De Peano-kromme is een vlakke, ruimtevullende kromme en is gedefinieerd als de limiet van een rij van krommen. De kromme is naar de bedenker ervan genoemd, de Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano en naar het voorbeeld van de Peano-kromme wordt elke vlakke, ruimtevullende kromme wel als een Peano-kromme aangeduid.
De Peano-kromme wordt als volgt geconstrueerd. Verdeel een vierkant in negen gelijke vierkanten en verbindt de middelpunten in een S-vormige volgorde. In de volgende stap wordt elk van deze vierkanten opnieuw onderverdeeld in negen vierkanten, waarvan de middelpunten weer in S-vormige volgorde worden verbonden. De negen S-vormige krommen worden onderling verbonden tot één enkele kromme. Dit proces kan eindeloos worden voortgezet. De afbeelding rechts laat de derde fase met 81 vierkanten zien.
Bestand:Peano curve shaded.svg
Men kan ook van het begin af aan al steeds meer tussenpunten direct definiëren, in plaats van als limiet. Men kan de geparametriseerde kromme, voor hetzelfde voorbeeld als boven, ook als volgt beschrijven. De kromme loopt van het punt linksonder naar het punt rechtsboven. Het parameterdomein wordt in 9 gelijke delen verdeeld. Het beginpunt nr 0, de 8 tussenpunten en het eindpunt nr 9, zijn als volgt:
3 9
2 4,8
1,5 7
0 6
Ieder interval van het parameterdomein wordt ook weer in 9 gelijke delen verdeeld. De 8 tussenpunten worden steeds volgens hetzelfde schema bepaald, ten opzichte van het begin- en eindpunt. Het schema wordt daarbij zo nodig om de horizontale of verticale middenas gespiegeld of 180 graden gedraaid.Van 0 naar 1, van 2 naar 3, van 6 naar 7 en van 8 naar 9 is de oriëntatie hetzelfde als in de vorige stap. Van 1 naar 2 en van 7 naar 8 wordt om de verticale middenas gespiegeld. Van 3 naar 4 en van 5 naar 6 wordt om de horizontale middenas gespiegeld. Van 4 naar 5 wordt het schema 180 graden gedraaid. Dit proces wordt steeds herhaald. Iedere parameterwaarde is de limiet van een rij parameterwaarden waarvoor de punten op de kromme zo zijn gedefinieerd. Het punt voor zo'n parameterwaarde is de limiet van de rij punten.
Merk op dat het punt linksboven correspondeert met de parameterwaarde gelijk aan het 9-tallige 0,2222.., dus 1/4, als het interval [0,1] is, en het punt rechtsonder met het 9-tallige 0,6666.., dus 3/4. Het midden correspondeert met het 9-tallige 0,4444.., dus 1/2.
Overige De Peano-kromme heeft rotatiesymmetrie van orde 2. De lengte van de kromme is zeker oneindig, aangezien een kromme van eindige lengte niet ruimtevullend kan zijn.
Categorie:Fractale meetkunde