Een Carmichael-getal is een samengesteld getal , dat voor alle getallen , met , die met relatief priem zijn, aan de volgende congruentie voldoet: .
Ze zijn naar de Amerikaanse wiskundige Robert Carmichael genoemd. Alle priemgetallen voldoen volgens de kleine stelling van Fermat aan deze congruentie. Carmichael-getallen kunnen dus met priemgetallen worden vergeleken. Carmichael-getallen zijn belangrijk omdat ze aan de priemtest van Fermat voldoen, terwijl zij geen werkelijke priemgetallen zijn. Aangezien er carmichael-getallen bestaan, geeft deze priemgetaltest dus geen zekerheid dat een bepaald getal een priemgetal is. De priemtest van Fermat kan nog wel worden gebruikt om te bewijzen dat een getal een samengesteld getal is. Het kleinste carmichael-getal is 561. Alford, Granville en Pomerance bewezen in 1994 dat er oneindig veel carmichael-getallen zijn., en . There are Infinitely Many Carmichael Numbers, 1994. in Annals of Mathematics vol 139, blz 703–722 Naarmate de getallen groter worden, worden carmichael-getallen zeldzaam. Er zijn bijvoorbeeld carmichael-getallen tussen 1 en 1018, dat is ongeveer één op de 700 miljard getallen., The Carmichael numbers up to 1018 in 2006 en eerder The Carmichael numbers up to 1017 in 2005 en The Carmichael numbers up to 1016 in 1998. Gearchiveerd op 23 april 2023.
De carmichael-getallen zijn de Knödel-getallen . Het criterium van Korselt geeft een anders geformuleerde definitie van carmichael-getallen.. Carmichael numbers and Korselt’s criterion.
Voorbeeld Neem , het kleinste Carmichael-getal. Dit getal voldoet aan de definitie dat voor alle , die onderling ondeelbaar met zijn dat .
561 kan door 3, 11, 17, 33, 51 en 187 worden gedeeld. De congruentie geldt voor deze getallen niet: , , enzovoort, maar voor alle andere getallen wel.
Literatuur en . A new algorithm for constructing large Carmichael numbers, 1996. gearchiveerd, in Mathematics of Computation . Problème chinois, 1899. in L'intermédiaire des mathématiciens vol 6, blz 142–143 . On composite numbers P which satisfy the Fermat congruence , 1912. in American Mathematical Monthly vol 19, blz 22–27
Categorie:Rij van gehele getallen