thumb|De Solvay-conferentie van 1927 in Brussel. Kwantummechanica is een natuurkundige theorieDe termen kwantummechanica en kwantumfysica worden soms verward. In het algemeen kan men zeggen dat kwantummechanica de onderliggende theorie is, en kwantumfysica de toepassing in de natuurkunde, net zoals kwantumchemie de toepassing in de scheikunde is. In de praktijk worden de beide termen nogal eens door elkaar gebruikt, echter met een vooral onder natuurwetenschappers sterke voorkeur voor kwantummechanica.De kwantummechanica is nauwelijks goed uit te leggen zonder uitgebreide voorbeelden. Die voorbeelden worden gewoonlijk aan de natuurkunde ontleend, waardoor het verschil tussen kwantummechanica en kwantumfysica in de (onderwijs)praktijk soms wat vervaagt. die het gedrag van materie en energie met interacties van kwanta op atomaire en subatomaire schaal beschrijft. De ontwikkeling ervan sinds het begin van de 20e eeuw kan, samen met die van de relativiteitstheorie, beschouwd worden als de overgang van de klassieke natuurkunde naar de moderne natuurkunde. Kwantummechanica kwam tot stand door de inspanningen van vele eminente geleerden. Beroemd is de vijfde Solvay-conferentie van 1927 in Brussel, waarin 29 geleerden bijeenkwamen om de kwantummechanica te bediscussiëren.
Overzicht Kwantummechanica is de mechanica, de leer van bewegingen en krachten, die van toepassing is op de kleine schaal van moleculen, atomen en subatomaire deeltjes.
De zintuiglijke waarneming leert dat de voorwerpen die de mens kan zien en betasten een zeer bepaalde vorm en afmeting hebben, dus in de ruimte zijn gelokaliseerd. Daarom is men geneigd te denken dat de fundamentele deeltjes van de materie eveneens een precieze vorm en afmeting hebben, in de vorm van kleine bolletjes met een karakteristieke straal, massa en lading. Die geëxtrapoleerde voorstelling is echter foutief. Op microscopische schaal moet materie worden voorgesteld als een veld, dat wil zeggen een functie die aan ieder punt van de ruimte een getal toekent, ongeveer zoals fotonen (lichtdeeltjes) existentieel verbonden zijn met het elektromagnetische veld.Paragraaf 1.10 "Deeltjes en velden" in Marcelo Alonso en Edward J. Finn, "Fundamentele natuurkunde 4: quantumfysica," Nederlandse bewerking J. Rekveld, Delta Press, 4de druk 1983.
In de kwantumtheorie wordt de werkelijkheid op een fundamenteel andere manier benaderd dan in de klassieke natuurkunde, waarin ervan wordt uitgegaan dat er een waarnemeronafhankelijke werkelijkheid is en natuurkundige grootheden continue variabelen zijn, die in elke gewenste combinatie gemeten kunnen worden. Meetonnauwkeurigheden worden in de klassieke natuurkunde gezien als een praktisch probleem.
In de kwantumtheorie, althans in de breed aangehangen Kopenhaagse interpretatie van Niels Bohr en Werner Heisenberg, variëren natuurkundige grootheden stapsgewijs, dus met een kwantum tegelijk, en kan er geen enkele waarneming worden gedaan zonder dat het waargenomen verschijnsel wordt beïnvloed. Er is in de kwantumtheorie dus geen waarnemeronafhankelijke werkelijkheid. Door dit tweede fundamentele verschil met de klassieke natuurkunde is het principieel uitgesloten om het effect van de waarneming uit te schakelen: de keuze die de waarnemer maakt bij het opzetten van een experiment bepaalt in belangrijke mate de uitkomst daarvan. Het product van de onnauwkeurigheden van de gelijktijdige metingen van twee grootheden, bijvoorbeeld plaats en impuls, heeft volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg een minimale waarde. Is de ene grootheid met de grootst mogelijke nauwkeurigheid gemeten, dan is de andere onvermijdelijk geheel onbepaald en ook niet bepaalbaar. De onzekerheidsrelatie is zelf wel nauwkeurig en objectief geformuleerd. Op macroscopische schaal is de invloed van kwantummechanische beperkingen op de nauwkeurigheid meestal verwaarloosbaar of geheel niet meetbaar en gaat de kwantummechanica over in de klassieke natuurkunde: dat heet het correspondentieprincipe.
De kwantummechanica doet bovendien slechts statistische uitspraken over een reeks van waarnemingen. Dat heeft tot gevolg dat het gedrag van een individueel elementair deeltje alleen in termen van waarschijnlijkheid kan worden beschreven. Die waarschijnlijkheden worden beschreven door de modulus in het kwadraat van de complexe golffuncties, die de kansdichtheid geven op het meten van een bepaalde waarde van een fysische grootheid zoals plaats, snelheid en spin. Met de spin wordt de kwantummechanische vorm van het impulsmoment aangeduid.
De beschrijving van systemen door middel van een golffunctie betekent dat deeltjes zich, afhankelijk van de manier waarop ze worden waargenomen, soms als een deeltje in klassieke zin, maar soms als een golfverschijnsel gedragen. Zo kunnen bijvoorbeeld elektronenbundels, net als lichtbundels, brekingsverschijnselen en interferentie en diffractie vertonen. Andersom kan licht ook worden beschouwd als dat het uit kwanta bestaat, die in het geval van licht fotonen worden genoemd, met een energie :
waarin de constante van Planck is en , de Griekse letter nu, de frequentie van het licht.
Bij het formuleren van de kwantummechanica in termen van golffuncties, blijkt dat bepaalde fysische grootheden, zoals energie, positie of impuls, niet alle waarden kunnen aannemen. Bijvoorbeeld, een elektron gebonden aan een atoom kan alleen specifieke energieniveaus bezetten; ofwel, het energiespectrum is discreet, niet continu. Dit geeft aanleiding tot spectraallijnen in het, door het atoom, uitgezonden licht wanneer een elektron overgaat van een hoog naar een laag (discreet) energieniveau.
De onzekerheidsrelatie van Heisenberg is een van de hoofdresultaten van de vroege kwantummechanica. Het geeft aan dat het niet mogelijk is om tegelijkertijd, exact de positie en impuls van een deeltje te weten. In deze onzekerheidsrelatie worden met en de standaarddeviaties van de respectievelijke grootheid aangeduid, verder staat voor de gereduceerde constante van Planck (of constante van Dirac):
Deze onzekerheid staat los van de onnauwkeurigheid veroorzaakt door meetapparatuur of een experimentele opstelling; het is een onzekerheid die komt vanuit de natuur. Bijvoorbeeld, in het geval dat de positie van een deeltje exact bekend is, dus , dan volgt, uit de onzekerheidsrelatie, dat het onmogelijk is om ook iets over de impuls van het deeltje te weten te komen, dus .
Er zijn nog tal van andere onzekerheidsrelaties tussen paren van fysische grootheden, die daarom niet-commuterend worden genoemd. In jargon zegt men dat bij waarnemen en meten van een willekeurige variabele de golffunctie wordt geprojecteerd op een eigentoestand. Dit betekent dat alle andere informatie verloren gaat. De onzekerheidsrelatie tussen twee willekeurige niet-commuterende grootheden wordt gegeven door:
De kwantummechanica maakt onderscheid tussen twee typen deeltjes: bosonen en fermionen. Het onderscheid zit in de spin van het deeltje, een fundamentele eigenschap die alleen van het type deeltje afhangt en de waarden kan aannemen. De deeltjes die alleen heeltallige spin kunnen hebben, heten bosonen, andere die ook halftallige spin kunnen hebben, worden fermionen genoemd. Een belangrijk resultaat met betrekking tot dit onderscheid is het uitsluitingsprincipe van Pauli, dat zegt dat er geen twee fermionen in dezelfde toestand kunnen bestaan. Voor bosonen is dat wel mogelijk.
Schrödingervergelijking In de beschrijving die Erwin Schrödinger aan de kwantummechanica heeft gegeven, wordt het materieveld beschreven door een functie die met ieder punt van de ruimte een complex getal associeert. Conventioneel gebruikt men voor een dergelijke functie nog altijd de Griekse letter (psi). De meest gangbare interpretatie van deze functie is dat het kwadraat van de absolute waarde een kansdichtheid geeft voor de positie van het deeltje, dat wil zeggen dat
de waarschijnlijkheid is om het deeltje binnen een klein volume van de ruimte aan te treffen. Deze interpretatie vereist dat de kans om het deeltje ergens in de hele ruimte aan te treffen 100% is, dus dat de integraal van de kansverdeling 1 bedraagt:
Paragraaf 2.2 "Golffunctie en waarschijnlijkheidsdichtheid" in Marcelo Alonso en Edward J. Finn, op. cit.
Deze functie moet bovendien voldoen aan de schrödingervergelijking. Als we de evolutie van de functie in de tijd beschouwen, dan luidt de vergelijking:Erwin Schrödinger, Quantisation as a Problem of Proper Values (Part IV), Annalen der Physik (4) vol. 81, 1926, geraadpleegd in "Collected Paper on Wave Mechanics by E. Schrödinger," van het Duits naar het Engels vertaald door J.F. Shearer en W.M. Deans, tweede druk R. & R. Clark 1929.
Hierin is de imaginaire eenheid, de partiële afgeleide naar de tijd, de constante van Dirac, de massa, de laplaceoperator, de potentiaal die een functie is van de positieoperator .
Dit is een partiële differentiaalvergelijking, dat wil zeggen dat de oplossingen onbekende functies zijn die voldoen aan het gegeven verband tussen de functie zelf en haar partiële afgeleiden, in dit geval de eerste partiële afgeleide naar de tijd en de som van de tweede partiële afgeleiden naar de plaatscoördinaten (de Laplaciaan van de onbekende functie). De schrödingervergelijking heeft de wiskundige vorm van een golfvergelijking, dus volgen hieruit de golfeigenschappen.
In een meer algemene vorm kan de tijdsafhankelijke schrödingervergelijking geschreven worden als (hier wordt de golffunctie genoteerd als een functie van positie en tijd, maar het zou ook kunnen dat het een functie is van andere grootheden):
Hierin is de hamiltoniaan, een operator die de totale energie weergeeft. Wanneer de hamiltoniaan operator onafhankelijk is van tijd kan de golffunctie geschreven worden als , waarbij de (tijdsonafhankelijke) golffunctie moet voldoen aan de tijdonafhankelijke schrödingervergelijking:
In dit is een eigenwaarde vergelijking, waarbij E de eigenwaarde van de hamiltoniaan operator is. Ook is E de energietoestand van het systeem.
Zie ook Impulsoperator.
In de schrödingervergelijking spelen de tijd en de ruimtecoördinaten een verschillende rol. Ze is dus niet te verzoenen met de (speciale) relativiteitstheorie, waarin tijd- en ruimtecoördinaten deel uitmaken van een vierdimensionaal geheel en in elkaar getransformeerd worden naargelang van het standpunt van de waarnemer: de schrödingervergelijking behoort tot de niet-relativistische kwantummechanica.
Het waterstofatoom
De mechanica van het waterstofatoom wordt bepaald door de elektrostatische aantrekkingskracht (Coulombkracht) tussen een proton en een elektron. Wegens behoud van impuls kunnen de coördinaten van beide deeltjes uitgedrukt worden ten opzichte van hun gemeenschappelijk zwaartepunt, en dan blijven er nog slechts 3 vrijheidsgraden over (de positievector van het proton is evenredig met de positievector van het elektron en wijst in de tegengestelde zin).
De elektrostatische potentiële energie is een negatief getal dat alleen afhangt van de lengte van de positievector , en niet van zijn richting. De tijdsonafhankelijke schrödingervergelijking concretiseert zich dan tot
waar de equivalente massa van het proton-elektronsysteem is, en . De potentiële energie van de Coulombkracht bedraagt
Dit is een van de weinige gevallen waar de schrödingervergelijking exact opgelost kan worden. Het blijkt dat er kwadratisch integreerbare oplossingen voor de golffunctie bestaan als en slechts als een van de volgende waarden is:
Dit zijn de 'energieniveaus' van de mogelijke banen (orbitalen) van het elektron in het waterstofatoom. De absolute waarde van de laagste energie komt overeen met de Rydberg-energie die empirisch wordt vastgesteld door het opmeten van de absorptielijnen in het spectrum van waterstof.
Dirac-formalisme