rahmenlos|rechts|hochkant=1.15|Goldener Schnitt Der Goldene Schnitt ( „Goldener Schnitt“, „göttliche Proportion“), gelegentlich auch stetige Teilung einer Strecke, ist ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken in der Weise, dass sich die längere Teilstrecke zur kürzeren Teilstrecke verhält wie die Gesamtstrecke zur längeren Teilstrecke. Das Konzept ist bereits seit der Antike zur Zeit des Euklid bekannt. Der Goldene Schnitt findet häufige Anwendung in der Kunst, taucht aber auch in der Natur auf.
Das Teilungsverhältnis ist , und dessen Kehrwert ist . Als mathematisches Symbol wird meist der griechische Buchstabe Phi (, oder , heutige Aussprache ), seltener auch Tau (, ) oder verwendet. Beide Zahlenwerte werden oft ebenfalls als Goldener Schnitt bezeichnet. Sie sind irrationale Zahlen, das heißt Zahlen, die sich nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen lassen. Die Folge ihrer Nachkommastellen zeigt daher auch kein periodisches Muster.
Aus Sicht der Mathematik besitzt der Goldene Schnitt zahlreiche besondere Eigenschaften. Neben der geometrischen Auffassung kann er auch als die positive Lösung der quadratischen Gleichung definiert werden. Er ist damit eine algebraische Zahl vom Grade 2. Bemerkenswert ist seine enge Verbindung zu der Fibonacci-Folge, die sich durch die explizite Binet-Formel ausdrückt, obgleich die Fibonacci-Folge zunächst nur rekursiv, also implizit erklärt ist. Darüber hinaus konnte gezeigt werden, dass der Goldene Schnitt unter den irrationalen Zahlen (bis auf eine gewisse Form der Äquivalenz) am schlechtesten durch Brüche angenähert werden kann. Zentrales Argument für diese Tatsache ist seine Kettenbruchentwicklung, die nur aus der Zahl 1 besteht, ergo unter allen Kettenbrüchen am langsamsten konvergiert.
Der Goldene Schnitt ist in der mathematischen Literatur seit der Zeit der griechischen Antike (Euklid von Alexandria) nachgewiesen, war jedoch vor mehr als 2300 Jahren nur wenigen bekannt. Vereinzelt schon im Spätmittelalter und besonders dann in der Renaissance, etwa durch Luca Pacioli und Johannes Kepler, wurde er auch in philosophische und theologische Zusammenhänge gestellt. Der Überlieferung nach erhielt er mit diesem Namen erst ab der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts größeren Bekanntheitsgrad. Die heute gebräuchliche Bezeichnung bzw. für den Zahlenwert geht auf den amerikanischen Mathematiker Mark Barr zurück, der sie um das Jahr 1909 herum einführte. Einigen bedeutenden Künstlern, wie Leonardo da Vinci, Friedrich Hölderlin oder Béla Bartók, wurde nachgesagt, den Goldenen Schnitt gezielt bei manchen ihrer Werke eingesetzt zu haben, jedoch gelten solche Aussagen als umstritten. Der Goldene Schnitt ist nicht nur in Mathematik, Kunst oder Architektur von Bedeutung, sondern findet sich auch in der Natur, beispielsweise bei der Anordnung von Blättern und in Blütenständen mancher Pflanzen wieder.
Definition Man sagt, dass zwei Größen im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen, falls
erfüllt ist. Die Zahl
wird dann ebenfalls Goldener Schnitt genannt. Es muss sich bei den Werten und dabei nicht um (dimensionslose) reelle Zahlen handeln; auch eine Assoziation zu physikalischen Größen unter Zuweisung entsprechender Maßeinheiten ist möglich. Klassisch ist dabei die Veranschaulichung über das Teilungsverhältnis zweier Strecken (bei dem die längere Strecke als „Major“ und die kürzere als „Minor“ bezeichnet wirdAlbrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1996, S. 16.), aber auch andere Einheiten können betrachtet werden, siehe zum Beispiel Goldenes Rechteck.
In der Literatur wird der Ausdruck „Goldener Schnitt“ jedoch auch für andere Dinge verwendet. Er bezeichnetAlbrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1996, S. 18.
den Vorgang der Teilung an sich, gelegentlich den Teilungspunkt, meist jedoch die Zahl selbst.
Bestimmung des Verhältnisses rahmenlos|hochkant=1.2|rechts
Es bezeichnen die Teilstreckenlängen der Gesamtstrecke . Es gilt dann nach Definition des Goldenen Schnitts die RelationAlbrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1996, S. 18–20. . Multipliziere mit :
a) Lösung der quadratischen Gleichung mittels Lösungsformel: . Nur die positive Lösung ist hier von Bedeutung: . Damit ist . b) Graphische Lösung der quadratischen Gleichung
rahmenlos|rechts|hochkant=2 . Setzt man , ergibt sich die quadratische Gleichung , mit und wird , daraus folgt und . Deren Lösung gelingt beispielsweise mit der im Folgenden beschriebenen Konstruktion in einem kartesischen Koordinatensystem.
Nach dem Ziehen des Kreises mit Radius gleich um den Mittelpunkt und dem anschließenden Festlegen der zueinander parallelen Tangenten an den Punkten und , werden auf den entsprechenden Tangenten, wegen und , die Punkte und bestimmt. Eine Verbindung des Punktes mit erzeugt auf dem Kreisbogen die Schnittpunkte und . Die beiden abschließenden geraden Linien ab Punkt durch und liefern auf der -Achse die Punkte und mit den Längen und .
Der hier relevante positive Wert der Lösung: .
Der Kehrwert und das Quadrat von Φ und haben dieselben Nachkommastellen wie selbst: , mit der Unbekannten anstatt mit geschrieben: , , , mit der Unbekannten anstatt mit geschrieben: . Beide Gleichungen mit sind (erstere nur für ) lediglich andere Schreibweisen der quadratischen Gleichung
mit der hier relevanten positiven Lösung . Damit ist gezeigt, dass die beiden Besonderheiten der Zahl schon in der quadratischen Gleichung, auf die die Definition (im Fall von ) führt, angelegt sind.Die Besonderheit beim Kehrwert gilt auch für diese quadratische Gleichung mit einer anderen ganzen Zahl als konstantes Glied: z. B. mit statt :
Deren positive Lösung ist: ,
z. B. mit statt :
Deren positive Lösung ist: ,
Geschichte
Antike Die erste erhalten gebliebene genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes findet sich im zweiten Buch der Elemente des Euklid (um 300 v. Chr., siehe Innere Teilung nach Euklid), der darauf über seine Untersuchungen an den platonischen Körpern und dem Fünfeck beziehungsweise dem Pentagramm stieß. Seine Bezeichnung für dieses Teilungsverhältnis wurde später ins Lateinische als „“ übersetzt, was als „Teilung im inneren und äußeren Verhältnis“ bezeichnet wird.Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg/Berlin/Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 10, 15.Rudolf Haller: Elemente des Euklid. Edition Opera Platonis 2010, Buch II, Satz 11 (PDF; 209 kB).
Mittelalter mini|hochkant=1|Liber abbaci, MS Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice Magliabechiano cs cI 2616, fol. 124r: Fibonacci-Zahlen am Rand der „Kaninchenaufgabe“
In seinem Rechenbuch Liber abbaci (nicht erhaltene Erstfassung 1202, erhaltene 2. Fassung nicht vor 1220), einem umfangreichen arithmetischen und algebraischen Lehrwerk über das Rechnen mit den indo-arabischen Ziffern, kommt der italienische Mathematiker Leonardo da Pisa, genannt „Fibonacci“, kurz auf die später nach ihm benannte Fibonacci-Folge zu sprechen.Leonardo da Pisa: Liber abbaci. (Cap. I, 7, dort unter anderen Aufgaben: ), hrsg. von Baldassare Boncompagni, Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo. Band I, Tipografia delle scienze matematiche e fisiche, Rom 1857, S. 283 f., Wiedergabe der Handschrift Florenz, Cod. magliabechiano cs cI, 2626, fol. 123v–124r, bei Heinz Lüneburg: Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. 2., überarb. und erw. Ausgabe. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1993, ISBN 3-411-15462-4, nach S. 252; Wiedergabe des lateinischen Textes der Kaninchenaufgabe u. a. bei Bernd Thaller: Leonardo und der Goldene Schnitt (PDF; 3 MB). 30. Juni 2017. Fibonacci führt die Zahlenfolge vor (2, 3, 5, 8 … bis 377) und weist darauf hin, dass sich jedes Glied der Reihe (ab dem dritten) durch Summierung der beiden vorhergehenden Reihenglieder errechnen lässt. Eine weitere Beschäftigung mit dieser Folge findet sich bei ihm nicht, das heißt, der Zusammenhang zum Goldenen Schnitt wird von ihm nicht dargestellt. Dass ihm allerdings der (erst später so genannte) Goldene Schnitt bekannt und in der Tradition Euklids ein Begriff war, zeigt sich gegen Ende seines Werks bei einer algebraischen Aufgabe, in der es (in moderner Formulierung wiedergegeben) darum geht,Formalisierte Wiedergabe nach Heinz Lüneburg: Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. 2., überarb. und erw. Ausgabe. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1993, ISBN 3-411-15462-4, S. 298. und zu finden mit und . Hierzu weist Fibonacci darauf hin, dass im Fall von die Proportion gilt, 10 also von und im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt wird („“).Leonardo da Pisa: Liber abbaci. Cap. 15, ed. Boncompagni S. 438, zu finden schon in der Wiedergabe von cap. 15 bei Guillaume Libri: Histoire des sciences mathématiques in Italie. Band II, Paris: Jules Renouard et C.ie, 1838, S. 430 (). Aber auch hier stellt er den Zusammenhang zum Goldenen Schnitt nicht her.
Renaissance mini|hochkant=1|Der vitruvianische Mensch, Leonardo da Vinci, 1492, Proportionsstudie nach Vitruv Die Entdeckung, dass sich bei Teilung eines Gliedes der Fibonacci-Folge durch das vorhergehende Reihenglied als Näherungswert ergibt, wurde lange Zeit Johannes Kepler zugeschrieben, konnte jedoch Ende des 20. Jahrhunderts schon in einer handschriftlichen Anmerkung nachgewiesen werden, mit der ein mutmaßlich aus Italien stammender Leser in der ersten Hälfte des 16. Jahrhunderts Euklids Theorem II.11 in der Euklid-Ausgabe Paciolis von 1509 kommentierte:
Der Herausgeber dieser Euklid-Ausgabe, der Franziskaner Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445–1514), der an der Universität Perugia Mathematik lehrte, hatte sich intensiv mit dem Goldenen Schnitt befasst. Er nannte diese Streckenteilung „vermutlich als erster […] (göttliches Verhältnis)“,Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1996, S. 10. was sich auf Platons Identifizierung der Schöpfung mit den fünf platonischen Körpern bezog, zu deren Konstruktion der Goldene Schnitt ein wichtiges Hilfsmittel darstellt. Sein gleichnamiges Werk De divina proportione von 1509 besteht aus drei unabhängigen Büchern. Bei dem ersten handelt es sich um eine rein mathematische Abhandlung, die jedoch keinerlei Bezug zur Kunst und Architektur herstellt. Das zweite ist ein kurzer Traktat über die Schriften des Römers Vitruv aus dem 1. Jahrhundert v. Chr. zur Architektur, in denen Vitruv die Proportionen des menschlichen Körpers als Vorlage für Architektur darstellt. Dieses Buch enthält eine Studie von Leonardo da Vinci (1452–1519) über den vitruvianischen Menschen. Das Verhältnis der Seitenlänge des den Menschen umgebenden Quadrats zum Radius des umgebenden Kreises – nicht das Verhältnis der Proportionen des Menschen selbst – in diesem berühmten Bild entspricht mit einer Abweichung von 1,7 % dem Goldenen Schnitt, der jedoch im zugehörigen Buch gar nicht erwähnt wird. Darüber hinaus wäre diese Abweichung bei einem konstruktiven Verfahren nicht zu erwarten.
mini|hochkant=1|Ein Kepler-Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck, das durch drei Quadrate gebildet werden kann, deren Flächeninhalte sich in geometrischer Progression , wie der Goldene Schnitt verhalten.