Polynoom

thumb|Grafiek van het polynoom

In de wiskunde is een polynoom of veelterm in één variabele of onbekende een uitdrukking van de vorm: ,

waarin een natuurlijk getal is en elementen zijn van een lichaam/veld.

Een polynoom is dus een uitdrukking waarin maar twee basisbewerkingen van de rekenkunde een eindig aantal keer voorkomen, namelijk de optelling en de vermenigvuldiging.

Terminologie Coëfficiënten De getallen heten de coëfficiënten van het polynoom.

Eenterm De uitdrukkingen zijn de eentermen van het polynoom of veelterm.

Graad De hoogste voorkomende macht van de variabele, dus met coëfficiënt , heet de graad van het polynoom. Een polynoom van de graad wordt een -de-graadspolynoom genoemd. Polynomen van de graad 1 heten lineair en van de graad 2 kwadratisch. De lineaire polynomen zijn functies met als grafiek een lijn, de tweedegraadspolynomen zijn functies met een parabool als grafiek. In specifieke vakgebieden wordt quartic polynoom voor de graad vier en quintic polynoom voor de graad vijf gebruikt.

Monisch polynoom Een polynoom waarvan de coëfficiënt van de hoogste macht van gelijk is aan 1 wordt monisch genoemd. Een monisch polynoom kan worden geschreven in de vorm:

Nulpolynoom Het polynoom , dus het polynoom zonder een enkele eenterm, heet het nulpolynoom. De graad van het nulpolynoom is onbepaald.

Algemeen Polynomen komen in veel gebieden van wiskunde en wetenschap voor. Ze worden bijvoorbeeld gebruikt om er vergelijkingen mee te vormen, die een breed scala aan problemen tot de kern terugbrengen, van elementaire woordproblemen tot gecompliceerde wetenschappelijke problemen. Polynomen komen in verschillende takken van wetenschap voor, variërend van de scheikunde en natuurkunde tot economie en sociale wetenschappen. Het zijn relatief eenvoudige gladde functies, wat wil zeggen dat zij continu en willekeurig vaak differentieerbaar zijn. Zij worden onder meer als benadering voor ingewikkelder functies gebruikt, zoals in de differentiaalrekening en de numerieke wiskunde. Polynomen worden in de hogere wiskunde gebruikt om polynoomringen en algebraïsche variëteiten mee te construeren, wat ze tot een van de centrale begrippen binnen de algebra en de algebraïsche meetkunde maakt.

Polynomen met complexe coëfficiënten komen bijvoorbeeld voor bij de oplossing van differentiaalvergelijkingen door fouriertransformatie of laplacetransformatie. Dit heeft praktische toepassingen in de elektrotechniek, regeltechniek, communicatietechniek en de kwantummechanica.

Etymologie Het woord polynoom komt van het Latijnse polynomium, dat is gevormd van het Griekse πολυς, polys, dat veel betekent, en het Latijnse nomen, naam, zelf weer afkomstig van het Griekse ὄνομα, onoma.. Vreemde woorden in de wiskunde, 1948. Groningen, P. Noordhoff N.V. Het is vermoedelijk gevormd naar binomium, een vertaling van ἔκ δὐο ὄνομάτων, ek duo onomátoon, uit Boek X van de Elementen van Euclides dat kan worden vertaald als: uit twee termen (bestaande). Het woord 'polynoom' werd door Vieta gebruikt in zijn Isagoge (1591) als polynomia magnitudo voor een grootheid met meer termen.

Coëfficiënten De coëfficiënten zijn elementen van een ring of lichaam/veld , zoals de natuurlijke, gehele, rationale , reële en de complexe getallen zijn. Men spreekt dan van polynomen over , , , , of .

Als de coëfficiënten van het polynoom uit een van deze voorbeeldverzamelingen worden gekozen en de variabele uit , is de polynomiale functie een holomorfe functie.

Het is ook mogelijk de coëfficiënten en de variabele uit een eindig lichaam / veld te kiezen, genoteerd met of . Het aantal elementen in het eindige lichaam/veld is een priemgetal of de macht van een priemgetal.

De verzameling polynomen die bij een bepaald soort coëfficiënten hoort is een ring, veeltermring genoemd.

De verzameling van alle polynomen met reële coëfficiënten wordt genoteerd met . De deelverzameling van alle polynomen van graad , samen met het nulpolynoom, wordt genoteerd met . Beide verzamelingen vormen een reële vectorruimte. De coëfficiënten kunnen als coördinaten optreden. De basisvectoren zijn dan de machten van . De ruimte is -dimensionaal.

Vergelijkingen Wordt het polynoom gelijkgesteld aan 0, dan ontstaat de vergelijking . De graad van de vergelijking is de graad van het polynoom. Een vierkantsvergelijking is een tweedegraadsvergelijking. Derdegraadsvergelijkingen, vierdegraadsvergelijkingen, vijfdegraadsvergelijkingen en zesdegraadsvergelijkingen hebben voldoende speciale eigenschappen om ze afzonderlijk te bestuderen. De wortelformule wordt gebruikt bij het oplossen van een vierkantsvergelijking.

Classificatie De graad van een term is de som van de exponenten van de onbepaalden in die term, en de graad van een polynoom is de hoogste graad van de termen met een coëfficiënt ongelijk aan nul. Een polynoom van de graad is een -degraadspolynoom.

Een polynoom zonder variabele, die alleen uit een constante ongelijk aan 0 bestaat, heet een constant polynoom. De graad van een constant polynoom is 0.

De volgende uitdrukking bijvoorbeeld is een eenterm:

De coëfficiënt is −5 , de variabelen zijn en . De exponent van is twee en de exponent van een, zodat de graad van de hele eenterm gelijk is aan .

Veeltermen van graad een, twee of drie worden lineaire, kwadratische en kubische veeltermen genoemd. Voor hogere graden worden de specifieke namen in het algemeen niet gebruikt. De namen voor de graden kunnen worden toegepast op het polynoom of op de eentermen ervan. De eenterm in is bijvoorbeeld een lineaire term in een kwadratisch polynoom.

Van het nulpolynoom wordt aangenomen dat hij helemaal geen termen heeft. In tegenstelling tot constante polynomen, is de graad niet nul. In plaats daarvan wordt de graad van het nulpolynoom ofwel expliciet ongedefinieerd gelaten of als negatief gedefinieerd, of . Het nulpolynoom is ook uniek, omdat het het enige polynoom is met een oneindig aantal wortels. De grafiek van het nulpolynoom is de -as.

Een echt polynoom is een polynoom met echte coëfficiënten. Wanneer het polynoom wordt gebruikt om een functie te definiëren, is het domein niet zo beperkt. Een echte polynoomfunctie is echter een functie van de reële getallen naar de reële getallen die wordt gedefinieerd door een echt polynoom. Evenzo is een integerpolynoom een polynoom met gehele coëfficiënten, en een complex polynoom is een polynoom met complexe coëfficiënten.

Nulpunten Volgens de hoofdstelling van de algebra is een polynoom vastgelegd door zijn nulpunten, dat mogen complexe nulpunten zijn, en een constante: ,

waarin de getallen de nulpunten zijn van het polynoom. Zijn hierin verschillende aan elkaar gelijk, dan zijn dit meervoudige nulpunten van .

Omgekeerd zijn die nulpunten de oplossingen van de vergelijking die ontstaat door het polynoom gelijk aan nul te stellen. Zo ontstaat een algebraïsche vergelijking met één onbekende van de volgende vorm:

Hierin is elke een constante die de -de graads coëfficiënt wordt genoemd. De graad van het polynoom, dit is de grootste waarde van waarvoor geldt dat , wordt ook de graad van de vergelijking genoemd.

Een speciaal geval vormen de polynomen met gehele coëfficiënten. Een nulpunt van zo'n polynoom wordt een algebraïsch getal genoemd. Een getal dat niet algebraïsch is, maar wel reëel, heet een transcendent getal.

De getallen zijn de nulpunten van het polynoom, of de wortels van de bijbehorende algebraïsche vergelijking. Het aantal keren dat de betrokken factor in de ontbinding voorkomt, heet de multipliciteit van het nulpunt, en het aantal nulpunten van een veelterm is, als elk nulpunt even vaak wordt meegeteld als zijn multipliciteit, dus gelijk aan de graad.

Voor reële polynomen geldt, net als voor complexe polynomen, dat zij complexe nulpunten hebben. Ieder reële polynoom van oneven graad heeft ten minste één reëel nulpunt en de niet-reële, de complexe nulpunten komen steeds in complex geconjugeerde paren voor. Er is geen algoritme waarmee voor willekeurige polynomen van een graad groter dan 4 de nulpunten met wortels uit getallen kunnen worden geschreven.

Bijvoorbeeld

De drie nulpunten van zijn en .

Ontbinden in factoren Net zoals dat ieder positieve gehele getal in priemfactoren kan worden ontbinden, is dat ook voor een polynoom mogelijk. Polynomen kunnen ook in factoren worden ontbonden, dus als het product van andere polynomen worden geschreven, waarvan de graad lager is dan van het eerste polynoom. Het hangt er daarbij vanaf over welk domein de polynomen zijn gedefinieerd.

Volgens de hoofdstelling van de algebra kan ieder polynoom in één variabele , met ,

worden geschreven als: ,

maar in het algemene geval liggen alle hier in het complexe vlak.

Een factor van een polynoom is een polynoom , waarvan de graad lager is dan die van , maar ten minste één is, zodat door kan worden gedeeld en de coëfficiënten van en in hetzelfde domein liggen. Dat is dus anders dan in de hoofdstelling van de algebra wordt bedoeld, omdat het domein waar de coëfficiënten van een polynoom in liggen over het algemeen het domein van de gehele getallen is. Net zoals dat er priemgetallen zijn, zijn er polynomen, die niet verder in factoren kunnen worden ontbonden. Polynomen waarvoor dit het geval is, worden irreducibel genoemd. Wordt nog vereist dat de coëfficiënt van het polynoom zelf en van alle factoren ervan gelijk aan 1 is, dan kan een polynoom op één bepaalde manier in irreducibele factoren worden ontbonden.

Wanneer een polynoom in irreducible factoren kan worden ontbonden, is de graad van gelijk aan de som van de graad van de factoren . De som-product-methode is het eerste voorbeeld van een methode om een polynoom in factoren te ontbinden.

Criterium van Eisenstein Het criterium van Eisenstein geeft er een voldoende voorwaarde voor, dat een polynoom met gehele coëfficienten irreducibel is. Een polynoom dat aan het criterium voldoet, is irreducibel over de rationale getallen, en daarmee ook over de gehele getallen.

Voorbeeld

Het eerste polynoom is irreducibel, omdat het een polynoom van de tweede graad is en de discriminant ervan -15, en het tweede polynoom is irreducibel vanwege het criterium van Eisenstein.

Symmetrische functies De coëfficiënten van een polynoom kunnen uitgedrukt worden in de wortels van het polynoom. Het functionele verband tussen een coëfficiënt en de wortels van een -de-graadspolynoom is op het teken na een elementair symmetrisch polynoom in de wortels van .

Voorbeeld Voor een derdegraadspolynoom met wortels geldt:

De coëfficiënten zijn:

Elk is op het teken na een elementair symmetrisch polynoom in de wortels .

Afgeleide Differentiëren van een polynoom verlaagt de graad van het polynoom met 1. Bijvoorbeeld differentiëren van van de graad 3 geeft de afgeleide van de graad 2.

Volgens de stelling van Marden zijn de nulpunten van de afgeleide van een derdegraads polynoom in , waarvan de nulpunten niet op één lijn liggen, gelijk aan de brandpunten van Steiners ingeschreven ellips van de driehoek die door die nulpunten wordt gevormd. De coëfficiënten van het polynoom mogen hierin complex worden genomen.

Deling van polynomen In het algemeen kan een polynoom gedeeld worden door een polynoom waarvan de graad lager is dan die van . De rest bij deling is een polynoom , of 0 wanneer precies door is te delen. Algemeen geldt:

,

waarin het polynoom het quotiëntpolynoom is.

De daadwerkelijke deling van een polynoom door een ander polynoom van lagere, of eventueel gelijke graad, kan door staartdelen.

Als de graad van is en de graad van , geldt dat de graad van gelijk is aan en de graad van ten hoogste gelijk is aan . In het geval dat , gaat de deling precies op, en is het product van en . Voor de graden geldt , met de graad van .

Voorbeeld x+1 / 4x³+5x²+3x+2 \ 4x²+x+2 4x³+4x² ——————— x²+3x+2 x²+ x ——————— 2x+2 2x+2 ———— 0 Dus is .

Factor- en reststelling