Het driedeurenprobleem, soms naar het Engels Monty Hall-probleem genoemd, is een probleem uit de kansrekening en speltheorie dat vermoedelijk gebaseerd is op het eerder door Martin Gardner gepubliceerde probleem "De drie gevangenen". Het vraagstuk kan gezien worden als een paradox: er is geen logische tegenstrijdigheid, maar voor veel mensen gaat het resultaat in tegen hun intuïtie.
Achtergrond Het kreeg bekendheid door de Amerikaanse spelshow Let's Make a Deal met presentator Monty Hall; om die reden spreekt men in het Engels over het Monty Hall problem.
De formulering van het probleem, zoals het in september 1990 was gepubliceerd als ingezonden brief voor de rubriek Ask Marilyn van Marilyn vos Savant in het tijdschrift Parade luidt:
Stel je voor: je doet mee aan een spelshow en je mag kiezen uit drie deuren. Achter één deur staat een auto; achter de andere twee staan geiten. Je kiest deur nummer 1, en de presentator – die weet wat er achter de deuren zit – opent deur nummer 3. Daar blijkt een geit achter te zitten. Vervolgens vraagt hij of je wilt wisselen naar deur nummer 2. Moet je wisselen?
Vos Savant verduidelijkte dat de presentator in alle gevallen, dus zowel als de deelnemer de juiste deur kiest dan wel een verkeerde, een andere deur opent waarachter een geit staat en dat hij de deelnemer vervolgens altijd aanbiedt om van deur te wisselen. Belangrijk daarbij is dat de presentator weet achter welke deur de auto staat.
Door deze publicatie kreeg het probleem wereldwijd grote bekendheid. Eerder al, in 1975, was het probleem geformuleerd door Steve Selvin in een brief aan het tijdschrift The American Statistician van de American Statistical Association naar aanleiding van de spelshow Let's Make a Deal. In een volgende brief noemde Selvin het het Monty Hall problem.
Het driedeurenprobleem miniatuur|Het driedeurenprobleem In een quiz wordt een deelnemer geconfronteerd met drie gesloten deuren. Achter een van de deuren staat een auto (of een ander waardevol voorwerp), achter de andere twee een geit (of iets anders van 'weinig' waarde). De deelnemer mag een deur aanwijzen en krijgt als prijs datgene wat zich achter die deur bevindt. Als de deelnemer een deur heeft aangewezen, opent de presentator een van de andere deuren waarachter een geit staat. De presentator geeft de deelnemer daarna de mogelijkheid om te wisselen van gesloten deur, dus om in plaats van de eerst gekozen deur te kiezen voor de andere nog gesloten deur. Wat moet de deelnemer doen? Kan hij beter wisselen van deur, of maakt het niets uit? Is de kans op het winnen van de auto groter als de deelnemer van deur wisselt?
Uit analyse blijkt dat het voor de deelnemer interessant is om van deur te wisselen, omdat de kans verandert van naar . Velen vinden dit antwoord op het eerste gezicht tegenintuïtief en menen, omdat er nog twee mogelijkheden over zijn, dat de kansen tegen moeten zijn. Het is moeilijk in te zien dat er weliswaar twee mogelijkheden zijn, maar dat deze niet gelijke kansen hebben (door de kennis van de presentator). Daarom volgt hieronder een analyse waarin verschillende scenario's onder de loep worden genomen.
Analyse Als de gebeurtenis als eenmalig voor de betrokken deelnemer wordt beschouwd is het onduidelijk of men nog over kansen moet spreken. De aanname is dat de quiz wordt herhaald. Dan kan worden nagegaan hoe vaak een bepaalde situatie zich voordoet, wat vertaald wordt in kansen.
Het is steeds een vraag naar een voorwaardelijke kans, wat inhoudt dat de kans berekend moet worden binnen de mogelijkheden die er zijn nadat de deelnemer een deur heeft aangewezen en de presentator een deur heeft geopend waarachter een geit blijkt te staan.
Uitgangssituatie Er wordt uitgegaan van de situatie dat de deelnemer deur 1 gekozen heeft en deur 3 geopend is en een geit laat zien. De mogelijkheden die zich gegeven de uitgangssituatie kunnen voordoen worden bekeken. Ook wordt ervan uitgegaan dat de auto geheel willekeurig achter een van de deuren is geplaatst en de deelnemer onbekend is met de plaats van de auto. Vergelijkbare uitgangssituaties waarin de deelnemer een andere deur gekozen heeft en de presentator een andere deur heeft geopend, geven, onder verwisseling van de deuren, aanleiding tot een vergelijkbare analyse.
Presentator De uiteindelijke oplossing is sterk afhankelijk van de strategie van de presentator. Er wordt verondersteld dat de presentator altijd een van de deuren met een geit erachter opent. Dus: als achter de deuren 2 en 3 allebei een geit staat, de presentator willekeurig een van deze twee deuren uitkiest.
Oplossing De manier waarop het probleem geformuleerd is wordt door velen beschouwd als het standaard 'driedeurenprobleem'. De oplossing hiervan wordt geformuleerd ervan uitgaande dat de speler aanvankelijk deur 1 aanwijst. Wanneer de speler de mogelijkheid wordt geboden van keuze te wisselen, is een nieuwe situatie ontstaan waarin deur 3 geopend is. Om een goede beslissing te nemen berekent de speler in deze nieuwe situatie de kans dat de auto achter deur 2 staat. Deze kans is een voorwaardelijke kans.Morgan et al. 1991Gillman 1992Grinstead and Snell 2006:137 Als de auto achter deur 2 staat, zal de presentator altijd deur 3 openen; deze situatie doet zich voor met kans . Als de auto achter deur 1 staat, zal de presentator maar in de helft van de gevallen deur 3 openen; deze situatie doet zich voor met kans . De auto staat in de gegeven situatie dus twee keer zo vaak achter deur 2 als achter deur 1. Door van keuze te wisselen wint de speler dus in van de gevallen de auto.
Onderstaand is schematisch de gang van zaken weergegeven.
deelnemer kiest aanvankelijk deur 1 auto achter deur 1 auto achter deur 2 auto achter deur 3 x88px|De deelnemer kiest deur 1 en de auto zit erachter x88px|De deelnemer kiest deur 1 en de auto zit achter deur 2 x88px|De deelnemer kiest deur 1 en de auto zit achter deur 3 presentator opent een van de deuren met een geit presentator moet deur 3 openen presentator moet deur 2 openen x88px|De presentator opent de helft van de keren deur 2 als de speler deur 1 kiest en de auto daarachter zit x88px|De presentator opent de helft van de keren deur 3 als de speler deur 1 kiest en de auto daarachter zit x88px|De presentator moet deur 3 openen als de speler deur 1 kiest en de auto achter deur 2 zit x88px|De presentator moet deur 2 openen als de speler deur 1 kiest en de auto achter deur 3 zit kans kans kans kans dit geval heeft zich niet voorgedaan dit geval is een mogelijkheid dit geval is een mogelijkheid dit geval heeft zich niet voorgedaan wisselen levert een geit wisselen levert de auto wisselen levert in 2 van de 3 gevallen de auto Er kan geconcludeerd worden dat iemand in dezelfde situatie als de deelnemer, dus waarin aanvankelijk deur 1 gekozen is en de presentator deur 3 opende (waarachter een geit zat), bij wisselen een (voorwaardelijke) kans op winst heeft van .
Een equivalente oplossing vergelijkt de kansen op de twee mogelijke situaties, namelijk: deur 1 gekozen, deur 3 geopend en de auto achter deur 1 met deur 1 gekozen, deur 3 geopend en de auto achter deur 2. Onder de gebruikelijke veronderstellingen is de kans op de tweede mogelijkheid 2 keer zo groot als op de eerste, omdat in het eerste geval de presentator nog de keuze had tussen het openen van deur 2 of deur 3, en hij in het tweede geval alleen deur 3 kon openen.
Formele oplossing De hierboven geschetste oplossing wordt formeel als volgt beschreven, ervan uitgaande dat de kandidaat deur 1 gekozen heeft. Een analoge analyse geldt voor andere keuzen van deur. De gebeurtenissen die zich kunnen voordoen zijn: ('Auto') met de betekenis: de auto staat achter respectievelijk deur 1, 2 of 3 ('Quizmaster') met de betekenis: de presentator opent respectievelijk deur 1, 2 of 3,
en met kansen:
De voor de hand liggende strategie, waarin de kandidaat deur 1 had gekozen en de presentator vervolgens een deur met geit opent, waarbij hij als hij keuze heeft, willekeurig kiest, wordt bepaald door:
Als de kandidaat van keuze wisselt nadat deur 3 is geopend, wint hij de auto als deze achter deur 2 staat. De voorwaardelijke kans, gegeven dat deur 3 is geopend, op het winnen van de auto is volgens de formule van Bayes:
Oplossing met gebruik van symmetrie Met de keuze van deur 1 is de kans op de auto aanvankelijk . Door de strategie van de presentator wordt door het openen van deur 3 deze kans niet beïnvloed, want bewezen kan worden dat in de nieuwe situatie de (voorwaardelijke) kans op de auto ook is. Bijgevolg is in de nieuwe situatie de (voorwaardelijke) kans op de auto achter deur 2 gelijk aan .
Bewezen moet worden dat door het openen van deur 3 de voorwaardelijke kans dat de auto achter deur 1 staat ook is. Dit kan kort, op elegante wijze, door gebruik te maken van de aanwezige symmetrie.
De kans dat de auto achter deur 1 staat is . Dit is het (gewogen) gemiddelde van de voorwaardelijke kansen dat de auto achter deur 1 staat, voor elk van mogelijk geopende deuren door de presentator. Dat zou deur 2 of deur 3 kunnen zijn. Omdat verondersteld is dat de presentator met gelijke kansen een deur kiest om te openen als hij een keuze heeft, verandert er niets in het probleem als de deuren hernummerd worden. Daaruit volgt dat beide voorwaardelijke kansen aan elkaar gelijk zijn en dus gelijk aan de onvoorwaardelijke kans .
Vereenvoudigde uitleg Een eenvoudige redenering luidt als volgt. Als de quizkandidaat bij zijn keuze blijft, krijgt hij de auto als hij in het begin de deur met de auto had gekozen, en de kans daarop is . Wisselt hij van keuze, dan krijgt hij de auto als hij in het begin een deur met een geit had gekozen, en de kans daarop is . Deze kansen volgen uit het feit dat er willekeurig twee geiten en één auto achter de drie deuren worden verstopt.
Discussie vereenvoudigde uitleg Volgens enkele bronnenLeonard Gillman (1992) is deze redenering niet correct. De kandidaat krijgt de kans om te wisselen nadat hij een deur gekozen heeft (in de gegeven situatie is dit deur 1) en de quizmaster een deur met een geit (in de gegeven situatie deur 3) geopend heeft. Weliswaar is aanvankelijk de kans op de auto achter deur 1, maar nadat de kandidaat een deur heeft gekozen en de quizmaster een deur heeft geopend zijn de oorspronkelijke kansen niet meer geldig. Dat ziet men direct aan de nieuwe kans op de auto achter deur 3. Deze nieuwe kans is 0, terwijl de oorspronkelijke kans was. Het gaat er nu om de nieuwe kansen voor de deuren 1 en 2 te bepalen. Samen zijn ze 1, dus het is voldoende een van de twee te bepalen. Dan zal blijken dat de nieuwe kans voor deur 2 gelijk is aan , of alternatief dat de nieuwe kans voor deur 1 gelijk is aan , overigens dezelfde waarde als de oorspronkelijke kans. Men mag er echter niet zonder meer van uitgaan dat de nieuwe kans voor deur 1 dezelfde waarde heeft als de oude kans. Daarin ligt de door de bronnen gesignaleerde fout.
Waarom niet fifty-fifty? Veel mensen kunnen de oplossing nauwelijks geloven en menen dat na het openen van de deur met de geit, de overblijvende deuren gelijke kans hebben. Men dient echter te bedenken dat de deuren niet uitwisselbaar zijn. Ze onderscheiden zich doordat deur 1 aanvankelijk door de deelnemer is aangewezen en deur 2 door de presentator is dicht gelaten.
Het is anders voor iemand die na het openen van deur 3 de zaal binnenkomt en die van de voorgeschiedenis niet op de hoogte is (bij Vos Savant een groen mannetje uit een plotseling verschenen ruimteschip). Voor deze persoon is het wel om het even of hij wisselt van keuze of niet. Men moet daarbij natuurlijk wel bedenken dat bij herhaling, want daar gaat het om, zo'n persoon ook situaties tegenkomt waarin de deelnemer deur 2 heeft aangewezen.
Gemiddelde winstkansen