duimnael|regs|271px|'n Punt M met poolkoördinate en duimnael|regs|271px|'n Polêre rooster met die koördinaatlyne wat bestaan uit konsentriese sirkels in rooi waar = konstant en strale in blou waar = konstant is. In hierdie geval is 'n veelvoud van 30°.
In wiskunde is die poolkoördinatestelsel, of poolkoördinaatstelsel, 'n twee-dimensionele koördinatestelsel waarin punte aangegee word deur 'n hoek en 'n afstand. Die poolkoördinatestelsel word in baie velde gebruik insluitend wiskunde, fisika, ingenieurswese, navigasie en robotika. Dit is veral nuttig in omstandighede waar die verhouding tussen twee punte geredelik in terme van hoeke en afstande bepaal kan word; in die Cartesiese koördinatestelsel kan sulke verhoudings slegs deur trigonometriese formules gevind word. Vir baie soorte krommes is 'n poolvergelyking die eenvoudigste wyse van voorstelling; en vir sommige die enigste.
Aangesien die koördinatestelsel tweedimensioneel is word elke punt deur twee polêre koördinate bepaal: die radiale-koördinaat en die hoekkoördinaat. Die radiale-koördinaat (gewoonlik voorgestel deur of ) dui die punt se afstand vanaf 'n sentrale punt wat as die pool (ekwivalent aan die oorsprong in die Cartesiese stelsel) bekendstaan. Die hoekkoördinaat (wat ook bekendstaan as die poolhoek of die asimuthoek, gewoonlik deur , of voorgestel) dui die positiewe of antikloksgewyse hoek tussen die punt en die 0° straal of poolas (wat ekwivalent is aan die positiewe x-as in die Cartesiese koördinaatvlak is) aan. In die poolkoördinatestelsel is die koördinaatlyne dus konsentriese sirkels ( = konstant) en strale ( = konstant) eerder as die reghoekige roosterpatroon wat by die Cartesiese koördinatestelsel ontstaan. Die poolkoördinatestelsel is dan ook ortogonaal aangesien die koördinaatlyne mekaar teen regtehoeke sny.Encyclopaedia of Mathematics, Polar coordinates, besoek op 24 Februarie 2008Encyclopaedia of Mathematics, Orthogonal system, besoek op 24 Februarie 2008
Die poolkoördinatestelsel kan op twee maniere na 'n driedimensionele stelsel uitgebrei word. In die silindriese koördinatestelsel word 'n derde koördinaat bygevoeg wat die hoogte van enige punt bo die vlak aandui, soortgelyk aan die manier waarop die Cartesiese koördinatestelsel na drie dimensies uitgebrei word. In die sferiese koördinatestelsel word 'n punt afgestip deur die koördinate deur twee hoeke en die afstand van die oorsprong te spesifiseer.
Geskiedenis duimnael|regs|175px|Bonaventura Cavalieri duimnael|regs|175px|Sir Isaac Newton
Dit is bekend dat die Grieke die konsepte van hoek en radius gebruik het. Die sterrekundige Hipparchos (190-120 v.C.) het 'n tabel van koordfunksies opgestel wat die lengte van elke koord vir elke hoek gee en daar is verwysings na sy gebruik van poolkoördinate in die bepaling van sterposisies. In Oor Spirale, beskryf Archimedes sy beroemde spiraal, 'n funksie waarvan die radius afhang van die hoek. Die Griekse werk het egter nie sover as 'n volle koördinatestelsel gestrek nie.
Daar is verskeie bewerings oor wie poolkoördinate vir die eerste keer as deel van 'n formele koördinatestelsel gebruik het. Die verhaal van die onderwerp word volledig vertel in Harvard professor Julian Lowell Coolidge se Origin of Polar Coordinates.The MacTutor History of Mathematics archive: Coolidge's Origin of Polar Coordinates Gréggoire de Saint-Vincent en Bonaventura Cavalieri het die konsepte onafhanklik op omtrent dieselfde tyd ingevoer. Saint-Vincent het privaat daaroor geskryf in 1625 en dit in 1647 gepubliseer, terwyl Cavalieri dit in 1635 gepubliseer het met 'n gekorrigeerde weergawe wat in 1653 uitgekom het. Poolkoördinate is aanvanklik vir spesiale doeleindes gebruik vir die studie van sekere krommes voor dit as 'n algemene meetkundige stuk gereedskap aangeneem is. Cavalieri het poolkoördinate vir die eerste keer gebruik om 'n probleem oor die oppervlak binne 'n Archimedesspiraal op te los. Blaise Pascal het poolkoördinate vervolgens gebruik om die lengte van paraboliese boë te bereken. Die probleem is wel te vore deur Roberval opgelos, maar sy oplossing is nie universeel as geldig aanvaar nie. James Gregory het 'n transformasie soortgelyk aan dié van Cavalieri tussen twee individuele krommes waar die oppervlaktes verwant was gebruik en Pierre Varignon het 'n effens aangepaste transformasie gebruik vir die studie van spirale.
In Method of Fluxions (geskryf in 1671, gepubliseer in 1736) was Sir Isaac Newton die eerste wat poolkoördinate oorweeg het as 'n algemene metode om enige punt in 'n vlak te bepaal. Newton het in Method of Fluxions agt nuwe koördinaatstelesels voorgestel wat bestaan het uit verskillende kombinasies pare van afstande wat radiaal van 'n gegewe punt, of sywaarts teenoor gegewe reguitlyne of kromlynig langs boë of sirkels gemeet is. Een van die nuwe stelsels, waarna Newton verwys het as Seventh Manner; For Spirals, is in wese wat vandag as die hedendaagse poolkoördinatestelsel bekendstaan.CB Boyer, Newton as an Originator of Polar Coördinates, The American Mathematical Monthly, Vol. 56, No. 2 (Feb., 1949), pp. 73-78 In Acta eruditorum (1691) het Jacob Bernoulli 'n stelsel met 'n punt op 'n lyn, onderskeidelik genaamd die pool en poolas, gebruik. Koördinate is deur die afstand van die pool en die hoek van die poolas gegee. Bernoulli se werk het gestrek tot bepaling van die buigingsradius van krommes wat in die koördinate uitgedruk is. In 1729, twee jaar ná Newton se dood, het Jacob Hermann poolkoördinate vir die eerste keer as 'n behoorlike element van beskrywende meetkunde gebruik in sy studie oor lokusse. Hermann het sy vergelyking nie in die moderne vorm uitgedruk nie, maar drie veranderlikes z, m, en n gebruik, waar z die radius was en m en n sinus en kosinus van die poolhoek. Waar sy voorgangers poolkoördinate vir die studie van spirale gebruik het, het hy dit uitsluitlik vir algebraïese krommes gebruik.
Die term coordinate polari, Italiaans vir poolkoördinate, word aan Gregorio Fontana toegeskryf en is deur 18de eeuse Italiaanse skrywers gebruik. Die term is vir die eerste keer in Engels gebruik in George Peacock se 1816 vertaling van Lacroix se Differensiaal- en Integraalanalise.
Alexis Clairaut was die eerste om die uitbreiding van poolkoördinate na drie dimensies oorweeg,Coolidge haal hom as volg aan: "A l'égard des courbes á double courbure, dont les coordonnes partent d'un point, ou dont les coordonnées représentent des lignes courbes, elles demandent une méthode particuliere, et peuvent fournier le sujet d'un autre Traité que je compte donner au public." (Wat betref 'n kromme met dubbele kromming, waarvan die koördinate die kromminglyne verteenwoordig, dit vereis 'n spesifieke metode, en kan die onderwerp van 'n ander verhandeling wees wat ek beplan om openbaar te maak). Die aanhaling is uit Clairaut, Recherches sur les courbes B double courbure, Parys, 1731, laaste bladsy van die Inleiding. Hy het egter sover bekend nooit voortgegaan met die openbaar maak van die gedagte nie. terwyl Leonhard Euler dit ontwikkel het.
Uitstip van punte met poolkoördinate duimnael|300px|Die punte (3,60°) en (4,210°) Soos in ander tweedimensionele koördinatestelsels is daar twee poolkoördinate: r (die radiale koördinaat) en θ (die hoekkoördinaat, poolhoek of asimuthoek, soms voorgestel deur φ of t). Die r-koördinaat verteenwoordig die radiale afstand van die pool af, en die θ-koördinaat die antiklokgewyse (linksom) hoek van die 0° straal (soms die poolas genoem), wat as die positiewe x-as op die Cartesiese koördinaatvlak bekend staan.
Byvoorbeeld, die poolkoördinate (3,60°) sal afgestip word as 'n punt 3 eenhede van die pool op die 60° straal. Die koördinate (−3,240°) sal ook as die punt afgestip word omdat die negatiewe radiale afstand as 'n positiewe afstand op die oorstaande straal gemeet word (240° ; 180° = 60°).
Een belangrike aspek van die poolkoördinatestelsel wat nie in die Cartesiese koördinatestelsel is nie is die vermoë om 'n enkele punt met oneindig verskillende koördinate uit te druk. In die algemeen kan die punt (r, θ) uitgedruk word as (r, θ ± n×360°) of (r, θ (2n + 1)180°), waar n enige heelgetal is. 'n Ander interessante feit oor die afstip van punte in poolkoördinate is dat indien die r-koördinaat van 'n punt 0 is, sal die punt by die pool geleë wees, ongeag van die θ-koördinaat.
Gebruik van radiaalmeting Hoeke in poolnotasie word gewoonlik in of grade of radiale uitgedruk waar 2 rad = 360°. Die keuse hang hoofsaaklik van die konteks af. Navigasietoepassings gebruik grade terwyl sommige fisikatoepassings (spesifiek rotasie-meganika) radiaalmetings gebruik, gegrond op die verhouding van die radius van 'n sirkel tot die omtrek daarvan.
Omskakeling tussen pool- en Cartesiese koördinate duimnael|regs|250px|Diagram wat die verhouding tussen Cartesiese en poolkoördinate aandui
Die twee poolkoördinate r en θ kan na Cartesiese koördinate en omgeskakel word deur die trigonometriese funksies:
terwyl die twee Cartesiese koördinate en na die poolkoördinate omgeskakel kan word deur (deur eenvoudig Pythagoras se stelling toe te pas).
om die hoek koördinaat θ te bepaal moet die volgende twee gedagtes oorweeg word: Vir = 0, kan θ gestel word na enige reële waarde. Vir ≠ 0, om 'n unieke voorstelling vir θ te verkry, moet dit beperk word tot 'n interval met grootte 2π. Konvensionele keuses vir so 'n interval is [0, 2π) en (−π, π].
Om θ in die interval [0, 2π) te verkry word die volgende gebruik ( of boogtan dui die inverse van die tangens funksie aan):
Om θ in die interval (−π, π] te verkry kan die volgende gebruik word:
'n Mens kan dit vermy om tred te hou met teller en noemer deur die atan2 funksie te gebruik wat aparte argumente vir die teller en noemer is.
Poolvergelykings Die vergelyking van 'n algebraïese kromme uitgedruk in poolkoördinate staan bekend as 'n poolvergelyking, en word gewoonlik geskryf met r as 'n funksie van θ.
Poolvergelykings kan verskillende grade van simmetrie vertoon. As r(-θ) = r(θ) sal die kurwe simmetries om die horisontale (0°/180°) straal wees; as r(π−θ) = r(θ) sal dit simmetries om die vertikale (90°/270°) straal wees; as r(θ−α) = r(θ) sal dit rotasioneel simmetries α° antikloksgewys om die pool wees. Sirkel duimnael|regs|'n Sirkel met die vergelyking r(θ) = 1. Die algemene vergelyking vir enige sirkel met 'n middelpunt by (r0, ) en radius a is
Dit kan op verskeie maniere vereenvoudig word om ooreen te kom met meer spesifieke gevalle, soos die vergelyking
vir 'n sirkel met 'n middelpunt by die pool en 'n radius a.
Lyn Radiale lyne (die wat deur die pool loop) word voorgestel deur die vergelyking , waar φ die hoogtehoek (elevasiehoek) van die lyn is; dit wil sê met m die helling van die lyn in die Cartesiese koördinatestelsel.
Enige lyn wat nie deur die pool gaan nie is reghoekig tot 'n radiale lyn. Die lyn wat die lyn θ = φ reghoekig kruis by die punt (r0,φ ) het die vergelyking .
Poolroos duimnael|regs|'n Poolroos met vergelyking r(θ) = 2 sin 4θ . 'n Poolroos is 'n beroemde wiskundige kromme wat soos 'n blom met kroonblare lyk, en wat slegs as 'n poolvergelyking uitgedruk kan word. Dit word beskryf deur die vergelykings of
As k 'n heelgetal is sal die vergelykings 'n k-blaar roos produseer as k onewe is, of 'n 2k-blaar roos as k ewe is. As k nie 'n heelgetal is nie word 'n skyf gevorm, aangesien die aantal blare ook nie 'n heelgetal is nie. Let daarop dat dit met die vergelykings onmoontlik is om 'n roos te maak met 2 meer as 'n veelvoud van 4 (2, 6, 10, ens.) blare. Die veranderlike a verteenwoordig die lengte van die blare van die roos.
Archimedesspiraal duimnael|regs|Een arm van die Archimedesspiraal met die vergelyking r(θ) = θ vir 0 < θ < 6. Die Archimedesspiraal is 'n beroemde spriraal wat deur Archimedes ontdek is wat ook slegs deur 'n poolvergelyking uitgedruk kan word. Dit word uitgedruk deur die vergelyking: .