Die Leitungstheorie ist ein Teilgebiet der Elektrotechnik. Sie befasst sich mit Erscheinungen auf elektrischen Leitungen, deren Länge in der Größenordnung der Wellenlänge des übertragenen Signalspektrums oder darüber liegt, und findet hauptsächlich Anwendung in der Fernmeldetechnik, der Hochfrequenztechnik, der Impulstechnik und in der elektrischen Energieversorgung bei Hochspannungsleitungen.
Die Leitungstheorie benutzt das Modell der elektrischen Doppelleitung und beschreibt diese durch das Ersatzschaltbild eines „unendlich kurzen“ Leitungsstückes, dessen Elemente von den Leitungsbelägen bestimmt werden. Ohne das elektromagnetische Feld mit Hilfe der Maxwellschen Gleichungen selbst zu ermitteln, leitet sie daraus ein System partieller Differentialgleichungen (die sogenannten Leitungsgleichungen) ab und versucht diese mit verschiedenen, den jeweiligen Randbedingungen angepassten, mathematischen Methoden zu lösen.
Dadurch gelingt es, die Vorgänge und Wellenphänomene (z. B. Reflexionen, stehende Wellen, negatives Überschwingen, Widerstandstransformationen), die im Zusammenhang mit Leitungen auftreten, qualitativ zu verstehen, quantitativ zu fassen und für die praktischen Anwendungen richtig zu interpretieren. Schließlich entstehen Regeln für den Einsatz der Leitung als Bauelement in der Elektrotechnik, speziell in der Nachrichtentechnik und der Elektronik.
Hintergrund
Nur für Gleichstrom oder Wechselstrom niedriger Frequenz lässt sich eine Leitung grob mit dem ohmschen Widerstand aus Leitungsquerschnittsfläche, Leitfähigkeit und Länge beschreiben. Sobald die Wellenlänge der Signale in der Größenordnung der Leitungslänge liegt oder schnelle Schaltvorgänge auf Leitungen beschrieben werden sollen, reicht dieses stark vereinfachte Modell nicht aus. Durch die auf jeder Leitung vorhandenen Kapazitäts- und Induktivitätsbeläge breiten sich die Signale maximal mit Lichtgeschwindigkeit aus. Wenn die räumliche Ausdehnung eines elektrischen Systems so groß ist, dass die Laufzeit der zu verarbeitenden Signale nicht mehr vernachlässigt werden kann, treten neben dem „normalen“ Verhalten besondere Wellenphänomene auf. Die Beschreibung solcher Systeme erfordert mathematische Verfahren, die den Ort der Signale in die Betrachtungen einbeziehen.
Beispielsweise besitzt eine Wechselspannung von 1 GHz im Vakuum eine Wellenlänge von etwa 30 cm. Wellenvorgänge spielen deshalb auf den Platinen moderner Computer eine große Rolle. Aufgrund der hochfrequenten Taktung werden die Daten durch sehr kurze Impulse mit steilen Flanken dargestellt und übertragen. Deshalb wären solche Systeme ohne Anwendung der Erkenntnisse der Leitungstheorie nicht realisierbar.
Für die Methoden der klassischen Leitungstheorie dürfen allerdings der technische Leiterabstand nicht größer als die halbe Wellenlänge der entstehenden Wellen und der Widerstandsbelag nicht zu groß sein, so dass nur die transversalen elektromagnetischen Felder (TEM-Wellen) eine Rolle spielen. Nur dann kann man ein „unendlich kurzes“ Leitungsstück durch ein Ersatzschaltbild aus konzentrierten Bauelementen beschreiben. Ist das nicht der Fall, so müssen die Maxwellschen Gleichungen direkt gelöst werden. Damit beschäftigen sich die Hoch- und Höchstfrequenztechnik in den Theorien der Hohlraumwellen und der Antennensysteme.
Geschichte
Die 1850 begonnene Verlegung von transatlantischen Seekabeln und die bei derartig langen Kabeln auftretenden starken Verzerrungen erforderten eine theoretische Analyse der Vorgänge auf „langen Leitungen“. Als erster beschäftigte sich um 1855 William Thomson mit der Beschreibung der Vorgänge auf Leitungen. 1886 formulierte Oliver Heaviside diese Erkenntnisse in ihrer heutigen Form als Leitungsgleichung und begründete damit die allgemeine Leitungstheorie. Er fand die nach ihm benannte Heaviside-Bedingung, aus der zu erkennen war, dass die Probleme der Verzerrung wesentlich durch die hohen Leitungskapazitäten verursacht wurden. Rudolf Franke betrachtete die Leitung 1891 erstmals mit den Mitteln der Vierpoltheorie. Zur Lösung des Verzerrungsproblems schlug 1900 Mihajlo Pupin die Bespulung von Leitungen zur künstlichen Erhöhung ihrer Induktivität vor. Damit stand auch der Realisierung von langen Fernsprechleitungen nichts mehr im Weg. Um 1903 betrachtete George Ashley Campbell die Leitung als Kettenleiter. Mit dem Aufkommen der Hochfrequenztechnik am Anfang des 20. Jahrhunderts war es notwendig, schon kurze Leitungen mit den Mitteln der Leitungstheorie zu behandeln. Sie konnten dabei als verlustlos betrachtet und außer zur Signalübertragung auch als Bauelement (z. B. zur Widerstandstransformation) eingesetzt werden. Alle diese Anwendungen beruhten bis dahin auf sinusförmigen Signalen und konnten deshalb mit Hilfe der komplexen Wechselstromrechnung gelöst werden. Mitte des 20. Jahrhunderts erforderte die Impulstechnik und später die Digitaltechnik die unverfälschte Übertragung von kurzen Impulsen über Leitungen. Dazu war es erforderlich, die Analyse mit Hilfe einer Operatorenrechnung, graphisch mit einem Impulsfahrplan oder (falls speicherfreie Bauelemente mit nichtlinearen Kennlinien angeschlossen werden) mit dem Bergeron-Verfahren durchzuführen. Zur Analyse der Impulsausbreitung auf verlustbehafteten Leitungen wurden numerische Verfahren entwickelt.
Die Leitungsgleichungen
Die Leitungsgleichungen einer homogenen linearen Zweidrahtleitung lassen sich aus dem in folgender Abbildung gezeigten Ersatzschaltbild eines solchen Leitungsabschnitts der infinitesimalen Länge dx bestimmen:
mini|zentriert|Ersatzschaltbild eines kurzen Stückes einer Zweidrahtleitung
Die darin enthaltenen Größen sind die mit der Länge dx multiplizierten Leitungsbeläge: Der Induktivitätsbelag L′, der Kapazitätsbelag C′, der Widerstandsbelag R′ und der Ableitungsbelag G′.
Aus Spannung u(x,t) und Strom i(x,t) am Anfang, aus Spannung u(x+dx,t) und Strom i(x+dx,t) am Ende dieses Elements der Leitung ergeben sich unter Zuhilfenahme von Maschensatz und Knotenpunktsatz die beiden partiellen Differentialgleichungen der homogenen Leitung (die ausführliche Herleitung erfolgt im Artikel Leitungsgleichung):
(1.1) (1.2)
Dabei sind Spannung u und Strom i jeweils nach unten bzw. nach rechts (in +x-Richtung) eingeführt. Die Hauptaufgabe der Leitungstheorie ist die Lösung dieses DGL-Systems für die Anfangs- und Randbedingungen der verschiedensten praktischen technischen Anwendungen und damit die Ermittlung des Verlaufs von Spannung u(x,t) und Strom i(x,t) auf der Leitung in Abhängigkeit vom Ort x und der Zeit t.
Sonderfall: Sinusförmige Signale In vielen Fällen der Wechselstromtechnik und der klassischen Nachrichtentechnik reicht es praktisch aus, die Spannung und den Strom sowohl als rein sinusförmig (harmonisch) als auch Einschalt- und Einschwingvorgang als abgeschlossen zu betrachten. Dann treten auch auf einer Leitung nur (stationäre) sinusförmige Signale auf. In diesem besonderen Fall kann die komplexe Wechselstromrechnung angewendet werden und weil die Zeitabhängigkeit entfällt, reduzieren sich die Leitungsgleichungen auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen für die auf der Leitung vorhandenen vom Ort x abhängigen komplexen Amplituden U(x) und I(x):
(1.3) (1.4)
Sie werden in der Literatur oft als „komplexe Leitungsgleichungen“ bezeichnet. Bei linearer Beschaltung der beiden Leitungsenden kann in diesem Fall eine geschlossene Lösung der Leitungsgleichungen angegeben werden.
Sonderfall: Verlustlose Leitungen Bei kurzen und/oder bei Hochfrequenzleitungen kann man praktisch die Verluste durch Widerstands- und Ableitungsbelag vernachlässigen. Dadurch vereinfachen sich die Leitungsgleichungen wie folgt:
(1.5) (1.6)
Wenn man dieses DGL-System zu einer einzigen partiellen Differentialgleichung umformt, dann erhält man die klassische eindimensionale Wellengleichung.
Weil dann auf der Leitung weder Dämpfung noch Verzerrung auftreten (die Heaviside-Bedingung ist „automatisch“ erfüllt), lassen sich die Gleichungen in vielen Fällen einfach lösen und die erhaltenen Lösungen lassen sich besonders anschaulich deuten. Die Ergebnisse dieser Idealisierung stellen trotzdem das wesentliche Verhalten einer Leitung richtig dar und sind außerdem für den „Einstieg in die Leitungstheorie“ von didaktischer Bedeutung.
Sonderfall: Sinusförmige Signale auf der verlustlosen Leitung Durch die Kombination dieser beiden Sonderfälle erhält man die folgende besonders einfache Form der „komplexen Leitungsgleichungen“:
(1.7) (1.8)
Da ihre hauptsächliche Bedeutung in der Hochfrequenztechnik liegt, sind sie der Ausgangspunkt für die Theorie der Hochfrequenzleitungen, dem „didaktischen Paradebeispiel“ der Leitungstheorie.
Die allgemeine Lösung der Leitungsgleichungen
Der erste Schritt der Leitungstheorie zur Lösung der Leitungsgleichungen ist die Ermittlung der allgemeinen Lösung des DGL-Systems. Diese besitzt frei wählbare (Integrations-)Konstanten oder Funktionen, welche anschließend durch Festlegung der an den konkreten Anwendungsfall angepassten Anfangs- und Randbedingungen noch festgelegt werden müssen. Da das DGL-System der Leitungsgleichungen linear ist, kann die allgemeine Lösung im allgemeinen Fall beispielsweise mit Hilfe der Laplace-Transformation ermittelt werden.
Bei der Ermittlung der allgemeinen Lösung stößt man auf wesentliche Kenngrößen der Leitung, wie die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit bzw. die Ausbreitungskonstante (Fortpflanzungskonstante) sowie den Wellenwiderstand (Wellenimpedanz). Im Allgemeinen sind die letzten beiden Größen komplizierte Operatoren im Sinne der Operatorenrechnung. Insbesondere die Ausbreitungskonstante ist verantwortlich für die Ausbreitung der Wellen auf der Leitung, ihre Geschwindigkeit, ihre Dämpfung und ihre Verformung.
In folgenden Sonderfällen ist die allgemeine Lösung allerdings relativ leicht ermittelbar.
Sonderfall: Verlustlose Leitungen Mit den Definitionen für den (reellen) Wellenwiderstand der verlustlosen Leitung (2.1) und die (konstante) Phasengeschwindigkeit der verlustlosen Leitung (2.2) erhält man die allgemeine (sogenannte d'Alembertsche) Lösung (2.3) (2.4) Dabei sind uh(t) und ur(t) zwei Zeitfunktionen, die noch durch die Randbedingungen festgelegt werden müssen. Der Nachweis der Richtigkeit kann durch Einsetzen in die „verlustlosen“ Leitungsgleichungen erbracht werden.
Diese allgemeine Lösung kann wie folgt interpretiert werden: Der linke Term der Lösung stellt eine vom Anfang zum Ende der Leitung hinlaufende (beliebig geformte) Welle dar. Der rechte Term stellt eine vom Ende zum Anfang der Leitung zurücklaufende Welle dar. Beide Wellen haben die Geschwindigkeit v0. Sie werden auf der Leitung weder gedämpft noch in ihrer Form verzerrt. Der Wellenwiderstand Z0 stellt das Verhältnis von Spannung und Strom der jeweiligen Welle dar.
Sonderfall: Sinusförmige Signale Mit den Definitionen für den komplexen Wellenwiderstand (Wellenimpedanz) (2.5) und die komplexe Ausbreitungskonstante (Fortpflanzungskonstante) (2.6) erhält man entsprechend den Lösungsverfahren (z. B. Exponentialansatz) für lineare Differentialgleichungen die allgemeine Lösung (2.7) (2.8) Dabei sind Uh0 und Ur0 die beiden noch unbestimmten komplexen Integrationskonstanten, welche durch die Randbedingungen festgelegt werden müssen. Der Nachweis der Richtigkeit kann durch Einsetzen in die „komplexen Leitungsgleichungen“ erbracht werden.
Diese allgemeine Lösung kann wie folgt interpretiert werden: Der linke Term der Lösung stellt eine vom Anfang zum Ende der Leitung hinlaufende sinusförmige Welle (Wanderwelle) dar. Der rechte Term stellt eine vom Ende zum Anfang der Leitung zurücklaufende sinusförmige Welle dar.