Die Boltzmann-Konstante (Formelzeichen oder ) ist ein Umrechnungsfaktor von thermodynamischer („absoluter“) Temperatur in Energie. Sie ist in der Thermodynamik von zentraler Bedeutung.
Zum Beispiel besitzen die Teilchen eines jeden Gases bei der Temperatur , wenn sie frei umherfliegen, die mittlere kinetische Energie .
Allgemein gilt die Größe
als typisch für die Energiebeträge, die in regelloser Weise zwischen den einzelnen Teilchen oder auch Teilsystemen eines makroskopischen physikalischen Systems bei der Temperatur im Zustand des thermischen Gleichgewichts fortwährend ausgetauscht werden. Diese typische Größe ist universell, d. h. sie gilt unabhängig von sämtlichen Eigenschaften der einzelnen Teilchen des Systems und ihren Wechselwirkungen miteinander. Sie wird in manchen Zusammenhängen auch als thermische Energie bezeichnet.
Aufgrund des regellosen Energieaustauschs befinden sich die Teilchen in Zuständen verschiedener Energie und zeigen eine Häufigkeitsverteilung, so dass die die Wahrscheinlichkeit , mit der ein herausgegriffenes Teilchen einen bestimmten Zustand einnimmt, im thermischen Gleichgewicht allein durch den Boltzmann-Faktor
bestimmt ist, wobei die Energie dieses Zustands ist. ( ist ein Normierungsfaktor.) Auch diese Gleichung gilt universell, und sowohl in der klassischen Physik als auch in der Quantenphysik.
Im Bereich der klassischen Physik, wo die Energie kontinuierlich variieren kann, gibt (eventuell bis auf einen einfachen konstanten Faktor) auch den Durchschnittswert der Energie der einzelnen Teilchen oder Teilsysteme an. Zum Beispiel ist die mittlere kinetische Energie der Luftmoleküle, Aerosole und Staubkörnchen in der AtmosphäreDies gilt für absolut ruhende Luft. Die Höhe, bei der die potentielle Energie gerade gleich ist, heißt Skalenhöhe. Sie liegt für Moleküle in der Erdatmosphäre bei etwa 8 km. Für Aerosole von z. B. 1010-fach größerer Masse ist die Skalenhöhe um denselben Faktor kleiner, so dass sich verschiedene Höhenverteilungen einstellen. Luftströmungen können diese wieder vermischen (Aufwirbeln). gleich , während direkt die durchschnittliche potentielle Energie angibt. Beide Energien sind proportional zur Temperatur, weshalb in der klassischen Physik die Wärmekapazität eines Gases temperaturunabhängig sowie proportional zur Teilchenzahl und zur Boltzmann-Konstante vorhergesagt wird.In der Quantenphysik, wo es zu einem bestimmten Energiewert gegebenenfalls gar keinen Zustand oder jedenfalls nicht die der klassischen Physik entsprechende Anzahl von Zuständen gibt, kann der zusätzliche Faktor temperaturabhängig sein, wenn die thermische Energie bei tieferen Temperaturen kleiner als solche Energielücken wird.
Wert Die Boltzmann-Konstante hat die Dimension Energie/Temperatur und den Wert
Dieser Wert gilt exakt, weil die Einheit Kelvin der absoluten Temperatur seit der SI-Revision von 2019 dadurch definiert ist, dass der Boltzmann-Konstante gerade dieser Wert zugewiesen wurde.Vor 2019 war das Kelvin anders definiert, indem dem Tripelpunkt von reinem Wasser die Temperatur zugewiesen worden war. Bis 2019 war daher eine experimentell zu bestimmende Größe, an deren genauesten Messwert die neue Definition bestmöglich angenähert wurde.
Mit Elektronenvolt (eV) als Energieeinheit hat die Boltzmann-Konstante den – ebenfalls exakten – Wert .
Aus der Boltzmann-Konstante berechnet sich die universelle Gaskonstante mit Hilfe der Avogadro-Konstante : .
Definition und Zusammenhang mit der Entropie mini|Grab von Ludwig Boltzmann auf dem Wiener Zentralfriedhof, mit der oben eingravierten Gleichung Die Ideen von Ludwig Boltzmann präzisierend, lautet die von Max Planck gefundene fundamentale Beziehung:
Das heißt, die Entropie eines Makrozustands eines abgeschlossenen Systems im thermischen Gleichgewicht ist proportional zum natürlichen Logarithmus der Anzahl der (Phasenraum) möglicher Mikrozustände, die zu diesem Makrozustand passen. heißt auch das statistische Gewicht des Makrozustands und ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, das System in diesem Makrozustand anzutreffen.
Diese Gleichung verknüpft – über die Boltzmann-Konstante als Proportionalitätsfaktor – die Mikrozustände des abgeschlossenen Systems mit der makroskopischen Größe der Entropie. Sie bildet die zentrale Grundlage der statistischen Physik. In leicht abgewandelter Nomenklatur ist sie auf dem Grabstein von Ludwig Boltzmann am Wiener Zentralfriedhof eingraviert.
Die Entropieänderung ist in der klassischen Thermodynamik definiert als
mit der reversibel zu- oder abgeführten Wärmemenge .
Eine Entropiezunahme entspricht einem Übergang in einen neuen Makrozustand mit einer größeren Zahl möglicher Mikrozustände. Alle spontanen makroskopischen Prozesse in einem abgeschlossenen (isolierten) System sind von dieser Art (Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik).
Gesetz der idealen Gase Die Boltzmann-Konstante erlaubt die Berechnung der mittleren thermischen Energie eines einatomigen freien Teilchens aus der Temperatur gemäß
und tritt beispielsweise im Gasgesetz für ideale Gase als eine Proportionalitätskonstanten auf:
.
Bedeutung der Formelzeichen: – Druck – Volumen – Teilchenzahl – thermodynamische Temperatur
Zusammenhang mit der kinetischen Energie Allgemein ergibt sich für die mittlere kinetische Energie eines klassischen punktförmigen Teilchens im thermischen Gleichgewicht für jeden Freiheitsgrad, der quadratisch in die Hamiltonfunktion eingeht, derselbe Wert
Das ist das Äquipartitionstheorem.
Bei Freiheitsgraden also das -fache.
So hat beispielsweise ein punktförmiges Teilchen Translationsfreiheitsgrade:
Ein zweiatomiges Molekül hat wenn es unsymmetrisch ist, drei zusätzliche Rotationsfreiheitsgrade, also insgesamt mit einer Symmetrieachse nur zwei zusätzliche Rotationsfreiheitsgrade für Rotation senkrecht zur Symmetrieachse, also insgesamt . Durch Rotation um die Symmetrieachse kann im Bereich thermischer Energien keine Energie gespeichert werden, da das Trägheitsmoment hier um Größenordnungen kleiner ist und der 1. angeregte Rotationszustand daher bei erreichbaren Temperaturen weit über liegt.
Bei ausreichend hohen Temperaturen treten noch Knickschwingungen der Moleküle und Schwingungen der Atome gegeneinander entlang der Bindungen dazu.
Rolle in der statistischen Physik Allgemeiner tritt die Boltzmann-Konstante in der thermischen Wahrscheinlichkeitsdichte beliebiger Systeme der statistischen Mechanik im thermischen Gleichgewicht auf. Diese lautet:
mit dem Boltzmann-Faktor der kanonischen Zustandssumme als Normierungskonstante.
Verwendung in der Halbleiterphysik
Der Stromfluss durch eine Halbleiterdiode ist unter anderem von der Temperatur abhängig und wird durch die Shockley-Gleichung beschrieben. Zur Beschreibung der thermischen Energie verwendet man in dieser Gleichung anstelle von üblicherweise die Temperaturspannung
Bei Raumtemperatur (T = 293 K) beträgt die Temperaturspannung ungefähr 25 mV.
Siehe auch Kinetische Gastheorie
Anmerkungen
Einzelnachweise doi:10.59161/CGPM2018RES1E (englisch), doi:10.59161/CGPM2018RES1F (französisch)
Die Boltzmann-Konstante wurde erstmals von Planck bestimmt. Boltzmann hat sie nie verwendet. Siehe Walter Meißner: Gedenkrede auf Max Planck, Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Klasse der Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München, 1948 Die oben genannte Formel für die Entropie findet sich zwar in der Form „S = k. log W“ auf Boltzmanns Grabstein, steht aber nirgendwo explizit in seinen Werken. Er hat aber den Zusammenhang zwischen Entropie und der Zahl der Zustände klar erkannt, z. B. in den Sitzungsberichten der Wiener Akademie 1877 oder den Vorlesungen über Gastheorie, Bd. 1, 1895, S. 40, siehe Ingo Müller A history of thermodynamics, Springer, S. 102.
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