De laplacetransformatie, genoemd naar Pierre-Simon Laplace, is een wiskundige techniek die wordt gebruikt voor het oplossen van lineaire integraal- en differentiaalvergelijkingen. In de elektrotechniek en regeltechniek is de laplacetransformatie een zeer nuttig gereedschap bij het doorrekenen van in- en uitschakelverschijnselen, oftewel niet-stationaire verschijnselen. De laplacetransformatie is een belangrijk voorbeeld van een integraaltransformatie.
Definitie Stel is een complexwaardige functie van de reële variabele , gedefinieerd voor . Onder de laplacegetransformeerde van verstaat men de functie , gedefinieerd voor complexe door: , mits de integraal bestaat.
Omdat in veel toepassingen een functie van de tijd is, wordt wel de tijdfunctie genoemd. De laplacegetransformeerde heet wel de beeldfunctie.
Notatie Voor de eenvoud van notatie schrijft men hier en in het vervolg soms: in plaats van om duidelijk te kunnen aangeven welke functie bedoeld wordt.
Causale functies De integratie wordt soms ook gerekend vanaf in plaats van 0. Er wordt dan stilzwijgend aangenomen dat causaal is, wat inhoudt dat voor . kan dan worden opgevat als een tijdsafhankelijke respons op een excitatie-functie die ook gelijk is aan nul voor .
Convergentie De laplacegetransformeerde is niet altijd convergent (en dus niet altijd gedefinieerd): de laplacegetransformeerde van bestaat voor een bepaalde waarde van het complexe getal als bovenstaande integraal convergeert voor deze waarde. Als de integraal convergeert voor een reëel getal , convergeert hij voor alle complexe getallen met . Het kleinste reële getal waarvoor de integraal convergeert voor alle met (indien dit bestaat) heet de convergentieabscis.
De laplacegetransformeerden van en zijn reële deel zijn bijvoorbeeld niet convergent voor zuiver imaginaire .
Voor de bruikbaarheid van de laplacetransformatie hoeft deze niet voor alle te bestaan. De inverse transformatie biedt bijvoorbeeld keuzemogelijkheden wat betreft het integratiepad, zie hieronder.
De onderstaande formule
geldt bijvoorbeeld voor .
Inverse De inverse laplacetransformatie kan via een complexe integraal gevonden worden. Voor is , mits in het oneindig naar 0 gaat ten minste zo snel als . is het grootste reële deel van de singulariteiten van , zodat het integratiepad binnen het convergentiegebied van ligt, en de integraal voor niet van afhangt.
Vaak echter wordt de laplacegetransformeerde geschreven als een lineaire combinatie van laplacegetransformeerden van bekende functies. De oorspronkelijke functie is dan dezelfde lineaire combinatie van de betrokken bekende functies.
Als de laplacegetransformeerde een rationele functie is, kan deze door breuksplitsen geschreven worden als een som van bekende laplacegetransformeerden. Het eenvoudigste geval is dat waarbij de noemer geen complexe of meervoudige nulpunten heeft. De getransformeerde kan dan, met de reële nulpunten van de noemer, geschreven worden als: ,
zodat de gezochte inverse functie gevonden wordt als:
Voorbeeld De getransformeerde van de functie is gelijk aan
De nulpunten van de noemer zijn verschillend en reëel; breuksplitsing levert:
De originele functie is dus: , voor
Eigenschappen De volgende eigenschappen kunnen aangetoond worden (na substituties, merk op dat hierbij de integratiegrenzen niet aangepast dienen te worden):
Lineariteit
Verschuiving in het tijd-domein
waarbij indien , voor op 0 gesteld wordt, en bij voorwaarde is dat voor (het verschuiven voegt niet binnen het domein vanaf 0 een stuk functie dat niet nul is toe, en laat ook niet een stuk functie dat niet nul is daaruit verdwijnen)
Verschuiving in het laplace-domein
Schaling in het tijd-domein
Getransformeerde van de afgeleide
Indien niet continu is in , dan is
Als niet continu is in , is
Algemeen voor hogere afgeleiden
Getransformeerde van de primitieve
Getransformeerde van
Getransformeerde van
Periodieke functies ()
Beginwaardestelling
Eindwaardestelling
Gedrag voor naar oneindig
Convolutiestelling (de Formule van Borel)
Verband met andere transformaties Fouriertransformatie De continue fouriertransformatie is equivalent met de tweezijdige laplace-integraal, indien als argument genomen wordt:
Met Z-transformatie Laplacegetransformeerden van enkele functies
waarbij Γ staat voor de gammafunctie waarbij
waarbij staat voor de constante van Euler.
Laplacegetransformeerden van speciale functies Besselfuncties:
Errorfuncties:
Sinus-, cosinus- en exponentiële integraal:
Stapfunctie:
Dirac-deltafunctie:
Entierfunctie:
met de entierfunctie, dus het grootste gehele getal dat kleiner of gelijk is aan .
Verband met differentiaalvergelijkingen Nemen we de volgende lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten als voorbeeld ( is een bekende functie): , we transformeren de beide leden, waarbij alle beginvoorwaarden nul worden gekozen (de zogenaamde nultoestand, of zero state): ,
waaruit volgt:
hierbij is de overdrachtsfunctie. Aangezien een bekende functie is, is ook zijn laplacegetransformeerde bekend, en daarmee ook de getransformeerde van , . We berekenen de inverse van , en vinden de gezochte oplossing .
Maar ook indien de beginvoorwaarden niet nul zijn kan een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten via de laplacetransformatie worden opgelost. Voorbeeld:
met als beginvoorwaarde: .
De laplacetransformatie levert:
Door hieruit af te zonderen, en vervolgens de inverse laplacetransformatie te nemen vindt men de oplossing :
Zie ook Inverse laplacetransformatie Fouriertransformatie
Categorie:Functionaalanalyse