mini|hochkant=1.5|Umrisse des Kern- und Halbschattens (grün) auf der Erdoberfläche (grau) und in der Fundamentalebene (rot) während einer totalen Sonnenfinsternis Die Besselschen Elemente sind geometrische Größen, die Friedrich Wilhelm Bessel einführte, um die lokalen Gegebenheiten bei einer Sonnenfinsternis an einem Beobachtungsort auf der Erde zu beschreiben. Neben Sonnenfinsternissen kann das damit verbundene Prinzip auch bei Stern- oder Planetenbedeckungen durch den Mond sowie den Transiten von Venus und Merkur vor der Sonne verwendet werden. Die bei Mondfinsternissen vorgenommenen Berechnungen ähneln der Berechnung der Besselschen Elemente, wobei in diesem Fall der Schatten nicht auf die Erde, sondern auf den Mond fällt.
Bei Sonnenfinsternissen kann beispielsweise basierend auf den Besselschen Elementen die Bedeckungsdauer an einem bestimmten Ort ermittelt werden, oder es ist der Pfad bestimmbar, auf dem der Kernschatten des Mondes die Erdoberfläche überstreicht. Dieses Berechnungsverfahren wurde 1829 durch Bessel entwickelt und später von William Chauvenet verfeinert.
Die grundlegende Idee des Verfahrens ist, dass die Besselschen Elemente die Bewegung des durch den bedeckenden Himmelskörper verursachten Schattens – bei Sonnenfinsternissen ist dies der Mondschatten – auf der geeignet gewählten, sogenannten Fundamentalebene wiedergeben. Dabei handelt es sich um die geozentrische Normalebene der Schattenachse. Das bedeutet, dass diese Ebene durch den Erdmittelpunkt geht und senkrecht auf der Achse des Schattenkegels steht, also der Geraden, die durch die Zentren des bedeckten und des bedeckenden Himmelskörpers geht.Hermann Mucke, Jean Meeus: Canon of solar eclipses: -2003 to +2526. Astronomisches Büro, Wien 1992, Seite XXXIII–LI
Zur Beschreibung der Bewegung des Schattens in dieser geeignet gewählten Ebene ist die Angabe vergleichsweise weniger Größen ausreichend – bei hinreichender Genauigkeit. Dies liegt nicht zuletzt daran, dass der Schatten während des gesamten Finsternisverlaufs in dieser Ebene immer kreisförmig ist und keiner perspektivischen Verzerrung unterliegt. In einem zweiten Schritt werden die Werte für die Erdoberfläche errechnet, in dem die Schnittkurven der Schattenkegel mit der Erdoberfläche bestimmt werden, wobei erst dann die annähernde Kugelform der Erde, die Erddrehung sowie die Lage und Höhe des Beobachtungsorts berücksichtigt werden müssen.
Geschichte hochkant|mini|Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846) mini|hochkant|William Chauvenet (1820–1870) Dieses Verfahren, Stern- und Planetenbedeckungen sowie Sonnenfinsternisse zu beschreiben, wurde vom deutschen Wissenschaftler Friedrich Wilhelm Bessel in den 1820er Jahren ausgearbeitet. Die erste Arbeit Bessels zum Thema Sternbedeckungen findet sich in den Astronomischen Nachrichten Nr. 50 aus dem Jahre 1824, in der er einige Berechnungen auf Basis zuvor beobachteter Sternbedeckungen anstellte.Friedrich Wilhelm Bessel: Berechnung verschiedener Sternbedeckungen von den Herren Rosenberger, Strehlke und Klupsz. In: Astronomische Nachrichten, Nr. 50, 3, Februar 1824, S. 17–28, Im Jahr 1829 veröffentlichte er eine verallgemeinernde Arbeit Ueber die Vorausberechnung der Sternbedeckungen in den Astronomischen Nachrichten Nr. 145.Friedrich Wilhelm Bessel: Ueber die Vorausberechnung der Sternbedeckungen. In: Astronomische Nachrichten, Nr. 145, 7, September 1828, S. 1–16, Noch im selben Jahr entwickelte er die Idee weiter, indem er das Verfahren mit dem Ziel der Anwendung für Planetenbedeckungen und Sonnenfinsternisse verallgemeinerte.Friedrich Wilhelm Bessel: Beiträge zur Theorie der Finsternisse und den Berechnungs-Methoden derselben. In: Astronomische Nachrichten, Nr. 151, 7, Januar 1829, S. 121–136, Friedrich Wilhelm Bessel: Beiträge zur Theorie der Finsternisse und den Berechnungs-Methoden derselben (Beschluß). In: Astronomische Nachrichten, Nr. 152, 7, Februar 1829, S. 137–144,
Bis zu diesem Zeitpunkt wurden zur Berechnung zwei unabhängige Verfahren mit unterschiedlichen Zielen verwendet. Das erste Verfahren diente der Bestimmung der Gegebenheiten, wie sie sich einem Beobachter an einem konkreten Ort darstellten. Die hierbei verwendete Methode ging bereits auf Johannes Kepler zurück und war später von Jérôme Lalande und Johann Gottlieb Friedrich von Bohnenberger weiterentwickelt worden. Das zweite Verfahren, das auf Joseph-Louis Lagrange zurückzuführen ist, diente der Berechnung des Zeitpunktes der Konjunktion. Da sich dieses Verfahren auf den Erdmittelpunkt bezog und keine Aussage über lokale Gegebenheiten auf der Erdoberfläche machen konnte, wurde es zur Berechnung von Finsternissen weniger häufig angewandt als das erste. Es vereinfachte jedoch viele andere astronomische Berechnungen. Bessels Ansatz bestand nun darin, Lagranges Verfahren so weiterzuentwickeln, dass damit auch die Berechnung der lokalen Gegebenheiten möglich wurde, womit er eine Kombination beider Verfahren erreichte.
Im zweiten Band seiner Astronomischen Untersuchungen veröffentlichte Bessel 1842 eine vier Abschnitte umfassende Abhandlung mit dem Titel Analyse der Finsternisse. Darin fasste er seine bisher veröffentlichten Arbeiten zu diesem Thema zusammen und rundete sie durch einige Ergänzungen ab.Friedrich Wilhelm Bessel: Astronomische Untersuchungen. Band 2, Königsberg 1842 (books.google.de) Diese Veröffentlichung diente als Grundlage für viele Astronomen, die sich später mit diesem Thema auseinandersetzten. Peter Andreas Hansen verwendete in seinem 1858 veröffentlichten Werk Theorie der Sonnenfinsternisse und verwandter Erscheinungen abweichend von Bessel die Schnittgerade der Ekliptik mit der Fundamentalebene als -Achse. Bessels Variante, die Verwendung der Äquatorebene statt der Ekliptik, besaß jedoch einige Vorteile, wie 1863 der amerikanische Astronom William Chauvenet hervorhob. Er folgte in seinem Manual of Spherical and Practical Astronomy größtenteils dem Verfahren Bessels, entwickelte aber für einige Teilprobleme eigene Lösungsansätze. Chauvenets Darstellung war daraufhin die Basis für viele weitere Entwicklungen auf diesem Gebiet.Roberdeau Buchanan: The Mathematical Theory of Eclipses According to Chauvenet’s Transformation of Bessel’s Method. S. 17 f., Philadelphia/London 1904
Wenn auch die Berechnungen von Finsternissen nicht mehr manuell, sondern elektronisch erfolgen, haben die Besselschen Elemente ihre Bedeutung nicht verloren. Im Gegenteil, sie stellen das Bindeglied zwischen den Berechnungen des Zeitpunkts des Auftretens einer Finsternis sowie den Berechnungen der lokalen Gegebenheiten dar. Viele Computerprogramme sind auf eine der beiden Berechnungen spezialisiert, wobei die Besselschen Elemente sozusagen als Schnittstelle fungieren.Fred Espeneak: Besselian Elements of Solar Eclipses. NASA
Sonnenfinsternisse Die an einem Ort auf der Erdoberfläche beobachtbare gegenseitigen Bedeckung von Gestirnen hängt von den Bahndaten des bedeckten entfernteren sowie des bedeckenden näheren ab. Diese Daten (Ephemeriden) werden üblicherweise als Winkel Rektaszension und Deklination angegeben. Diese Winkel beziehen sich als geozentrische Koordinaten auf den Erdmittelpunkt, so dass aus ihnen nicht direkt die Gestirnsbedeckung zu entnehmen ist, die an einem bestimmten Punkt der Erdoberfläche zu beobachten ist.
Um eine Bedeckung in einem Punkt auf der Erdoberfläche zu beschreiben, müssen die aus Tafeln entnommenen oder anderweitig bekannten Bahndaten der beiden Himmelskörper umgerechnet werden. Die Besselschen Elemente dienen der Beschreibung des Verlaufs sowie der Größe des Kern- und Halbschattens in der Fundamentalebene. Es ist einerseits nicht schwierig, den Verlauf des Schattens in dieser Ebene ausgehend von den Bahndaten der Himmelskörper zu beschreiben, zum anderen ist auch eine recht einfache Umrechnung auf einen Beobachtungspunkt möglich. Für letztere Umrechnung enthalten die Besselschen Elemente auch Angaben, wie die Fundamentalebene gegenüber dem Nullmeridian und der Äquatorebene verdreht ist.
Die Bedeckung der Sonne durch den Mond stellt im Hinblick auf die Beschreibung der Gegebenheiten auf der Erde den kompliziertesten Okkultationstyp dar, da sowohl der bedeckte Körper – die Sonne – als auch der bedeckende Körper – der Mond – nicht zu vernachlässigende Sehwinkel haben. Zudem muss die scheinbare Bewegung der Sonne während der Bedeckung berücksichtigt werden.Robin M. Green: Spherical Astronomy. S. 459 ff., siehe Literatur
Definition der Besselschen Elemente mini|hochkant=1.3|Fundamentalebene mit den Besselschen Elementen , , und Zunächst wird ein rechtwinkliges Koordinatensystem eingeführt, das als fundamentales oder Besselsches Koordinatensystem bezeichnet wird. Dabei wird von der Schattenachse ausgegangen, der Verbindungsgeraden des Zentrums von Sonne und Mond. Die Parallele der Schattenachse, die durch den Erdmittelpunkt geht, stellt die -Achse des Besselschen fundamentalen Koordinatensystems dar und folgt ständig dem Schatten, das Koordinatensystem dreht sich also mit der Richtung der Schattenachse. Die Fundamentalebene steht im Erdmittelpunkt senkrecht auf dieser Achse. In der Fundamentalebene wird die Position und Größe des Kern- und Halbschattens mittels der - und -Koordinate beschrieben. Die -Achse ist dabei die Schnittgerade der Fundamentalebene mit der Äquatorebene und weist nach Osten, die -Achse weist nach Norden.
Die ersten beiden Größen der Besselschen Elemente sind die Koordinaten und des Schnittpunkts der Schattenachse mit der Fundamentalebene. Die Richtung der Schattenachse – die der Richtung der -Achse entspricht – wird durch die Deklination und den Ephemeridenstundenwinkel angegeben. Der Radius des Halbschattenkegels in der Fundamentalebene wird durch beschrieben, der des Kernschattenkegels durch . ist dabei für eine totale Finsternis negativ, für eine ringförmige positiv. Die Werte , , und werden in der Regel in Einheiten des Äquatorradius der Erde angegeben.
Neben diesen sechs Größen, die sich im Verlauf der Finsternis ändern, gibt es noch zwei weitere Größen, die als konstant betrachtet werden können: Die Größen und definieren die halben Öffnungswinkel des Halb- bzw. Kernschattenkegels.
Berechnung der Besselschen Elemente Die für Sonnenfinsternisse verwendeten Besselschen Elemente gehen aus vom zeitlichen Verlauf der geozentrischen Positionen von Sonne und Mond, die über deren Ephemeriden verfügbar sind.Typischerweise werden vom Jet Propulsion Laboratory veröffentlichte Ephemeriden (DE200/LE200) als Grundlage verwendet. Diese Ephemeriden beziehen sich auf die Massezentren der Himmelskörper. Für Finsternisse ist jedoch das Zentrum der Mond-, Planeten- oder Sonnenscheibe maßgeblich. Dies wirkt sich störend im Falle des Mondes aus, dessen Massezentrum etwa zwei Kilometer näher bei der Erde liegt als sein geometrisches Zentrum. Die Größe der dadurch verursachten Abweichung zeigt deshalb einen Zusammenhang zur Libration. Falls bei der Berechnung Besselscher Elemente solche Korrekturen der Koordinaten des Mondes vorgenommen wurden, wird dies angegeben ( und ).P. Kenneth Seidelmann: Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. S. 424 f., siehe Literatur Eine Möglichkeit zur Berechnung des Auftretens von Sonnenfinsternissen ist, die Positionen von Sonne und Mond sofort in das fundamentale Koordinatensystem umzurechnen.P. Kenneth Seidelmann: Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. S. 435–441, siehe Literatur Dann kann recht leicht ermittelt werden, ob und wann die Schattenachse die Fundamentalebene innerhalb des Erdglobus durchstößt – was bedeutet, dass sich eine zentrale, also totale oder ringförmige Finsternis ereignet.