In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, onderzoekt de transcendentietheorie zowel in kwalitatieve als kwantitatieve zin de transcendente getallen.
Volgens de hoofdstelling van de algebra heeft ieder polynoom, waarvan de coëfficiënten hele getallen zijn, ten minste één complex nulpunt. De transcendentietheorie houdt zich bezig met de omgekeerde vraag dat er gegeven een complex getal een polynoom bestaat, zodanig dat . Als een dergelijk polynoom bestaat is een algebraïsch getal, maar anders wordt transcendent genoemd.
Meer in het algemeen gaat de transcedentietheorie over algebraïsche onafhankelijkheid van getallen. getallen , waarvan er in ieder geval een geen nul is, noemt men algebraïsch onafhankelijk over een lichaam (Ned) / veld (Be) , indien er een polynoom in variabelen bestaat met coëfficiënten in zodanig dat . Het bepalen of een gegeven getal een transcendent getal is, is een speciaal geval van algebraïsche onafhankelijkheid, waarbij er maar een variabele in de vergelijking staat.
Geschiedenis Benadering door rationale getallen: van Liouville tot Roth Getallen transcendent noemen die niet algebraïsch zijn komt uit de 17e eeuw, toen Leibniz bewees dat de sinus geen algebraïsche functie was. , Elements of the History of Mathematics, Springer (1994). De vraag of bepaalde getallen transcendent kunnen zijn dateert uit 1748 , Transcendental and algebraic numbers, Dover Publications Inc, (1960), blz. 2. toen Leonhard Euler , Introductio in analysin infinitorum, Lausanne, 1748. bewees dat het getal niet algebraïsch was voor rationale getallen en , mits niet van de vorm is voor enig algebraïsch getal .
Eulers bewering werd pas in de twintigste eeuw bewezen, maar bijna honderd jaar na zijn claim slaagde Joseph Liouville er in om het bestaan van getallen te bewijzen die niet algebraïsch zijn, iets dat tot dan toe niet zeker was. Zijn oorspronkelijke artikelen over deze kwestie in de jaren 1840 schetsten argumenten, waarbij hij gebruik maakte van kettingbreuken om transcendente getallen te construeren. Later, in de jaren 1850, gaf hij een noodzakelijke voorwaarde voor het algebraïsch zijn van een getal, dus ook een voldoende voorwaarde voor het transcendent zijn van een getal. , Sur les classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irrationelles algébriques, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 18, (1844), blz. 883-885, 910-911; Journal Math. Pures et Appl. 16, (1851), blz. 133-142. Dit transcendentiecriterium was niet sterk genoeg om ook noodzakelijk te zijn en inderdaad is dit criterium er niet voldoende voor om te bepalen dat het getal transcendent is. Maar Liouvilles werk voorzag wel in een grotere verzamelingen van transcendente getallen, die nu naar hem bekendstaan als de Liouville-getallen.
Het criterium van Liouville zei in wezen dat algebraïsche getallen niet zeer goed benaderd kunnen worden door rationale getallen. Dus als een getal wel zeer goed benaderd kan worden door rationale getallen dan moet het transcendent zijn. De exacte betekenis van "zeer goed benaderd" in Liouvilles werk heeft betrekking op een bepaalde exponent. Hij toonde aan dat, indien een algebraïsch getal van graad is en enig getal groter dan nul is, dat aan de uitdrukking
dan kan worden voldaan door maar een eindig aantal rationale getallen . Hiervan gebruikmaken als een criterium voor transcendentie is niet triviaal, aangezien men moet controleren of er oneindig veel oplossingen voor elke zijn.
In de twintigste eeuw reduceerde werk van Axel Thue, , Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen, Journal für die reine und angewandte Mathematik. 135, (1909), blz.284-305 Carl Siegel, , Approximation algebraischer Zahlen, Math. Zeitschrift, 10, (1921), blz.172-213. en Klaus Roth , Rational approximations to algebraic numbers and Corrigendum, Mathematika 2, (1955), blz.1-20; blz.168. de exponent in Liouvilles werk van naar , en ten slotte, in 1955, tot . Dit resultaat, dat bekendstaat als de stelling van Thue-Siegel-Roth, is ogenschijnlijk het best mogelijke, want als de exponent wordt vervangen door alleen 2 dan is het resultaat niet langer waar. Serge Lang vermoedde dat er een verbetering mogelijk was van het resultaat van Roth, in het bijzonder vermoedde hij dat in de noemer aan de rechterkant kon worden teruggebracht tot .
Met Roths werk kwam een effectief einde aan de werkzaamheden, zoals deze ruim honderd jaar eerder door Liouville waren gestart. Roths stelling stond het wiskundigen toe om de transcendentie van veel meer getallen, zoals de constante van Champernowne te bewijzen. Met deze stelling kunnen nog steeds niet alle transcendente getallen worden opgespoord. Veel beroemde constanten, waaronder en zijn of niet zeer goed benaderbaar of het is niet bekend of zij zeer goed benaderbaar in bovengenoemde zin zijn. , On the Approximation of (Over de benadering van π), Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 56; Indagationes Math. 15, (1953), blz. 30-42.
Ondersteunende functies: van Hermite tot Baker Gelukkig werd er in de 19e eeuw ook met andere methoden gepionierd met de algebraïsche eigenschappen van , dus ook van . Men gebruikte hier de identiteit van Euler voor. Dit werk centreerde zich op het gebruik van de zogenaamde ondersteunende functie. Dit zijn functies, die typisch veel nullen op de punten onder beschouwing hebben. Hier kan "veel nullen" zowel letterlijk veel nullen betekenen, maar ook maar één nul, maar dan wel met een hoge multipliciteit, of zelfs vele nullen allemaal met hoge multipliciteit. Charles Hermite gebruikte in 1873 ondersteunende functies, die de functies benaderden voor elk van de natuurlijke getallen om zo de transcendentie van te bewijzen. , Sur la fonction exponentielle, CR Acad. Sci. Paris, 77, (1873). Op zijn werk werd in de jaren 1880 voortgebouwd door Ferdinand von Lindemann. , Über die Zahl , Mathematische Annalen, 20, (1882), blz.213-225. Lindemann wilde bewijzen dat transcendent is voor algebraïsche getallen ongelijk aan nul. In het bijzonder bewees hij dat transcendent is, aangezien algebraïsch is, dus beantwoordde hij de vraag uit de oudheid of het al dan niet mogelijk was om de cirkel te kwadrateren. Het antwoord was nee. Karl Weierstrass ontwikkelde dit werk nog verder en bewees in 1885 de stelling van Lindemann-Weierstrass. , Zu Lindemann's Abhandlung „Über die Ludolph'sche Zahl“., Sitzungber. Königl. Preuss. Akad. Wissensch. zu Berlin2, (1885), blz.1067-1086.
In het jaar 1900 poneerde David Hilbert zijn beroemde 23 problemen. Het zevende probleem van Hilbert was naar inschatting van Hilbert een van de moeilijkste. In dit zevende probleem vroeg Hilbert zich af of getallen van de vorm , waar en algebraïsch zijn, ongelijk is aan nul of een, en irrationaal is, transcendent zijn. In de jaren 1930 bewezen Aleksander Gelfond , Sur le Septième Problème de D. Hilbert, IZV. Akad. Nauk SSSR7, (1934), blz.623-630. en Theodor Schneider , Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendenz von Potenzen, J. reine Angew. Math. 172, (1934), blz.65-69. dat al deze getallen inderdaad transcendent waren. Zij maakten daarbij gebruik van een niet-expliciete ondersteunde functie, waarvan het bestaan werd gegarandeerd door het lemma van Siegel. Dit resultaat, de stelling van Gelfond-Schneider, bewees de transcendentie van getallen, zoals de en de constante van Gelfond-Schneider.
De volgende grote doorbraak op dit gebied deed zich voor in de jaren 1960, toen Alan Baker vooruitgang boekte bij een probleem dat Gelfond had gesteld over lineaire vormen in logaritmen. Gelfond zelf was erin geslaagd een niet-triviale ondergrens te vinden voor de grootheid ,
waarin alle vier de onbekenden algebraïsch zijn, de 's noch nul noch een zijn en de 's irrationaal zijn. Het vinden van soortgelijke ondergrenzen voor de som van drie of meer logaritmen was Gelfond niet gelukt. Het bewijs van de stelling van Baker bevatte wel zulke ondergrenzen. Als bijproduct loste Baker het klassegetalprobleem van Gauss op voor klassegetal een. Voor dit werk won Baker de Fields-medaille voor het gebruik ervan bij het oplossen van diofantische vergelijkingen. Vanuit een zuiver transcendent getal theoretisch gezichtspunt, had Baker bewezen dat als algebraïsche getallen zijn, geen van hen nul of een zijn, en dat algebraïsche getallen zijn, zodanig dat lineair onafhankelijk zijn over de rationale getallen, dat dan het getal
transcendent is. , Linear forms in the logarithms of algebraic numbers. I, II, III, Mathematika13, (1966), blz.204-216; ibid. 14, (1967), pp.102-107; ibid. 14, (1967), pp.220-228.
Andere technieken: van Cantor tot Zilber In de jaren 1870 begon Georg Cantor met de ontwikkeling van zijn verzamelingenleer. In 1874 publiceerde Cantor een artikel, waarin hij bewees dat de algebraïsche getallen in een een-op-een correspondentie met de verzameling van de natuurlijke getallen kunnen worden gebracht, en dat de verzameling van de transcendente getallen dus overaftelbaar moet zijn. , Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen, J. Reine Angew. Math. .77, (1874), blz.258-262 Later, in 1891, gebruikte Cantor zijn meer bekende diagonaalargument om hetzelfde resultaat te bewijzen. , Über eine Frage der elementaren Mannigfaltigkeitslehre, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1, (1891), blz.75-78. Hoewel Cantors resultaat vaak wordt geciteerd als een zuiver existentieel, dus onbruikbaar voor de constructie van ook maar een enkel transcendent getal, en , Mathematics and Logic, Fredering A. Praeger, (1968), blz. 13. , Men of Mathematics, New York:. Simon & Schuster, (1937), blz.569 geven de bewijzen in beide voornoemde artikelen methoden om transcendente getallen te construeren , Georg Cantor and Transcendental Numbers, Amer. Math. Monthly, 101, (1994), nr.9, blz.819-832.
Hoewel Cantor de verzamelingentheorie gebruikte om de volheid van de transcendente getallen te bewijzen, is een recente ontwikkeling het gebruik van de modeltheorie geweest bij pogingen om een onopgelost probleem in de transcendente getaltheorie te bewijzen. Het probleem is het bepalen van de transcendentiegraad van het veld
voor complexe getallen , die lineair onafhankelijk zijn over de rationale getallen. Stephen Schanuel opperde het vermoeden dat het antwoord is, maar er is geen bewijs bekend. Boris Zilber publiceerde in 2004 een artikel dat modeltheoretische technieken gebruikte om een structuur te creëren die zich gedraaft als de complexe getallen uitgerust met de operaties van optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen. Bovendien gaat in deze abstracte structuur het vermoeden van Schanuel inderdaad op. ,Pseudo-exponentiation on algebraically closed fields of characteristic zero, Annals of Pure and Applied Logic, 132, (2005), blz. 67-95.
Helaas is het nog niet bekend dat deze structuur in feite hetzelfde als de complexe getallen uitgerust met de genoemde operatiesn, het kan goed zijn dat het vermoeden van Schanuel onwaar is en dat er een andere abstracte structuur bestaat die zich op gelijkaardige gedraagt als de complexe getallen, maar waar het vermoeden van Schanuel opgaat. Zilber gaf verschillende criteria die zouden bewijzen dat de structuur in kwestie gelijk was aan , maar kon niet bewijzen dat de zogenaamde sterke exponentiële sluitingsaxioma. Het eenvoudigste geval van dit axioma is inmiddels bewezen, , A remark on Zilber’s pseudoexponentiation, J. Symbolic Logic Volume, 71, Issue 3, (2006), blz.791-798., maar een bewijs dat het in volle algemeenheid opgat is nodig om het bewijs van het vermoeden van Schanuel te voltooien.
Benaderingen