Een pisotgetal of pisot-vijayaraghavan-getal is een positief algebraïsch geheel getal , groter dan 1, waarvan de absolute waarden van alle geconjugeerde elementen kleiner zijn dan 1. Dit zijn alle andere wortels van de minimale polynoom van . Anders gezegd: alle geconjugeerde elementen van liggen binnen de eenheidscirkel.
Er zijn oneindig veel pisotgetallen. De verzameling van alle pisotgetallen wordt traditioneel aangeduid als .
Pisotgetallen zijn genoemd naar de Franse wiskundige Charles Pisot (1910-1984), die deze getallen in 1938 in zijn proefschrift en later verder heeft onderzocht, evenals de Indiër Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902-1955). Raphaël Salem heeft de naam pisotgetal in 1943 bedacht. Pisot was niet de eerste ontdekker van de getallen. Axel Thue en later Godfrey Harold Hardy hadden er al bij hun studie over diofantische benaderingen nagedacht.
Indien minstens een geconjugeerd element van gelijk is aan 1 en de andere kleiner dan 1, dan is een salemgetal. De verzameling van salemgetallen wordt als aangeduid.
Voorbeelden Elk geheel getal groter dan 1 is een pisotgetal. Een rationaal getal dat niet geheel is, is nooit een pisotgetal. Elke positieve wortel van de algebraïsche vergelijking ,voor is een pisotgetal. De twee kleinste pisotgetallen zijn: , dit is het plastische getal, de reële wortel van , en , de positieve reële wortel van . De gulden snede is een pisotgetal, evenals . Hun minimale polynomen zijn en .
David Boyd heeft een algoritme ontwikkeld, dat alle pisotgetallen in een gegeven eindig interval van de reële lijn vindt. Pisot and Salem Numbers in Intervals of the Real Line, oktober 1978. in Mathematic of Computation 32, 144, blz 1244-1260
Eigenschappen Een kenmerk van de niet-gehele pisotgetallen is dat de hogere machten ervan steeds dichter een geheel getal benaderen. Het zijn bijna-gehele getallen. Hoe hoger de macht van een pisotgetal , hoe dichter die bij een geheel getal ligt:
is de afstand van tot het meest nabije gehele getal. Voor de gulden snede bijvoorbeeld: enzovoort
Als een reëel algebraïsch getal is, dan is een pisotgetal dan en slechts dan als er een getal bestaat zodanig dat:
Het getal van de gulden snede is het kleinste ophopingspunt in de verzameling van pisotgetallen. Vijayaraghavan heeft bewezen dat er oneindig veel ophopingspunten zijn in . Salem bewees dat de verzameling van pisotgetallen al haar ophopingspunten bevat, dus dat het een gesloten verzameling is. Salem bewees ook dat elk pisotgetal de limiet is van een dalende en een oplopende rij van salemgetallen.
Een pisotgetal is een bijzonder of speciaal pisotgetal indien ook een pisotgetal is. Lagarias, Porta en Stolarsky (1993-1994) vonden elf dergelijke getallen. C. J. Smyth bewees nadien dat er geen andere bijzondere pisotgetallen zijn.. There are Only Eleven Special Pisot Numbers, 1999. in Bulletin of the London Mathematical Society 31, 1, blz 1-5 De twee kleinste bijzondere pisotgetallen zijn de gulden snede en het getal 2.
Toepassingen Pisot- en salemgetallen komen voor in uiteenlopende studiegebieden, waaronder: "Constructions of Pisot and Salem numbers with flat palindromes." Getaltheorie met de diofantische benadering Harmonische analyse, bijvoorbeeld Bernoulli-convoluties Wiskundige natuurkunde met quasikristallen en aperiodieke structuren Fractale meetkunde, zoals bij de constructie van pisotgrafen, dat zijn zelfgelijkvormige grafen, betegelingen van het complexe vlak. A Note on a Self-Similar Tiling Generated by the Minimal Pisot Number, september 2002. in Fractals 10, 3, blz 335 en de studie van hausdorff-dimensies
Categorie:Getal