bewertung der Feinheit der Zerlegung ein. Die maßgebliche Zahl aus dem Straddle-Lemma wird jedoch i. A. vom Ort abhängen! Man wird z. B. erwarten, dass umso kleiner ist, desto stärker in der Nähe dieses Punktes oszilliert. Deswegen kann es durchaus passieren, dass für eine Zerlegung und Zwischenstellen die Bedingung erfüllt ist, für eine genauso feine Zerlegung jedoch nicht (vgl. Abbildung 3) – sogar dann nicht, wenn die gleiche Zwischenstelle betrachtet wird. Ziel wird es also sein, einen verbesserten Feinheitsbegriff zu schaffen, der die Position der Teilintervalle berücksichtigt.
Grundideen
Zusammengefasst lauten die „Leitlinien“ für die Definition des Gauge-Integrals:
Im Rahmen eines neuen Integraltyps sollte jede Ableitungsfunktion automatisch (d. h. ohne Zusatzvoraussetzungen) integrierbar sein mit Dafür muss das Verhältnis zwischen Zwischenstellen und Zerlegungen neu geregelt werden, sodass es möglich wird, Zwischenstellen mit solchen Zerlegungen zu kombinieren, die „gut zusammenpassen“. Dazu muss ein Feinheitsbegriff geschaffen werden, der die Positionen der Teilintervalle berücksichtigt und der es erlaubt, zu bestimmten Teilintervallen auch nur bestimmte Zwischenstellen zuzulassen.
Die formale Definition
Vorarbeiten
Da für das neue Integral nur zueinander „passende“ Zerlegungen und Zwischenstellen betrachtet werden sollen, liegt es nahe, die beiden Begriffe zunächst in einem Begriff zusammenzufügen.
Definition (markierte Zerlegung). Seien eine Zerlegung eines Intervalls und zu Z gehörige Zwischenstellen, d. h., es gelte für Die Menge nennt man eine markierte Zerlegung (engl.: tagged partition) des Intervalls
Eine markierte Zerlegung enthält also geordnete Paare der Form , wobei ein abgeschlossenes Intervall und eine Zahl mit ist. Riemannsummen bzgl. einer Funktion und einer markierten Zerlegung definiert man genau wie Riemannsche Zwischensummen durch:
Die folgende Definition legt den Grund für einen verbesserten Feinheitsbegriff:
Definition (Eichfunktion): Eine intervallwertige Funktion auf dem Intervall heißt Eichfunktion, wenn und ein offenes Intervall ist.
mini|350px|Abbildung 4: Oben: Eine Eichfunktion weist jedem Punkt ein offenes Intervall (grün) zu. Unten: Eine markierte Zerlegung ist -fein, wenn für
Eine Eichfunktion ordnet also jedem Punkt ein offenes Intervall zu, das enthält. Über den Begriff der Eichfunktion lässt sich nun ein sehr flexibles Feinheitsmaß definieren, das nicht nur die Position der Teilintervalle einer Zerlegung berücksichtigt, sondern über das sich auch die Beziehung zwischen Zerlegung und Zwischenstellen regeln lässt: Eine markierte Zerlegung soll dann -fein heißen, wenn eine Eichfunktion ist und jedes Teilintervall innerhalb desjenigen offenen Intervalls liegt, das an der zu dem Teilintervall gehörenden Zwischenstelle liefert:
Definition: Sei eine Eichfunktion auf dem Intervall [a,b] und eine markierte Zerlegung dieses Intervalls. heißt -fein, wenn für alle
Beispiel
Durch Beschränkung auf -feine Zerlegungen ist es – durch geschickte Wahl der Eichfunktion – möglich, nur passende Paare von Zerlegungen und Stützstellen auszuwählen. Sei etwa und eine Zerlegung dieses Intervalls. Soll (wie im Beispiel der Funktion ) die als einzige mögliche Zwischenstelle zum Teilintervall zugelassen werden, so definiert man wie folgt:
Dabei sei und beliebig. Dann ist das einzige durch gegebene offene Intervall, das die 0 enthält. Für jede markierte Zerlegung von muss aber gelten: Wegen kann eine markierte Zerlegung nur dann -fein sein, wenn Das Teilintervall tritt also in jeder -feinen markierten Zerlegung ausschließlich zusammen mit der Zwischenstelle 0 auf. Weiterhin kann aufgrund der -Abhängigkeit der Funktion die Kleinheit eines Teilintervalls einer markierten Zerlegung in Abhängigkeit von der Zwischenstelle und damit von der Position des Teilintervalls „eingestellt“ werden.
Definition des Gauge-Integrals
mini|450px|Abbildung 5 Approximation der Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der -Achse durch Riemannsche Zwischensummen (orange Rechtecke)