De stelling van Wilson is een wiskundige stelling die zegt dat dan en slechts dan een priemgetal is, als: .
De congruentie betekent hetzelfde dat door kan worden gedeeld.
De stelling werd voor het eerst geformuleerd door Ibn al-Haytham, ook bekend als Alhazen, maar is naar John Wilson genoemd. Wilson was een student van Edward Waring. Die formuleerde de stelling in 1770, maar noch hijzelf noch Wilson konden de stelling bewijzen. Lagrange gaf het eerste bewijs in 1771. Leibniz kende de stelling een eeuw eerder ook, maar publiceerde die niet.
Voor de notaties ! faculteit en ≡ congruent zie aldaar.
Bewijs Uit het ongerijmde: stel dat door is te delen en dat weer door een getal met is te delen. Omdat een van de getallen is, is door te delen. is ook door te delen, dus zou ook 1 door te delen zijn. Dit is in tegenspraak met de veronderstelling.
Omgekeerd Eerste bewijs Dit bewijs gebruikt dat voor een priemgetal het eindige lichaam of veld onder de vermenigvuldiging modulo een groep is. Dit betekent dat er voor ieder element een uniek invers element is zodanig dat . Als , dan is en omdat een priemgetal is, moet of .
Met andere woorden: 1 en zijn hun eigen inverse, maar ieder ander element van heeft een inverse verschillend van zichzelf. Als dus paarsgewijs alle elementen van met hun inverse bij elkaar genomen worden en allemaal met elkaar vermenigvuldigd, is het product modulo gelijk aan −1.
Voor is bijvoorbeeld
In het geval dat is de stelling eenvoudig te controleren.
Tweede bewijs Stel dat een priemgetal is groter dan 2. Beschouw de polynomen
en .
De constante term in is .
is een polynoom, waarvan de graad ten hoogste is, met dus ten hoogste nulpunten. Modulo geldt hetzelfde. Volgens de kleine stelling van Fermat is ieder van de getallen een nulpunt van . Dit is onmogelijk, tenzij , oftewel tenzij iedere coëfficiënt van door is te delen, dus de constante ook.
Samengestelde getallen Voor samengestelde getallen is:
,
kan anders gezegd door worden gedeeld.
Voor is:
In feite geldt als een priemdeler is van , zodat , de getallen 1, 2, ..., − 1 inclusief − 1 veelvouden mod van zijn. Daarom zal de macht van die een deler is de faculteit, ten minste − 1, zijn en de macht die deelt ten minste .
De vereiste ongelijkheid
is algemeen geldig, behalve voor de gevallen = 2 en = 4.
Algemene vorm van de stelling Een algemene vorm is voor ieder oneven priemgetal en voor ieder positief geheel getal kleiner dan :
wat met volledige inductie is te bewijzen.
Van Gauss is de volgende vorm van de stelling bekend:Oefening 1.22 in Voor verdwijnt het onderscheid tussen de twee gevallen.
waarin een oneven priemgetal is.
Voorbeeld De volgende tabel toont de waarden van van 2 tot 30, en . Als een priemgetal is, dan is de achtergrondkleur roze en als een samengesteld getal is, dan is de achtergrondkleur lichtgroen.
{| class="wikitable" style="text-align:right" |+ Tabel van rest modulo ! !! !! |- style="background-color:#FFC0CB" | 2 || 1 || 1 |- style="background-color:#FFC0CB" | 3 || 2 || 2 |- style="background-color:#98FB98" | 4 || 6 || 2 |- style="background-color:#FFC0CB" | 5 || 24 || 4 |- style="background-color:#98FB98" | 6 || 120 || 0 |- style="background-color:#FFC0CB" | 7 || 720 || 6 |- style="background-color:#98FB98" | 8 || 5040 || 0 |- style="background-color:#98FB98" | 9 || 40320 || 0 |- style="background-color:#98FB98" | 10 || 362880 || 0 |- style="background-color:#FFC0CB" | 11 || 3628800 || 10 |- style="background-color:#98FB98" | 12 || 39916800 || 0 |- style="background-color:#FFC0CB" | 13 || 479001600 || 12 |- style="background-color:#98FB98" | 14 || 6227020800 || 0 |- style="background-color:#98FB98" | 15 || 87178291200 || 0 |- style="background-color:#98FB98" | 16 || 1307674368000 || 0 |- style="background-color:#FFC0CB" | 17 || 20922789888000 || 16 |- style="background-color:#98FB98" | 18 || 355687428096000 || 0 |- style="background-color:#FFC0CB" | 19 || 6402373705728000 || 18 |- style="background-color:#98FB98" | 20 || 121645100408832000 || 0 |- style="background-color:#98FB98" | 21 || 2432902008176640000 || 0 |- style="background-color:#98FB98" | 22 || 51090942171709440000 || 0 |- style="background-color:#FFC0CB" | 23 || 1124000727777607680000 || 22 |- style="background-color:#98FB98" | 24 || 25852016738884976640000 || 0 |- style="background-color:#98FB98" | 25 || 620448401733239439360000 || 0 |- style="background-color:#98FB98" | 26 || 15511210043330985984000000 || 0 |- style="background-color:#98FB98" | 27 || 403291461126605635584000000 || 0 |- style="background-color:#98FB98" | 28 || 10888869450418352160768000000 || 0 |- style="background-color:#FFC0CB" | 29 || 304888344611713860501504000000 || 28 |- style="background-color:#98FB98" | 30 || 8841761993739701954543616000000 || 0
Categorie:Getaltheorie Wilson