thumb|300px|Eerste vijf laguerre-polynomen
In de wiskunde zijn de laguerre-polynomen, genoemd naar Edmond Laguerre (1834-1886), oplossingen van de -de differentiaalvergelijking van Laguerre:
In het gemeenschappelijke punt (0,1) is de richtingscoëfficiënt . De toppunten met voldoen aan .
Laguerre-polynomen vinden hun oepassing in de kwantummechanica, in het radiële deel van de oplossing van de schrödingervergelijking voor een 1-elektron atoom.
Definitie Het -de laguerre-polynoom is een polynoom van de graad , die door de formule van Rodriguez wordt gegeven:
Een reeksontwikkeling van wordt verkregen door de de afgeleide uit te werken met behulp van de algemene Leibnizregel
Voor de zo gedefinieerde laguerre-polynomen geldt:
Fysici gebruiken vaak een definitie waarbij het -de laguerre-polynoom een factor , -faculteit groter is.
De eerste zes laguerre-polynomen zijn: {| class="wikitable" ! align="center"; width="40px" | ! align="center" | |- | align="center" | 0 || |- | align="center" | 1 || |- | align="center" | 2 || |- | align="center" | 3
| align="center" | 4
| align="center" | 5
| align="center" | 6
Recursie Tussen de polynomen bestaan de volgende recursieve betrekkingen:
en
Uit de twee voorgaande recursieformules kan men een derde afleiden:
Orthogonaliteit Laguerre-polynomen zijn orthonormaal met betrekking tot het inproduct:
Er geldt:
met de kronecker delta
Contourintegraal De laguerre-polynomen kunnen in het complexe vlak ook uitgedrukt worden als complexe kringintegraal om de oorsprong, dus als een complexe integraal:
Voortbrengende functie De voortbrengende functie wordt gegeven door de reeks
Beide kanten delen door geeft
Integreren om de oorsprong voor en toepassen van de residustelling geeft als resultaat dat alleen de coëfficiënt van de term overblijft. Dit gebeurt voor
of
zodat
Gegeneraliseerde laguerre-polynomen De oplossingen van de differentiaalvergelijking in de vorm van een polynoom
worden gegeneraliseerde laguerre-polynomen genoemd.
De formule van Rodriguez voor dit polynomen is
De gewone laguerre-polynomen zijn een speciaal geval:
De eerste gegeneraliseerde laguerre-polynomen zijn:
Websites MathWorld. Laguerre Polynomial.
Categorie:Differentiaalvergelijking Categorie:Veelterm Categorie:Wiskundige functie