mini|Der Astronom Pelgön Thrinle rechnet mit dem Sandabakus. mini|Der tibetische Regent und Astronom Sanggye Gyatsho mit einem Sandabakus
Ein Tibetischer Sandabakus (), auch Tibetisches Sandrechenbrett genannt, ist ein Rechenhilfsmittel zur Durchführung von Rechenaufgaben für Berechnungen zum tibetischen Kalender und zur tibetischen Astronomie.
Er wurde ausschließlich für die tibetische Kalenderrechnung und die tibetische Astronomie verwendet. Sein Gebrauch hat, wie die seit dem 11. Jahrhundert in Tibet bekannte Astronomie des Kalachakra, indischen Ursprung. Seine Verwendung in Tibet ist wenigstens eintausend Jahre alt. Der Sandabakus wird bis in die Gegenwart von tibetischen Astronomen zur Berechnung des tibetischen Kalenders verwendet.
Für Rechenaufgaben in anderen Bereichen, insbesondere in der Finanzverwaltung der tibetischen Regierung, wurde der tibetische Abakus mit losen Steinen verwendet.
Das Rechengerät mini|Tibetisches Sandrechenbrett (nach einer Abbildung im Vaidurya Karpo (1685) des Desi Sanggye Gyatsho) mini|links|Tibetisches Sandrechenbrett (nach einer Abbildung im Vaidurya Karpo (1685) des Desi Sanggye Gyatsho)
Der tibetische Sandabakus war ein flaches Brett, dessen Rand mit einer schmalen Leiste versehen war, damit der Sand nicht vom Brett herunterfallen konnte. Ein Ende des Bretts war abgerundet, während das andere gerade abgeschnittene Ende eine Art Tasche aufwies, in der der Sand aufbewahrt wurde.
Vor dem Beginn der Rechnungen wurde der sehr feine Sand gleichmäßig auf dem Brett verteilt. Geschrieben wurde mit einem hölzernen, angespitzten Griffel, der sa thur genannt wurde. Die in den Sand geritzten Zahlen konnten leicht mit dem Daumen weggewischt und an ihre Stelle neue Zahlen geschrieben werden. Dies war wesentlich für die Durchführung der Rechenoperationen. Entsprechend wird „wegwischen“ (tib.: byis pa; dbyi ba, bsubs pa, dor ba) bei den Grundrechnungsarten als mathematische Rechenoperation aufgeführt. Geschrieben wurden die Zahlen in der nachfolgend dargestellten üblichen Form tibetischer Ziffern.
Rechenanweisungen und Grundrechenarten Astronomische Berechnungen werden grundsätzlich nach einer Folge von Rechenanweisungen durchgeführt, die Computerprogrammen gleichen. Die wichtigsten Handlungsanweisungen dieser Programmiersprache sind neben dem schon erwähnten Tilgen bzw. Wegwischen von Zahlen (tib.: grangs) folgende: Platzieren von natürlichen Zahlen auf bestimmten Stellen (tib.: gnas) des Sandabakus, was einem Vorgang des Niederschreibens (tib.: 'dri ba) von Zahlen gleichkommt. Hierbei ist der Stellenwert dieser Stellen stets ≠ 10. Stellen dieser Art sind grundsätzlich untereinander, also von oben nach unten, angeordnet. Umrechnen (tib.: bsgril ba) der den Stellenwert überschreitenden natürlichen Zahl auf einer Stelle auf die nächstgrößere Stelle. Dies ist immer dann erforderlich, wenn auf Grund einer mathematischen Operation (z. B. einer Multiplikation) die auf der jeweiligen Stelle notierte Zahl größer als der Stellenwert ist. Dieser Vorgang ist eigentlich nicht mehr als eine Division einer Zahl durch den Stellenwert und anschließender Addition des Ergebnisses (ohne Rest) zu der nächsthöheren Stelle, während der Rest auf der vorgegebenen Stelle verbleibt. addieren (tib.: bsnan pa) (von natürlichen Zahlen) subtrahieren (tib.: 'phri ba) (von natürlichen Zahlen) multiplizieren (tib.: bsgyur ba) (von natürlichen Zahlen) dividieren (tib.: bgo ba) (von natürlichen Zahlen) Tibetische Abhandlungen zur Astronomie behandeln diese Rechenoperationen, wenn überhaupt, nur sehr kurz. Ein Student der tibetischen Astronomie war deshalb darauf angewiesen, dass ein Lehrer ihm die Durchführung dieser Operationen durch mündliche Unterweisung übermittelte.
Platzieren bzw. Schreiben von Zahlen mini|hochkant=1.3|Tibetische Zahlen Zwar wurden Zahlen auf dem Sandabakus mit den rechts aufgeführten tibetischen Ziffern bzw. Zahlzeichen notiert, doch kommen in den Rechenanweisungen der tibetischen Astronomie weder diese Ziffern noch die entsprechenden tibetischen Zahlwörter vor. Vielmehr werden sogenannte symbolische Zahlwörter verwendet.
Beispiele (hier jeweils nur eine Auswahl) für symbolische Zahlwörter:
Für die Zahl 0: Leere (tib.: stong pa) oder Himmel (tib.: nam mkha). Für die Zahl 1: Hase (tib.: ri bong), Mond (tib.: zla ba), Körper (tib.: gzugs) oder Rhinozeros (tib.: bse ru). Für die Zahl 2: Hände (tib.: lag), Auge (tib.: mig), Paar (tib.: zung) oder Gangart (der Sonne) (tib.: bgrod). Für die Zahl 3: Welt (tib.: 'jig rten), Spitze (tib.: rtse mo) oder Feuer (tib.: me). Für die Zahl 4: Ozean (tib.: rgya mtsho), Fluss (tib.: chu bo), Teufel (tib.: bdud) oder Fuß (tib.: rkang). Für die Zahl 5: Sinnesorgan (tib.: dbang po), Element (tib.: 'byung ba) oder Pfeil (tib.: mda) Für die Zahl 6: Geschmack (tib.: ro), Jahreszeit (tib.: dus) oder Lebewesen (tib.: 'gro ba). Für die Zahl 7: Kostbarkeit (tib.: rin chen), Weiser (tib.: thub pa) oder Planet (tib.: gza). Für die Zahl 8: Gott (tib.: lha), Verlangen (tib.: sred pa) oder Glück (tib.: bkra shis). Für die Zahl 9: Wurzel (tib.: rtsa), Schatz (tib.: gter) oder Loch (tib.: bu ga). Für die Zahl 10: Himmelsrichtung (tib.: phyogs), Kraft (tib.: stobs) oder Reichtum (tib.: 'byor ba). usw. usw.
Dabei ist zu beachten, dass die so wiedergegebenen Zahlen stets von rechts nach links geschrieben wurden. Die in den tibetischen Rechenvorschriften aufgeführte Zahl
„Pfeil (5) Geschmack (6)“ ist also = 65,
die Zahl
„Wurzel (9) Jahreszeit (6) Auge (2) Planet (7)“ ist = 7269.
Die Rechenvorschrift „multipliziere 65 mit 7269“ erscheint in den tibetischen Rechenanweisungen entsprechend als
multipliziere „Pfeil Geschmack“ mit „Wurzel Jahreszeit Auge Planet“.
Ein tibetischer Astronom hatte zur Durchführung von Rechnungen auf dem Sandabakus zunächst zahlreiche symbolische Zahlwörter auswendig zu lernen und die besondere Schreibregel der Zahlen zu beachten.
Addieren mehrstelliger natürlicher Zahlen Als Voraussetzung für die Addition mit dem Abakus hat der Astronom das Addieren von einstelligen Zahlen, wie z. B. 6 + 9, 2 + 3 usw., auswendig gelernt. Als Beispiel für die Durchführung der Addition mit dem Abakus sei von der Aufgabenstellung 11 + 68 + 89 ausgegangen. Hierzu schreibt man die drei Zahlen untereinander und geht nach dem folgenden Verfahren vor, wobei auf dem Abakus immer nur eine Spalte erscheint, die durch Wegwischen und Ergänzung von Zahlen verändert wird. (1.) Aufgabenstellung: 11, 68 und 89 sind zu addieren (2.) 9 + 8 (wird getilgt) = 17 (wird notiert). (3.) 7 + 1 (wird getilgt) = 8 (wird notiert). (4.) 8 + 1 (wird getilgt) = 9 (wird notiert). (5.) 9 + 6 (wird getilgt) = 15 (wird notiert). (6.) 5 + 1 (wird getilgt) = 6 (wird notiert). 11 11 18 18 118 168 68 67 6_ 6_ 5_ 89 8_ 8_ 9_ 1_ 1_
Subtrahieren mehrstelliger natürlicher Zahlen Als Voraussetzung für die Subtraktion mit dem Abakus hat der Astronom das Subtrahieren von einstelligen Zahlen, wie z. B. 10 − 9, 4 − 2 usw., auswendig gelernt. Als Beispiel zur Durchführung der Subtraktion sei hier von der Aufgabenstellung 1111 − 707 ausgegangen. Minuend und Subtrahend werden untereinandergeschrieben. (1.) Aufgabenstellung: von 1111 ist 707 abzuziehen (2.) 10 − 7 = 3. Tilge 1 und 7. Notiere 3 (zu addieren) (3.) Addiere 3 (4.) 10 − 7 = 3. Tilge 1 und 7. Notiere 0 und 3 (zu addieren) (5.) Addiere 3 1111 111 411 401 404 707 307 7 3
Multiplizieren mehrstelliger natürlicher Zahlen mini|Tibetische Multiplikationstafel für das kleine Einmaleins nach einem Blockdruck des 17. Jahrhunderts
Als Voraussetzung für die Durchführung der Multiplikation mehrstelliger Zahlen hat der Astronom das kleine Einmaleins auswendig zu lernen. Die entsprechende Multiplikationstafel wird im Tibetischen „Neunerende“ (tib.: dgu mtha) genannt, da solche Tafeln mit 9•1 beginnen und bei 2•10 aufhören.
Die nebenstehende Multiplikationstafel beginnt mit der Aufführung ihrer tibetischen Bezeichnung: dgu mtha ri'u mig „Tafel mit dem Neunerende“. In der ersten Zeile verzeichnet sie Multiplikator und Multiplikand, die übereinander geschrieben werden. Darunter, in der zweiten Reihe, wird das Ergebnis notiert.
Die Zahlen der ersten beiden Reihen der Multiplikationstafel: 1. Zeile (oben, Multiplikator) 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 8 8 1. Zeile (unten, Multiplikand) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 2. Zeile (Produkt) 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 8 16 24 Bei der Multiplikation von mehrstelligen Zahlen wird der Multiplikator links und der Multiplikand rechts daneben geschrieben. Nullen am Ende des Multiplikators werden sofort an das Ende des Multiplikanden geschrieben. Die letzte Zahl des Multiplikators wird unter die höchste Zahl des Multiplikanden geschrieben. Bei der Durchführung der Multiplikation wird von links begonnen.
Als Beispiel sei hier als Multiplikator die Zahl 3210 und als Multiplikand die Zahl 92 gewählt. Die Aufgabenstellung lautet also 92•3210. (1.) Multiplikator 3210 und Multiplikand 92 werden platziert (2.) 9•3 = 27 (wird notiert) (3.) 9•2 = 18 (wird notiert) (4.) 9•1 = 9 (wird notiert) (5.) 9 wird getilgt. 32 und die 1 rücken nach rechts (6.) 2•3 = 6 (wird notiert) (7.) 2•2 = 4 (wird notiert) (8.) 2•1 = 2 (wird notiert) (9.) 2 wird getilgt. 32 und die 1 rücken nach rechts (10.) Multiplikation mit 0 ergibt 0 32920 32920 32920 32920 3220 3220 3220 3220 320 1__ 1__ 1__ 1__ 1_ 1_ 1_ 1_ 1 7____ 78___ 789__ 789__ 789__ 789__ 7892_ 7892_ 78920 2_____ 21____ 21____ 21____ 216___ 2164__ 2164__ 2164__ 2164__
Anschließend sind die beiden übereinander geschriebenen Zahlen, also 78920 und 216400 (!) zu addieren, was nach dem beschriebenen Verfahren der Addition durchgeführt wird. Das Ergebnis ist 295320.
Division mehrstelliger natürlicher Zahlen Die Division setzt die Kenntnis der Multiplikationstafel und der Bildung von Differenzen zu den Zahlen von 10 bis 90 voraus. Als Rechenbeispiel sei die Aufgabenstellung 1111101 : 707 vorgegeben. Zur Durchführung schreibt man Dividend und Divisor untereinander. (1.) Aufgabenstellung: 1111101 : 707 (2.) 10 : 7 = 1 (platziert). 10 − 7 = 3. Tilge 1 und 7, füge 3 hinzu (3.) 3 wird addiert und getilgt (4.) 7 × 1 = 7. 10 − 7 = 3. Tilge 1 und 7. Notiere 3 (zu addieren) (5.) 3 wird addiert und getilgt (6.) Notiere Divisor erneut (7.) 40 : 7 = 5 (platziert). 40 − 35 = 5. Tilge 4 und 7. Notiere 5 (zu addieren) (8.) 5 wird addiert und getilgt (9.) 7 × 5 = 35. 40 − 35 = 5. Tilge 4 und 7. Notiere 5 (zu addieren) (10.) 5 wird addiert und getilgt (11.) Notiere Divisor erneut Quotient 1_____ 1_____ 1_____ 1_____ 1_____ 15____ 15____ 15____ 15____ 15____ Dividend 1111101 111101 411101 401101 404101 404101 04101 54101 50101 50601 50601 Divisor 707___ 307___ 7___ 3___ 707__ 507__ 7__ 5__ 707_
usw. usw.
Durchführung astronomischer Berechnungen mini|Darstellung der Ekliptik nach der modernen Astronomie. Das tibetische Weltbild ist hiervon verschieden.
Die tibetische Astronomie beschäftigte sich insbesondere mit der Berechnung der Positionen – astronomisch Längen genannt – des Mondes, der Sonne und der Planeten Venus, Merkur, Mars, Jupiter und Saturn. Hierbei ist im geozentrischen Weltbild der Tibeter die Sonne ein Planet. Die tibetische Astronomie teilte unter anderem die Ekliptik, also den Großkreis, der durch die Projektion der scheinbaren Bahn der Sonne im Verlauf eines Jahres auf der Himmelskugel entsteht, in 27 Teile ein, die von 0 bis 26 gezählt wurden. Diese Teile eines Kreises, häufig Mondstationen oder Mondhäuser genannt, werden im Tibetischen als rgyu skar „Sterne, auf denen man (d.s. die Planeten) geht“ bezeichnet. Mathematisch handelt es sich hierbei um ein Winkelmaß bzw. um ein Bogenmaß. Die Winkelmaßeinheit rgyu skar wurde in 60 chu tshod unterteilt. Eine chu tshod wurde in 60 chu srang unterteilt. Eine chu srang bestand aus 6 dbugs, die wiederum in 67 cha shas „Teile“ unterteilt wurden. Es wird deutlich, dass mit diesem System von Winkelmaßen die Länge eines Planeten sehr genau bestimmt werden konnte.