duimnael|regs|300px|Die prent illustreer hoe die ure op 'n horlosie 'n groep vorm.
In abstrakte algebra is 'n groep 'n versameling met 'n binêre operasie wat sekere aksiomas, soos onder uiteengesit, bevredig. Die versameling heelgetalle met optelling is byvoorbeeld 'n groep. Die vertakking van wiskunde wat groepe bestudeer staan bekend as groepteorie.
Dit blyk dat baie strukture wat in wiskunde ondersoek word groepe is. Dit sluit die bekende getallestelsels in, soos die heelgetallle, die rasionale getalle, die reële getalle, en die komplekse getalle onder optelling, benewens die nie-nul rasionale-, reële- en komplekse getalle onder vermenigvuldiging. Ander belangrike voorbeelde is die groep nie-singuliere matrikse onder vermenigvuldiging, en die groep omkeerbare funksies onder komposisie. Groepteorie fasiliteer die studie van die eienskappe van sulke struktuere oor die algemeen.
Groepteorie word op groot skaal in wiskunde, wetenskap en ingenieurswese toegepas. Baie algebraïese strukture soos velde en vektorruimtes kan bondig in terme van groepe gedefinieer word, en groepteorie verskaf belangrike gereedskap vir die studie van simmetrie, aangesien die simmetrieë van enige voorwerp 'n groep vorm. Groepe is dus noodsaaklike abstraksies in vertakkings van fisika wat op simmetriebeginsels berus soos relatiwiteit, kwantummeganika en deeltjie-fisika. Verder word hulle vermoë om meetkundige transformasies voor te stel in chemie, rekenaargrafika en ander velde toegepas. Definisies 'n Groep (G, *) is 'n versameling G met 'n binêre operasie * : G × G → G (een wat aan elke geordende paar (a,b) in G 'n element in G aangedui deur a*b toeken) wat die volgende drie aksiomas bevredig:
Assosiatiwiteit: Vir alle a, b en c in G, (a * b) * c = a * (b * c). Identiteitselement: Daar is 'n element e in G sodat vir alle a in G, e * a = a * e = a. Inverse element: Vir elke a in G, is daar 'n element b in G sodat a * b = b * a = e, waar e die Identiteitselement is.
Deur die definisie van 'n binêre operasie is die groep geslote onder die operasie daarvan (dit wil sê, vir enige a en b in G, is die produk a * b ook in G).
Dit kan maklik aangetoon word dat elke groep oor presies een identiteitselement beskik.
Daar kan ook aangetoon word dat die inverse van 'n element uniek is, en dat die linker- en regter-inverses van 'n element dieselfde is. Sommige definisies is dus effens bondiger, deur die vervanging van die tweede en derde aksiomas met die konsep van 'n "linker- (of regter-) identiteitselement" en 'n "linker- (of regter-) inverse element."
Let ook daarop dat 'n groep (G,*) dikwels ook eenvoudig deur G aangedui word waar daar geen dubbelsinnigheid bestaan oor die soort operasie nie.
Basiese konsepte in groepteorie Orde van groepe en elemente Die orde van 'n groep G, aangedui met |G |, is die getal elemente in die versameling G. As die orde nie eindig is nie, dan is die groep 'n oneindige groep, aangedui deur |G | = ∞.
Die orde van 'n element a in 'n groep G is die mins-negatiewe heelgetal n sodat an=e, waar an n keer met homself vermenigvuldig word.
Subgroepe 'n Versameling H is 'n deelgroep van 'n groep G as dit 'n deelversameling is van G, en dit 'n groep is wat die operasie waarmee G gedefinieer is gebruik. Met ander woorde, H is 'n deelgroep van (G, *) as die beperking van * op H 'n groep operasie op H is.
As G is 'n eindige groep is, dan is H ook een. Verder deel die orde van H die orde van G.
Abelse groepe 'n Groep G is 'n abelse groep (of kommutatiewe groep) as die operasie kommutatief is, dit wil sê, vir alle a, b in G, a * b = b * a. 'n Nie-abelse groep is 'n groep wat nie abels is nie. Die term "abels" is vernoem na die wiskundige Niels Abel.
Sikliese groepe 'n Sikliese groep is 'n groep waarvan al die elemente gegenereer kan word deur opeenvolgende komposisie van 'n operasie, wat die groep definieer deur toepassing van 'n enkele element van die groep. Byvoorbeeld, in die geval van 'n siklies-vermenigvuldigende groep, word al die elemente van die groep deur die versameling van alle heelgetalmagte van 'n primitiewe element van die groep gedefinieer, G = < a > = { an | n Z mod m | m Z}. Indien opeenvolgende komposisie van die operasie wat die groep definieer op 'n nie-primitiewe element van die groep toegepas word, word 'n sikliese deelgroep gegenereer waarvan die orde die orde van die groep verdeel. Indien die orde van 'n groep dan 'n priemgetal is, is al die elemente daarvan, behalwe die identiteit, primitiewe elemente van die groep. Dit is belangrik om daarop te let dat 'n groep al die sikliese deelgroepe wat deur elk van die elemente van G genereer word bevat. 'n Groep wat opgestel word uit sikliese deelgroepe is nie self noodwendig 'n sikliese deelgroep nie, b.v., 'n kleingroep is nie 'n sikliese groep nie selfs al word dit opgestel uit twee kopieë van die sikliese groep van orde 2.
Notasie vir groepe Groepe kan verskillende notasies gebruik afhangende van die konteks en die groep-operasie. Additiewe groepe gebruik + om optelling aan te dui en die minus teken - om inverses aan te dui. Byvoorbeeld, a + (-a) = 0 in Z. Vermenigvuldigende groepe gebruik * om vermenigvuldiging aan te dui, en die boskrif -1 om inverses aan te dui. Byvoorbeeld, a * a-1 = 1. Dit is baie algemeen om die * weg te laat en in plaas daarvan aa-1 te skryf. Funksie groepe gebruik • om funksie komposisie aan te dui, en die boskrif -1 om inverses aan te dui. Byvoorbeeld, g • g-1 = e. Dit is baie algemeen om die • weg te laat en in plaas daarvan net gg-1 te skryf.
Die weglaat van 'n simbool vir 'n operasie is oor die algemeen aanvaarbaar en dit word dan aan die leser oorgelaat om te weet wat die konteks van die groep-operasie is.
Wanneer groepe gedefinieer word is dit standaardnotasie om hakkies te gebruik om die groep en die groep se operasie te definieer. Byvoorbeeld, (H,+) dui aan dat die versameling H 'n groep onder optelling is. Vir groepe soos (Zn,+) en (Fn*, *) is dit normaal om die hakies en die operasie weg te laat, b.v. Zn en Fn*. Dit is ook korrek om na 'n groep te verwys deur die versameling identifiseerder b.v. H of Z te gebruik.
Die identiteitselement e staan soms bekend as die "neutrale element," en word soms aangedui deur 'n ander simbool afhangende van die groep: In vermenigvuldigende groepe kan die identiteitselement met 1 aangedui word. In reguliere matriksgroepe word die identiteitselement gewoonlik deur I aangedui. In additiewe groepe, kan die identiteitselement deur 0 aangedui word. In funksie-groepe word die identiteitselement gewoonlik aangedui deur f0.
Indien S 'n deelgroep is van G en x 'n element is van G, dan, in vermenigvuldigende notasie, is xS die versameling van alle produkte {xs : s in S}; op soortgelyke wyse word die notasie Sx = {sx : s in S} gebruik; en vir twee deelversamelings S en T van G, word ST vir {st : s in S, t in T} geskryf. In additiewe notasie word x + S, S + x, en S + T vir die onderskeie versamelings geskryf (kyk cosets).
Voorbeelde van Groepe 'n Abelse groep: die heelgetalle onder optelling
'n Bekende groep is die heelgetalle onder optelling. Laat Z die versameling heelgetalle, {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, wees en laat die simbool "+" die optelbewerking wees. Dan is (Z,+) 'n groep.
Bewys: Geslotenheid: Indien a en b heelgetalle is dan is a + b 'n heelgetal. Assosiatiwiteit: Indien a, b, en c heelgetalle is, dan is (a + b) + c = a + (b + c). Identiteitselement: 0 is 'n heelgetal en vir enige heelgetal a is 0 + a = a + 0 = a. Inverse elemente: Indien a 'n heelgetal is, dan bevredig die heelgetal −a := b die inverse reëls: a + b = b + a = 0.
Die groep is ook kommutatief omdat a + b = b + a. Kommutatiewe groepe word abelse groepe genoem, na die Noorse wiskundige Niels Henrik Abel.
Let daarop dat die heelgetalle met vermenigvuldiging nie 'n groep is nie omdat inverse van vermenigvuldiging nie teenwoordig is nie.
Die voorbeeld van die heelgetalle kan uitgebrei word deur dit te beskou met beide optel én vermenigvuldiging, wat 'n meer ingewikkelde algebraïese struktuur genaamd 'n ring vorm. 'n Ring is kortliks 'n versameling R met twee bewerkings, gewoonlik optel (+) en vermenigvuldiging (.), waar (R,+) en (R\{0},.) abelse groepe vorm en 0 die optelidentiteit is, en vermigvuldiging oor optel distributeer.
Nie 'n groep nie: die heelgetalle onder vermenigvuldiging In teenstelling met bogenoemde geval is die heelgetalle vet die vermenigvuldiging operasie, (Z,·), nie 'n groep nie. Dit bevredig meeste van die aksiomas, maar dit faal in terme van inverses: Geslotenheid: indien a en b heelgetalle is dan is a · b 'n heelgetal. Assosiatiwiteit: Indien a, b, en c heelgetalle is dan is (a · b) · c = a · (b · c). Identiteitselement: 1 is 'n heelgetal en vir enige heelgetal a, 1 · a = a · 1 = a. Dit is egter nie waar dat as a 'n heelgetal is, daar 'n heelgetal b is sodat ab = ba = 1 nie. Byvoorbeeld, a = 2 is 'n heelgetal, maar die enigste oplossing vir die vergelyking ab = 1 is b = 1/2. 1/2 is egter nie 'n heelgetal nie. (Inverse element faal)
Aangesien nie elke element van (Z,·) 'n inverse het nie, is (Z,·) nie 'n groep nie. Dit is egter 'n kommutatiewe monoïed, wat 'n struktuur soortgelyk aan 'n groep is maar wat nie inverse element benodig nie.
'n Abelse groep: die nie-nul rasionale getalle onder vermenigvuldiging Beskou die versameling rasionale getalle Q, die versameling breuke a/b, waar a en b heelgetalle is en b is nie-nul, en die vermenigvuldiging operasie, aangedui deur "·". Aangesien die rasionale getal 0 nie 'n vermenigvuldigende inverse het nie, is (Q,·), soos (Z,·), nie 'n groep nie.
Die versameling nie-nul rasionale getalle Q \ {0} vorm die abelse groep (Q \ {0},·) Geslotenheid, Assosiatiwiteit, en Identiteitselement aksiomas kan maklik nagegaan word en word bevredig danksy die eienskappe van heelgetalle. Inverse elemente: Die inverse van a/b is b/a wat die aksioma bevredig.
Geslotenheid word nie ingeboet deur nul weg te laat nie, omdat die produk van twee nie-nul rasionale getalle nooit nul is nie. Net soos die heelgetalle 'n ring vorm, vorm die rasionale getalle die algebraïese struktuur, die veld, wat die optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling toelaat.
'n Eindige nie-albse groep: permutasies van 'n versameling Vir 'n meer konkrete voorbeeld, beskou die drie gekleurde blokke (rooi, groen en blou), wat aanvanklik in die volgorde RGB geplaas word. Laat a die aksie wees: "ruil die eerste blok en die tweede blok om", en laat b die aksie wees: "ruil die tweede blok en die derde blok om".
duimnael|Siklusdiagram vir S3. 'n Lus spesifiseer 'n reeks magte van enige element verbind aan die identiteitselement (1). Byvoorbeeld, die e-ba-ab lus reflekteer die feit dat (ba)2=ab en (ba)3=e, benewens die feit dat (ab)2=ba en (ab)3=e Die ander "lusse" is wortels van eenheid sodat, byvoorbeeld a2=e.
In vermenigvuldigende vorm, skryf ons tradisioneel xy vir die gekombineerde aksie "doen eers y, en doen dan x"; sodat ab die aksie RGB → RBG → BRG is, d.i., "neem die laaste blok en skuif dit na die voorkant". As ons e skryf vir "laat die blokke soos hulle is" (die identiteitsaksie), dan kan ons die ses permutasies van die versameling van drie blokke as die volgende aksies skryf:
e : RGB → RGB a : RGB → GRB b : RGB → RBG ab : RGB → BRG ba : RGB → GBR aba : RGB → BGR
Let daarop dat die aksie aa die effek het dat RGB → GRB → RGB, wat die blokke los soos hulle voor die tyd was; ons kan dus skryf aa = e. Op soortgelyke wyse:, bb = e, (aba)(aba) = e, en (ab)(ba) = (ba)(ab) = e; dus het elk van die bostaande aksies 'n omgekeerde.
Deur inspeksie kan assosiatiwiteit en geslotenheid ook bepaal word; merk byvoorbeeld op dat (ab)a = a(ba) = aba, en (ba)b = b(ab) = bab.
Hierdie groep word die simmetriese groep op 3 letters, of S3. Dit het orde 6 (of 3 faktoriaal), en is nie-albs (aangesien, byvoorbeeld, ab ≠ ba).