Unter Kopfrechnen versteht man die Lösung mathematischer Aufgaben nur mit dem Gehirn (also ohne Hilfsmittel). Dabei werden verschiedene Techniken verwendet, die unter anderem auf den Rechengesetzen beruhen. Rechenkünstler fallen durch eine besondere Begabung auf, auch schwierigere Rechnungen außergewöhnlich schnell im Kopf rechnen zu können.
Grundlagen
Der Zahlensinn beruht auf der angeborenen, intuitiven Fähigkeit zum Wahrnehmen und Unterscheiden von Mengen/Anzahlen, einschließlich der Fähigkeit Veränderungen von Mengen zu erkennen und zu bestimmen. Das Kopfrechnen umfasst die durch den Mathematikunterricht erworbene Fähigkeit und Wissen zum Ausführen einfacher Additions- und Subtraktionsaufgaben, das auswendig gelernte kleine Einmaleins und das Dividieren. Diese Fähigkeiten können trainiert werden.
Zauberkunststücke
Bei einigen Veranstaltungen von Zauberkünstlern werden seltene besondere Fähigkeiten auf dem Gebiet des Kopfrechnens zur Schau gestellt. Meistens handelt es sich um das Hantieren mit besonders großen Zahlen. Oft stecken dahinter einfache mathematische Besonderheiten, die nur für die spezielle Aufgabe nutzbar sind. Sie sind beeindruckend, aber haben keinen Nutzen im täglichen Leben.
Echtes Kopfrechnen Nur selten werden Techniken zum allgemeinen Kopfrechnen angeboten. Dieses Gebiet umfasst normalerweise alle Funktionen, die ein durchschnittlicher Schultaschenrechner beherrschen muss, sowie die Wochentagsberechnung.
Bekannte Rechenkünstler
Von Carl Friedrich Gauß, „Fürst der Mathematiker“, berichten einige Anekdoten, dass er schon als Kind die erstaunlichsten Dinge im Kopf rechnen konnte, etwa als Sechsjähriger mit der nach ihm benannten Summenformel oder später „einfache“ Bahnberechnungen.
Zu den wenigen genialen Rechenkünstlern der Gegenwart zählen beispielsweise Alexander Aitken, der Brite Robert Fountain (zweifacher Weltmeister), der Niederländer Wim Klein, Jan van Koningsveld (mehrfacher Welt- und Vizeweltmeister, Doppel-Olympiasieger 2008, sowie mehrfacher Weltrekordhalter z. B. im Kalenderrechnen), Zacharias Dase, der Großmeister und zehnmalige Weltmeister im Kopfrechnen Gert Mittring, der Zahlenkünstler Rüdiger Gamm und das Sprachengenie Hans Eberstark. In seinem Buch The great mental calculators beschreibt Smith noch weitere. Auch sogenannte Savants können durch besondere Fähigkeiten im Kopfrechnen (Kalenderrechnen, Wurzelaufgaben) oder durch ein enormes Gedächtnis (sie haben beispielsweise ganze Telefonbücher im Kopf) auffallen.
Man kann den Titel Großmeister im Kopfrechnen erringen, wie beispielsweise Gert Mittring bei der 9. Mind Sports Olympiad 2005 in Manchester. Seit 2004 gibt es offizielle Weltmeisterschaften im Kopfrechnen, die alle zwei Jahre stattfinden. 2010 gewann die elfjährige Priyanshi Somani aus Indien die Weltmeisterschaft in Magdeburg.Elfjährige ist schneller als ein Taschenrechner. In: Die Zeit. 8. Juni 2010.
Die 1. Kopfrechenweltmeisterschaft für Kinder und Jugendliche unter der Leitung von Gert Mittring fand 2008 in Nürnberg statt. 2009 gab es die 1. Deutsche Kopfrechenmeisterschaft für Kinder und Jugendliche in Köln.
Am 17. Juli 2022 gewann der 12-jährige Inder Aaryan Shukla die Kopfrechen-WM in Paderborn gegen 34 Kontrahenten.Zwölfjähriger gewinnt Kopfrechen-WM ORF.at, 18. Juli 2022, abgerufen am 18. Juli 2022.
Shakuntala Devi hielt laut Guinness-Buch der Rekorde den Weltrekord im Schnellrechnen.
Kopfrechnen-Methoden – unabhängig von der Art der Rechenaufgabe
Die Methoden für das Kopfrechnen erleichtern das Lösen schwieriger Aufgaben. Sie berücksichtigen insbesondere:
Die meisten Menschen können sich nicht mehr als ca. 7 Ziffern auf Anhieb merken (Millersche Zahl). Es ist schwierig, ein Zwischenergebnis über längere Zeit im Kopf zu behalten, während man andere Teilrechnungen durchführt. Es ist schwieriger mit großen Ziffern (7, 8, 9) zu rechnen als mit kleinen Ziffern (2, 3, 4).
Die Methoden sind so gestaltet, dass
ein komplexer Rechenschritt in mehrere einfachere Schritte aufgeteilt wird, die Reihenfolge der Rechenschritte das Gedächtnis so gering wie möglich belastet, frühzeitig eine gute Näherungslösung erzielt wird.
Im Folgenden werden wichtige Rechenmethoden erklärt. Die Sortierung erfolgt nach der Rechenart und der Breite der Anwendbarkeit. Allgemein verwendbare Methoden werden zuerst erklärt. Am Ende stehen Methoden, bei denen ein Operand eine bestimmte Zahl ist.
Rechenrichtung
Die bevorzugte Rechenrichtung beim Kopfrechnen ist von links nach rechts, also umgekehrt im Vergleich zum schriftlichen Rechnen. Diese These ist durchaus umstritten:
Gerd MittringGerd Mittring: Rechnen mit dem Weltmeister, S. 53. schreibt: „Manche Menschen rechnen lieber von links nach rechts. Das ist aber fehlerträchtiger und Sie müssen sich dabei mehr merken.“
Benjamin/ShermerArthur Benjamin, Michael Shermer: Mathe-Magie, S. 53. favorisieren dagegen von links nach rechts: „Nach ein wenig Übung werden Sie feststellen, dass dies die effektivste Art ist, im Kopf zu rechnen.“
F. FerrolF. Ferrol: Das Ferrol’sche neue Rechnungsverfahren, Brief I vertritt die Auffassung, dass der komplexeste Teil der Rechenaufgabe zuerst erledigt werden muss. Bei der Kreuzmultiplikation ist die aufwändigste Operation das Kreuzprodukt. Er schlägt also vor, bei der Multiplikation in der Mitte zu beginnen.
Dieser Beitrag folgt in den Beispielen in vielen Fällen der These von Benjamin/Shermer. Dafür gibt es mehrere Gründe:
Wenn man so vorgeht wie beim schriftlichen Rechnen und von rechts nach links rechnet, dann entsteht auch das Ergebnis von rechts nach links. Allerdings, am Ende soll das Ergebnis in sprachlicher Reihenfolge gesagt werden: z. B. zweiundfünfzig-tausend-und-dreihundert-zwölf. Wenn Sie die Rechnung von rechts nach links im Kopf berechnet haben, also in der Ziffernreihenfolge 2 1 3 2 5, ist das extrem schwierig. Es ist genau so schwierig, wie eine Telefonnummer in umgekehrter Reihenfolge aufzusagen.
Wenn man Benjamin/Shermer folgt, berechnet man in obigem Beispiel zuerst die 52. Dann kann man als Kopfrechner relativ früh die Antwort „zweiundfünfzig-tausend-und-…“ beginnen. Und vor der 312 noch ein paar Sekunden weiterrechnen. Möglicherweise genügt die Schätzung 52.000 bereits – und man kann einfach aufhören.
Tatsächlich gehen die Bücher, die die Rechenrichtung von rechts nach links favorisieren, oft davon aus, dass man einen Stift zur Hand hat und die berechneten Ergebnisziffern niederschreibt und am Ende dann das Ergebnis liest. Das Ziel dieser Verfahren (so genannte Schnellrechenmethoden) ist es, das schriftliche Rechnen zu beschleunigen und idealerweise die Berechnungen in nur einer geschriebenen Zeile zu erledigen. Die Verwendung eines Stiftes widerspricht jedoch der obigen Definition von Kopfrechnen.
Aber auch für die Überlegung von F. Ferrol sprechen gute Gründe. Angenommen, man kann die Rechenaufgabe in 2 ungleiche Teile zerlegen, wobei einer der Teile schwieriger zu berechnen ist. Dann stehen folgende Reihenfolgen zur Auswahl: A) schwierig – einfach B) einfach – schwierig. Im Fall B) läuft man große Gefahr, dass man während der Berechnung des schwierigen Teils – der ja mehrere Sekunden Konzentration erfordert – das Zwischenergebnis aus der ersten Teilaufgabe vergisst. Fall A) ist daher vorzuziehen.
Gruppierung von Ziffern
Bei Berechnungen mit mehrstelligen Zahlen steigt die Anzahl der Operationen, die man im Kopf durchführen muss. Ein Ausweg ist es Ziffern zu gruppieren. Man fasst z. B. je 2 Ziffern zu einer Zahl zusammen und behandelt diese Zahl als Einheit. Das setzt natürlich eine sehr gute Rechenfertigkeit voraus.
Ein weiterer Vorteil ist, dass man sich durch das Gruppieren von Ziffern längere Zahlenreihen merken kann, als die menschliche Gedächtnisspanne von 7 „Chunks“ zunächst vermuten lässt. Das macht man sich auch gerne zunutze, wenn man sich eine Telefonnummer merken soll. Häufig werden dabei je 2 bis 4 Ziffern zu einer Zahl zusammengefasst.
Multiplikation
Kreuzmultiplikation
Die KreuzmultiplikationF. Ferrol: Das Ferrol’sche neue Rechnungsverfahren, Brief IRonald W. Doerfler: Dead reckoning, S. 11.Gerd Mittring: Rechnen mit dem Weltmeister. S. 94. ist für mehrstellige Zahlen allgemein anwendbar und ist eine Basismethode für das Kopfrechnen. Die Methode wird von verschiedenen Autoren beschrieben. Die Beschreibungen unterscheiden sich in der Art der Ausführung.
Zwei sehr unterschiedliche Herangehensweisen werden hier vorgestellt:
Kreuzmultiplikation: ältere Ausführung
Dies ist die naheliegende Variante. Sie wurde bereits 1910 von F. FerrolF. Ferrol: Das Ferrol’sche neue Rechnungsverfahren, Brief II, S. 37. als der „ältere Weg“ beschrieben. Um diese Ausführung der Kreuzmultiplikation für zweistellige Zahlen zu verwenden, stellt man die Aufgabe in folgender Form dar:
Die Faktoren a und b werden also jeweils in zwei Anteile zerlegt, mit denen sich leicht rechnen lässt.
Normalerweise stellen a1, b1 die Zehner-Zahl und a0, b0 die Einer-Zahl dar.
Der Name Kreuzmultiplikation erklärt sich aus der Tatsache, dass im Mittelteil der Rechnung die Zehner-Zahl und die Einer-Zahl über Kreuz miteinander multipliziert werden.
Im folgenden Beispiel ist zu beachten, dass die Zwischenergebnisse der Kreuzmultiplikation relativ leicht zu erzielen sind, und dass man sich die Zwischenergebnisse nicht lange merken muss:
Berechnung Erklärung 18 × 32 = … Aufgabe mit a1=10, a0=8, b1=30, b0=2 … = 10 × 30 + … 300 (Zwischenergebnis) … + 8 × 30 + … 540 (Zwischenergebnis) … + 10 × 2 + … 560 (Zwischenergebnis) … + 8 × 2 = 576 Ergebnis
Um diese Art der Kreuzmultiplikation für mehrstellige Zahlen zu verwenden, muss man die Faktoren der Aufgabe a × b in entsprechend mehrere Anteile zerlegen. Dreistellige Faktoren werden beispielsweise in 3 Anteile zerlegt, die dann algebraisch miteinander multipliziert werden.
Kreuzmultiplikation: Ferrol’sche Ausführung
Die Ferrol’sche Kreuzmultiplikation ist gegenüber der „Älteren Ausführung“ etwas effizienter. Sie behandelt die Ziffern einzeln und kommt bei zweistelliger Multiplikation auf 3 (statt 4) Rechenschritte.
Die Literatur unterscheidet sich in der bevorzugten Reihenfolge der 3 Rechenschritte und in verschiedenen Notationen bei der didaktischen Aufbereitung. Wir bleiben im Folgenden beim Original. F. Ferrol führt aus, dass die Bestimmung der Anzahl Zehner z die komplexeste Operation ist und daher als erstes erfolgen soll, da damit das Gedächtnis am wenigsten belastet wird. Erst danach folgt die Bestimmung der Anzahl Hunderter h und der Anzahl Einer e.
Folgende algebraische Darstellung der Aufgabe a × b zeigt den Lösungsweg:
Berechnung Erklärung 18 × 32 = … Aufgabe mit za=1, ea=8, zb=3, eb=2 … = ( 1×2 + 8×3 ) × 10 … 26 Zehner: Der Kreuz-Term wird in einem Schritt erledigt. … + (1×3) × 100 + … plus 3 Hunderter = 560 … + 8×2 = 576 plus 16 Einer = 576
Alle Multiplikationen werden mit einer minimalen Ziffernzahl ausgeführt. Die jeweilige Zehnerpotenz ist ausgeklammert und wird im Kopf nur vor der Addition berücksichtigt.
Bei der Anwendung des Ferrol’schen Verfahrens fallen gewisse Vereinfachungen sofort ins Auge. Sie müssen also nicht als separate Spezialfälle gelernt werden. Siehe dazu die folgenden Möglichkeiten.
Wenn Einer-Ziffern gleich sind … … vereinfacht sich die Berechnung der Anzahl Zehner mit dem Ferrol’schen Kreuzterm:
Und wenn sich zusätzlich die Zehner-Ziffern zu 10 ergänzen, vereinfacht sich die Berechnung nochmals:Walter Lietzmann: Sonderlinge im Reich der Zahlen, S. 25.
Beispiel mit e = 2 führt zu Kreuzterm = 200: 32 × 72 = 21×100 + 200 + 4
Wenn Zehner-Ziffern gleich sind … … vereinfacht sich die Berechnung der Anzahl Zehner mit dem Ferrol’schen Kreuzterm:
Und wenn sich zusätzlich die Einer-Ziffern zu 10 ergänzen, vereinfacht sich die Berechnung nochmals:
Beispiel mit z = 4 führt zu Kreuzterm = 400: 43 × 47 = 16×100 + 400 + 21
Wenn a und b Spiegelzahlen sind, z. B. 43 × 34 …