In de galoistheorie, een deelgebied van de wiskunde, is bij een gegeven getal het minimale polynoom het irreducibele polynoom van de laagste graad, waarvan een nulpunt is. Als is gegeven dat een algebraïsch getal is, is het minimale polynoom van uniek bepaald. Getallen die geen algebraïsch getal zijn, die geen nulpunt zijn van een polynoom, hebben dus ook geen minimaal polynoom. De coëfficiënt voor de hoogste macht van de variabele van het minimale polynoom is 1, of anders: de hoogste macht van de variabele van het minimale polynoom heeft geen coëfficiënt.
Veronderstel dat de galois-uitbreiding is van een lichaam/veld en stel . Als algebraïsch is over , is de verzameling van alle polynomen
een niet-nul ideaal in . Hieruit volgt dat deze verzameling wordt voortgebracht door een uniek monisch polynoom , dus met de coëfficiënt van de hoogste macht van gelijk aan 1. Dit polynoom wordt het minimale polynoom van over genoemd en genoteerd met of met ., Field Theory, Volume 13, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag 2006, 32-33
Dit is erop gebaseerd, dat het polynoom van over het enige monische irreducibele polynoom in is, waarvan een nulpunt is.
Zij met . Beschouw . Dit polynoom is irreducibel want heeft, wegens de keuze van , geen nulpunten in . Hieruit volgt dat het minimale polynoom is van over . In het bijzonder geldt dat een lichaam/veld is.
Categorie:Galoistheorie Categorie:Veelterm