right|200px|thumb|De massa-energierelatie weergegeven in een formule De massa-energierelatie is een verband tussen de natuurkundige grootheden energie en massa. De relatie werd door Einstein op puur theoretische gronden afgeleid uit zijn speciale relativiteitstheorie. De gelijkheid werd overigens eerder al op een andere wijze afgeleid door Henri Poincaré.arxiv.org Jean-Paul Auffray: Dual origin of E=mc2. Geraadpleegd op 21 december 2019. Gearchiveerd op 21 december 2019. Ze houdt in dat de massa van een object een hoeveelheid energie vertegenwoordigt (en v.v.) en wordt als volgt weergegeven: . Hierin is het verhoudingsgetal het kwadraat van de lichtsnelheid , waaraan sinds 1983 de exacte waarde van wordt gegeven. Dit betekent dat een massa van 1 kilogram overeenkomt met aan energie. In termen van TNT-equivalent is dit .
Publicatie in 1905 en betekenis Op 26 september 1905 werd Einstein's speciale relativiteitstheorie gepubliceerd in het Duitse tijdschrift voor natuurkunde Annalen der Physik. Op 21 november plaatste het tijdschrift nog een artikel van zijn hand, waarin hij een gevolg van zijn nieuwe theorie verder onderzocht. Het artikel heette Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?; vertaald: 'Is de traagheid van een lichaam afhankelijk van zijn energie-inhoud?'. Het antwoord van Einstein was ja.
Een lichaam (object) dat energie uitstraalt, verliest massa (en daarmee traagheid). Andersom geldt ook dat een lichaam dat energie opneemt, bijvoorbeeld door licht te absorberen, een grotere massa krijgt. De wijziging van de massa hangt samen met de uitgestraalde of geabsorbeerde hoeveelheid energie volgens de relatie . Hierin is de lichtsnelheid . Overigens schreef Einstein deze formule niet letterlijk zo op. Hij gebruikte voor de energie en voor de lichtsnelheid, en schreef Gibt ein Körper die Energie L in Form von Strahlung ab, so verkleinert sich seine Masse um L/V² (Geeft een lichaam energie in de vorm van straling af, vermindert zijn massa zich met ).
Deze relatie had betrekking op een verandering van energie en massa. Pas later ging Einstein verder en postuleerde (vereiste) hij dat de hele massa van een lichaam een uiting is van inwendige energie. De totale energie-inhoud van een lichaam staat dus in een direct verband met de totale massa. In het Jahrbuch der Radioaktivität presenteerde hij in 1907 de formule die dit idee samenvat: . De massa-energierelatie kwam dus voort uit de relativiteitstheorie plus een voor de hand liggende, maar gewaagde veronderstelling. De Franse wis- en natuurkundige Henri Poincaré had de massa-energierelatie eerder gevonden.
Later ontdekte men allerlei fysische verschijnselen waarbij de totale massa niet gelijk bleef. Deze bevestigden het verband tussen verandering van massa en energie, . Pas nadat in 1932 antimaterie was ontdekt, kon ook de absolute relatie bevestigd worden. Wanneer een deeltje en zijn antideeltje elkaar annihileren verdwijnen ze geheel en komt er energie vrij. De hoeveelheid vrijgekomen energie bleek precies overeen te komen met de massa van het deeltje en het antideeltje samen, vermenigvuldigd met het kwadraat van de lichtsnelheid.
Een ander bekend verschijnsel waar deze formule zich uit is kernenergie. Bij kernsplijting treedt er ook verlies aan massa op. Omdat — het kwadraat van de lichtsnelheid — een enorm getal is vertegenwoordigt het geringe massaverlies toch een aanzienlijke hoeveelheid energie. Ook als lichte elementen samensmelten (fuseren) neemt de massa af, en komt er energie vrij. Op dit principe is de waterstofbom gebaseerd.
In de loop van de twintigste eeuw is de gelijkheid bij een groot publiek synoniem geworden met het werk van Einstein en met de moderne natuurkunde in het algemeen. De gelijkheid is bijna even bekend als de stelling van Pythagoras.
Voorgeschiedenis De formulering van Einstein kwam niet uit de lucht vallen, maar paste in een traditie van de berekening van de effectieve massa van een geladen bol of deeltje.Edmund T. Whittaker: A History of the Theories of Aether & Electricity, 1910, uitgebreid 1953, Dover Publications (1989) Wei-Tou Ni (ed.): One Hundred Years of General Relativity: From Genesis and Empirical Foundations to Gravitational Waves, Cosmology and Quantum Gravity (Volume 1)scientificamerican.com Tony Rothman, 24 augustus 2015: Was Einstein the First to Invent E = mc2?. Geraadpleegd op 21 december 2019. Gearchiveerd op 16 september 2020.physicsworld.com Philip Ball: Did Einstein discover E = mc2?, 23 Aug 2011. Geraadpleegd op 21 december 2019. Gearchiveerd op 21 december 2019.J.J. Thomson, de ontdekker van het elektron, kwam in 1881 met een berekening hoe een bewegende elektrisch geladen bol volgens de Wetten van Maxwell zelf een magnetisch veld opwekte dat de bol afremde: de bol kreeg een grotere traagheid (trage massa). In 1889 vereenvoudigde de eveneens Britse natuurkundige Oliver Heaviside deze berekening: de effectieve massa werd
zodat dan
waar ook Wilhelm Wien en Max Abraham uitgaande van de elektronentheorie van H. A. Lorentz op uitkwamen. In 1900 (en later onder meer in 1905/1906) vond Henri Poincaré, dat behoud van impuls van deeltjes samen met een elektromagnetisch veld waarin ze zich bevonden, moest leiden tot de toekenning van een massa aan dat veld (een denkbeeldige vloeistof) zodat . Ook hij ging uit van de elektronentheorie van Lorentz.Poincaré, H., La théorie de Lorentz et le principe de réaction, Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles 2, 5, 252-278 (1900)Poincaré, H., Sur la dynamique de l’électron, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 21, 129-176 (1906) ingestuurd 1905 De Oostenrijkse natuurkundige Fritz Hasenöhrl publiceerde in 1904 en 1905 drie artikelen1. Hasenörhl, F. Wien Sitz. IIa, 113, 1039 (1904)2. onlinelibrary.wiley.com Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern, Annalen der Physik 15, 1904, p. 344. Geraadpleegd op 21 december 2019.3. F. Ann. der Phys. 16, 589 (1905). Gearchiveerd op 21 december 2019. over licht in een spiegelende en bewegende holle cilinder. Via het Doppler-effect kwam hij eerst uit op
, later gecorrigeerd tot weer .
De ontdekking van kan worden toegeschreven aan Poincaré en Einstein samen.
Afleiding in de speciale relativiteitstheorie thumb|right|250px|Opschrift op Taipei 101 Voor de afleiding van de equivalentie van massa en energie maakt men gebruik van de behoudswet voor de relativistische impuls. Deze wordt afgeleid door een gedachtenexperiment waarbij twee bollen volkomen elastisch botsen. Voor en na die botsing moet, rekening houdend met de lorentztransformatie voor snelheden, behoud van impuls gelden. Daaruit volgt dat men de impuls van een deeltje met rustmassa dat beweegt met een snelheid , moet definiëren als:
Daarin is de relativistische massa die evenals de impuls ook toeneemt met de snelheid. Dit lijkt samen te hangen met de toename van de energie. Net als in de klassieke mechanica definieert men de toename van de energie als de verrichte arbeid, dat wil zeggen het product van kracht en afgelegde weg, en kracht als de verandering van de impuls per tijd. Wanneer in korte tijd de snelheid, impuls en energie veranderen door een kracht vindt men:
Daaruit volgt dan dat verandering van de energie inderdaad gelijk is aan de verandering van de massa vermenigvuldigd met het kwadraat van de lichtsnelheid.
Hoge en lage snelheden De wortel in de noemer van de snelheidsafhankelijke massa kan ontwikkeld worden in een Taylorreeks:
Vermenigvuldiging met het kwadraat van de lichtsnelheid leidt dan tot
De eerste term in deze ontwikkeling is zeer groot, maar blijft in het dagelijkse leven onveranderd, zodat daar weinig van te merken is, behalve als massa in energie wordt omgezet zoals bij kernenergie. De tweede term is de klassieke kinetische energie volgens de mechanica van Newton. De derde en volgende termen zijn voor de lage snelheden uit de dagelijkse praktijk nagenoeg onmerkbaar, waardoor ze in vroegere tijden nooit herkend zijn. Alle termen hebben de dimensie van energie. Daarmee ontstaat de interpretatie dat de totale energie van een deeltje vertegenwoordigt en dat de rustenergie van een deeltje is. En daarmee is de relatie vastgelegd
of kortweg
Interpretatie thumb|250px|E=mc² in Berlijn. De massa-energierelatie houdt in dat massa equivalent is met energie, oftewel dat massa en energie in elkaar kunnen overgaan. De totale energie van een lichaam met relativistische massa is . Dit is voor een deel energie als gevolg van de rustmassa, voor een deel inwendige bewegingsenergie, voor een deel inwendige potentiële energie, voor een deel inwendige kernenergie enzovoort.
Er bestaat bij veel mensen op twee punten verwarring over de interpretatie van de formule : Betekent alleen de inwendige energie (de energie in rust) of ook de kinetische energie (de extra energie die een lichaam heeft doordat het beweegt)? Met andere woorden, neemt de massa toe met de snelheid? Zit de energie in het lichaam als energie (dus moet meegeteld worden als men de totale energie van een systeem berekent), of duidt alleen op energie die pas ontstaat wanneer de massa afneemt? Het antwoord op de eerste vraag is: dat is een kwestie van afspraak. De relativiteitstheorie kan geformuleerd worden met massa's die gelijk blijven wanneer een lichaam in beweging komt, of met massa's die groter zijn bij beweging. Een niet-bewegingsafhankelijke massa is de laatste decennia gebruikelijk in de natuurkunde op de universiteiten en in wetenschappelijke artikelen. In boeken voor het grote publiek en op scholen gebruikt men echter nog vaak de formulering met een massa die afhankelijk is van de snelheid. Fysische voorspellingen ("wat gebeurt er als...") zijn dezelfde in beide formuleringen.
De tweede vraag heeft wel een eenduidig antwoord: duidt op energie die in het lichaam aanwezig is. Bij een kernreactie neemt de massa af en er komt energie vrij (in de vorm van straling en warmte), maar die energie zat al in de kern. Het was bijvoorbeeld interne bewegingsenergie (kerndeeltjes die met grote snelheid om elkaar heen bewegen, de beweging van de quarks), potentiële energie (positief geladen protonen die vlak bij elkaar zitten), en meer abstracte vormen die men 'veldenergie' zou kunnen noemen. Het is dus niet correct te zeggen dat bij die kernreactie "massa is omgezet in energie". De energie was al aanwezig. Wel is er inwendige energie, meetbaar als massa, omgezet in uitwendige energie (straling en warmte), die zich niet manifesteert als massa. Met andere woorden, de Wet van behoud van energie is gewoon geldig; alleen de Wet van behoud van massa wordt door de massa-energierelatie ongeldig.
Voor de duidelijkheid zou men de formule kunnen schrijven als:
waaraan de wetenschappelijk gangbare formulering nog toevoegt: , ongeacht de snelheid van het lichaam.
Voorbeelden Ter verduidelijking volgen enkele voorbeelden van situaties en processen, beschouwd vanuit het perspectief van de massa-energierelatie. In alle gevallen is de hoeveelheid massa klein en de energie groot: door de enorme factor in de formule komt 1 gram massa overeen met 89,88 × 1012 joule (bijna 90 terajoule). Dat is de verbrandingswarmte van 15 000 vaten ruwe olie, ofwel de energie van een bom van 21,4 kiloton TNT: dezelfde orde van grootte als de atoombom Little Boy die in 1945 Hiroshima verwoestte.
Verandering van inwendige energie Onder inwendige energie verstaan we iedere vorm van energie die in een systeem (een lichaam of deeltje) zit; deze energie bepaalt volgens de traagheid voor het versnellen van dat systeem. Hebben we een doos waarin een veer vastgemaakt zit, dan is de traagheid van die doos groter wanneer de veer uitgerekt is dan wanneer hij ontspannen is. Het verschil in potentiële energie, in dit geval veerenergie, is merkbaar als een verschil in massa. In de praktijk is het verschil onmeetbaar klein.