In de meetkunde is het isoperimetrisch quotiënt een maat voor de relatie tussen de omsloten oppervlakte en de omtrek van vlakken, en het ingesloten volume en de oppervlakte van ruimtelijke figuren, dus een maat voor de relatie tussen de 'buitenkant' en het 'binnenste' van een vorm. De maat is voor gelijkvormige figuren gelijk. Het gaat er bij het isoperimetrisch probleem om bij een gegeven omtrek of oppervlakte de figuur met de grootste oppervlakte, respectievelijk het grootste volume te vinden. De cirkel is de vlakke, en de bol het lichaam die de oplossingen zijn. Daarom is het isoperimetrisch quotiënt zo gedefinieerd dat het voor deze figuren de waarde 1 heeft. Het isoperimetrisch quotiënt is voor alle figuren dus kleiner dan of gelijk aan 1. Dat wordt de isoperimetrische ongelijkheid genoemd.
Het begrip isoperimeter is van het Grieks afgeleid en betekent gelijke omhullende afmetingen.
Definitie Voor een vlakke figuur met oppervlakte en omtrek wordt het isoperimetrisch quotiënt gegeven door:
Dat betekent voor de cirkel dat
Voor een ruimtelijke figuur met inhoud en oppervlakte wordt het isoperimetrisch quotiënt gegeven door:
Dat wil voor een bol zeggen dat
Eigenschappen Isoperimetrische ongelijkheid: voor alle figuren en lichamen is . Van gelijkvormige figuren is het isoperimetrisch quotiënt gelijk, aangezien de machten van de voor de afmetingen van het lichaam bepalende factor tegen elkaar wegvallen. Voor de cirkel en de bol is .
Tabel In de onderstaande tabel staat voor een aantal ruimtelijke figuren het isoperimetrisch quotiënt, oplopend geordend. De genoemde, afnemende oppervlakten in bijvoorbeeld cm² behoren steeds bij een inhoud van 1000 cm³.
{| class="wikitable" !width="200px"|Ruimtelijke figuur||Oppervlakte bij een inhoud van 1000||width="70px"| |- | regelmatig viervlak | 721 | 0,302 |- | kegel met kegelvorm met het hoogste isoperimetrisch quotiënt | 609 | 0,5exact |- | kubus | 600 | 0,523 |- | regelmatig achtvlak | 572 | 0,605 |- | cilinder | 553 | 0,667 |- | regelmatig twaalfvlak | 531 | 0,755 |- | regelmatig twintigvlak | 515 | 0,829 |- | afgeknotte icosaëderDe afgeknotte icosaëder wordt veelvuldig in het leer of plastic uitgevoerd als voetbal. Waarom hiervoor niet een stompe dodecaëder wordt toegepast die meer de bol benadert, zal duidelijk zijn: een afgeknotte icosaëder bezit 32 vlakken en een stompe dodecaëder bestaat uit 92 vlakken, en is daardoor ingewikkelder. | 500niet exact 500, met een extra decimaal wordt het 500,3 | 0,903 |- | stompe dodecaëder | 492 | 0,947 |- | bol | 484 | 1
Verhouding tussen oppervlak en omtrek bij regelmatige veelhoeken Regelmatige veelhoeken zijn tweedimensionale meetkundige figuren, die uit een eindig aantal lijnstukken bestaan, die alle dezelfde lengte hebben. Voorbeelden hiervan zijn: de gelijkzijdige driehoek het vierkant de regelmatige vijfhoek de regelmatige zeshoek
In onderstaande tabel staat de isoperimetrische ongelijkheid voor een aantal regelmatige veelhoeken met oplopende IQ en kleiner wordende omtrek O. Voor de omtrek O in bijvoorbeeld cm wordt uitgegaan van een oppervlak A van 1000 cm2.
{| class="wikitable" ! Regelmatige veelhoek ! Omtrek bij een oppervlakte van 1000 ! IQ |- | driehoek | 144 | 0,605 |- | vierkant | 127 | 0,785 |- | vijfhoek | 121 | 0,865 |- | zeshoek | 118 | 0,907 |- | achthoek | 115 | 0,948 |- | tienhoek | 114 | 0,967 |- | twaalfhoek |113 |0,977 |- | zeventienhoek | 112,75 | 0,988 |- | vierentwintighoek | 112,42 | 0,994 |- | cirkel | 112 | 1
Proclus, een Grieks neoplatonisch filosoof en wiskundige, zei over de cirkel het volgende: De cirkel is de eerste, de eenvoudigste en de meest volmaakte figuur. Dante Alighieri zei later over de cirkel: Lo cerchio è perfetissima figura, De cirkel is de meest volmaakte figuur.
Categorie:Meetkunde