Kwantumveldtheorie is een onderdeel van de moderne natuurkunde. Het is een theoretisch kader voor de constructie van kwantummechanische modellen van veldachtige systemen en min of meer equivalente veeldeeltjessystemen. De meeste theorieën in de moderne deeltjesfysica zijn geformuleerd als relativistische kwantumveldtheorieën. In de vastestoffysica worden kwantumveldtheorieën in heel wat situaties gebruikt, vooral dan wanneer het aantal deeltjes kan variëren — bijvoorbeeld in de BCS-theorie van supergeleiding. In de deeltjesfysica vormen kwantumvelden de basis voor zowel virtuele als reele deeltjes. Het Standaard Model van de Deeltjesfysica is volledig opgebouwd uit kwantumveldtheorieën.
Geschiedenis De kwantumveldtheorie is in de jaren 1920 ontstaan, toen werd geprobeerd een kwantummechanische theorie van het elektromagnetische veld op te stellen. In 1926 construeerden Max Born, Pascual Jordan en Werner Heisenberg zulk een theorie door de interne vrijheidsgraden van het veld uit te drukken in een oneindige verzameling van harmonische oscillatoren. Vervolgens hebben zij daar een canonieke kwantisatie op toegepast. Deze theorie veronderstelde de afwezigheid van elektrische ladingen of stromen en ze zou vandaag worden geklasseerd als een "vrije" veldentheorie, d.i. een theorie waarin geen interacties in de zin van onderlinge krachten aanwezig zijn. De eerste theorie van de kwantumelektrodynamica, die zowel elektromagnetische velden als elektrisch geladen materie, namelijk elektronen, bevatte, werd in 1927 door Paul Dirac opgesteld. Deze kwantumveldtheorie kon voor de modellering van belangrijke processen worden gebruikt, zoals de uitstraling van een foton door een elektron wanneer dit naar een kwantumtoestand met lagere energie valt, een proces waarin het aantal deeltjes verandert: een atoom in de oorspronkelijke toestand wordt een atoom plus een foton in de uiteindelijke toestand. Sindsdien is duidelijk geworden dat de mogelijkheid zulke fenomenen te beschrijven een van de belangrijkste kenmerken is van een kwantumveldtheorie.
Vanaf het begin was het duidelijk dat een correcte behandeling van het elektromagnetische veld op de een of andere manier Einsteins relativiteitstheorie moest bevatten, aangezien deze theorie uit de studie van het klassieke elektromagnetisme was voortgekomen. Relativiteit en kwantummechanica samenvoegen was de tweede grote drijfveer achter de ontwikkeling van de kwantumveldtheorie. Jordan en Pauli toonden in 1928 aan dat het mogelijk was om kwantumvelden bij coördinatentransformaties het gedrag op te leggen dat door de speciale relativiteitstheorie wordt voorspeld. Specifiek toonden ze aan dat commutatoren van velden lorentzinvariant zijn. In 1933 toonden Bohr en Rosenfeld aan dat dit resultaat kan worden geïnterpreteerd als een beperking op het meten van velden, die door een ruimteachtig interval van elkaar worden gescheiden, dat volgens de relativiteitstheorie noodzakelijk is. De evolutie van de kwantumveldtheorie maakte een volgende grote stap door de ontdekking van de Diracvergelijking, een eendeeltjesvergelijking die aan de wetten van zowel de kwantummechanica als de (speciale) relativiteit voldoet. Het werd aangetoond dat sommige van de minder gewenste eigenschappen, zoals toestanden met negatieve energie, geen probleem meer vormden bij een herformulering als een kwantumveldtheorie. Dit werk werd verricht door Furry, Oppenheimer, Fock en anderen.
De derde fase in de ontwikkeling van de kwantumveldtheorie bestond uit de consistente en eenvoudige behandeling van de statistische mechanica van veeldeeltjessystemen. In 1927 trachtte Jordan de canonieke kwantisatie van velden uit te breiden naar de golffunctie van een systeem van veel identieke deeltjes. Deze procedure wordt soms 'tweede kwantisatie' genoemd. Voor fermionen geldt het uitsluitingsprincipe van Pauli. In 1928 vonden Jordan en Wigner dat de kwantumvelden die elektronen of andere fermionen beschrijven, vanwege het uitsluitingsprincipe ontwikkeld moeten worden met anticommuterende creatie- en annihilatieoperatoren. Deze nieuwe ontwikkeling werd opgenomen in de veeldeeltjestheorie en oefende een grote invloed uit op de vastestoffysica en de kernfysica.
Ondanks haar eerste successen werd de kwantumveldtheorie geplaagd door enkele ernstige theoretische moeilijkheden. Veel schijnbaar onschuldige fysische grootheden, zoals de energieverschuiving van elektrontoestanden in aanwezigheid van een elektromagnetisch veld, leverden oneindigheden wanneer ze werden berekend met de kwantumveldtheorie; dat leek een onzinnig resultaat. Dit divergentieprobleem is in de jaren 1940 door Bethe, Tomonaga, Schwinger, Feynman en Dyson opgelost, door een procedure in te voeren, de renormalisatie. Deze ontwikkeling vond haar hoogtepunt in de constructie van de moderne theorie van kwantumelektrodynamica (QED). In het begin van de jaren 1950 werd de QED door het werk van Yang en Mills uitgebreid naar een klasse van kwantumveldtheorieën bekend als ijktheorieën. In ijktheorieën kunnen de voorkomende oneindigheden tegen elkaar worden weggestreept. In de jaren 1960 en '70 werd een ijktheorie geformuleerd die nu bekendstaat als het standaardmodel van de deeltjesfysica. Dit model beschrijft alle bekende elementaire deeltjes en de interacties ertussen. Het deel van het standaardmodel over de zwakke wisselwerking werd door Glashow geformuleerd, het higgsmechanisme werd door Weinberg en Salam toegevoegd. 't Hooft en Veltman hebben bewezen, dat de theorie consistent is.
Nog tijdens de jaren 1970 leidden parallelle ontwikkelingen in de studie van faseovergangen in de vastestoffysica, met Kadanoff, Fisher en Wilson, voortbouwend op werk van Stueckelberg, Peterman, Gell-Mann en Low, tot een nieuwe kijk en nieuwe methoden. Ze gaven een beter fysisch inzicht in de procedure van renormalisatie die in de jaren 1940 was uitgevonden. De ingevoerde renormalisatiegroep gaf aanleiding tot wat de "grote synthese" van de theoretische natuurkunde werd genoemd: de kwantumveldtheoretische technieken gebruikt in deeltjesfysica en in vastestoffysica werden in een enkel theoretisch kader verenigd.
De studie van kwantumveldtheorieën is volop in ontwikkeling en er zijn veel toepassingen van haar methodes op fysische problemen. Ze blijft een van de meest bloeiende takken van de theoretische natuurkunde.
Principes van de kwantumveldtheorie Klassieke velden en kwantumvelden De kwantummechanica is, in haar meest algemene formulering, een theorie van abstracte operatoren, de 'observabelen' of 'waarneembare grootheden', die inwerken op een abstracte toestandsruimte (die een hilbertruimte is). De observabelen stellen fysisch waarneembare grootheden voor en de toestandsruimte bevat alle mogelijke toestanden van het systeem onder beschouwing. Elke observabele komt overeen met het klassieke idee van een vrijheidsgraad. Zo zijn, bijvoorbeeld, de fundamentele observabelen geassocieerd met de beweging van een enkel kwantumdeeltje de positie- en de impulsoperatoren en . De gewone kwantummechanica handelt over zulke systemen, die een beperkt aantal vrijheidsgraden bezitten.
(Op dit punt is het belangrijk op te merken dat dit artikel het woord "deeltje" niet gebruikt in de context van de dualiteit van golven en deeltjes. In kwantumveldtheorie is het begrip "deeltje" een generieke benaming voor alle discrete kwantummechanische entiteiten, zoals een elektron, die zich onder verschillende experimentele regimes kunnen gedragen als klassieke deeltjes of golven.)
Een kwantumveld is een kwantummechanisch systeem dat een groot, mogelijk oneindig groot, aantal vrijheidsgraden bevat. Dit is niet zo exotisch als het zou lijken. Een klassiek veld bezit een verzameling vrijheidsgraden in elk punt van de ruimte. Het klassieke elektromagnetisch veld bestaat bijvoorbeeld uit twee vectoren — het elektrische veld en het magnetische veld — die in principe verschillende waarden kunnen aannemen in elk punt van de ruimte. Wanneer het veld in zijn geheel wordt beschouwd als een kwantumsysteem, heeft het een oneindige verzameling observabelen (zelfs een overaftelbare verzameling), aangezien er oneindig veel punten in de ruimte zijn.
Daarnaast zijn de vrijheidsgraden in een kwantumveld geordend in "herhaalde" verzamelingen. De vrijheidsgraden in een elektromagnetisch veld, bijvoorbeeld, kunnen worden gegroepeerd volgens de positie r met exact twee vectoren voor iedere positie r. Merk op dat r een gewoon getal is dat de observabelen "nummert"; het moet niet worden verward met de positieoperator die men heeft in de gewone kwantummechanica en die zelf een observabele is. (De gewone kwantummechanica wordt hierom soms "nul-dimensionale kwantumveldtheorie" genoemd, aangezien ze slechts een enkele verzameling observabelen bezit.) Het is ook belangrijk op te merken dat er niets bijzonders is aan r, aangezien er meerdere manieren zijn om de vrijheidsgraden te "nummeren".
De volgende paragrafen zullen uiteenzetten hoe deze ideeën kunnen worden gebruikt voor de constructie van een kwantummechanische theorie met de gewenste eigenschappen. We zullen dit aanvangen met de uitleg van de kwantummechanica van een enkel deeltje en de bijbehorende eigenschappen van de mechanica van veel deeltjes. Vervolgens zullen we, met behulp van een "nummering" van de vrijheidsgraden van het veeldeeltjesprobleem, een kwantumveld opbouwen en zijn implicaties bestuderen.
Kwantummechanica van één deeltje en veel deeltjes In de gewone kwantummechanica is het de tijdsafhankelijke schrödingervergelijking die de beweging van een enkel niet-relativistisch deeltje beschrijft:
waar m de massa van het deeltje is, V de potentiaal die wordt aangelegd en |ψ› de kwantumtoestand (we gebruiken bra-ketnotatie).
We wensen te bekijken hoe dit probleem te veralgemenen voor N deeltjes. Er zijn twee redenen om zulk een veeldeeltjesprobleem te beschouwen. Ten eerste is dit nodig in de vastestoffysica, waar het typische aantal deeltjes van de orde van de constante van Avogadro (6,022 141 5 × 1023) is. Een tweede motivatie komt van de deeltjesfysica en de wens om de effecten van de speciale relativiteit in de theorie te brengen. Indien men de relativistische rustenergie in de bovenstaande vergelijking probeert te brengen, is het resultaat ofwel de klein-gordonvergelijking, ofwel de diracvergelijking. Deze vergelijkingen hebben echter enkele onvolkomenheden. Ze bezitten bijvoorbeeld eigenwaarden die lopen tot aan –∞, zodat er geen eenvoudige definitie schijnt te zijn van een grondtoestand. Het blijkt dat deze inconsistenties voortvloeien uit de verwaarlozing van de mogelijkheid tot de dynamische creatie of vernietiging van deeltjes, wat een cruciaal aspect van de relativiteit is. Einsteins beroemde massa-energierelatie E = m c2 voorspelt dat voldoende zware deeltjes kunnen vervallen tot lichtere deeltjes, en deeltjes met voldoende energie kunnen samenbundelen tot de vorming van deeltjes met massa. Zo kunnen, bijvoorbeeld, een elektron en een positron annihileren tot fotonen. Een consistente relativistische kwantumtheorie moet dus worden geformuleerd als een veeldeeltjestheorie.
Verder zullen we veronderstellen dat de N deeltjes ononderscheidbaar zijn. Dit impliceert dat de toestand van het gehele systeem ofwel symmetrisch (voor bosonen) ofwel antisymmetrisch (voor fermionen) moet zijn wanneer de coördinaten van twee deeltjes worden verwisseld. Deze veeldeeltjestoestanden zijn tamelijk ingewikkeld om op te schrijven. De algemene kwantumtoestand van een systeem van N bosonen, bijvoorbeeld, gaat als:
waar |φ› de eendeeltjestoestanden zijn, Nj het aantal deeltjes op toestand j is, en de som wordt genomen over alle mogelijke permutaties p van N elementen. In het algemeen is dit een som van N! (N faculteit) verschillende termen, wat al snel onhandelbaar wordt voor grotere waarden van N. Om dit probleem te vereenvoudigen, veranderen we dit in een kwantumveldtheorie.
Tweede kwantisatie