In wiskunde is een kwadraatgetal, soms ook wel een perfect vierkant genoemd, een geheel getal dat kan worden geschreven als het kwadraat van een geheel getal; met andere woorden, het is het product van een willekeurig geheel getal met zichzelf. Zo is bijvoorbeeld 9 een kwadraatgetal, omdat het kan worden geschreven als 3 × 3. Kwadraatgetallen zijn niet-negatief. Een andere manier om te zeggen dat een (niet-negatief) getal een kwadraatgetal is, is dat de wortel van een kwadraatgetal een geheel getal is. Aangezien , is 9 een kwadraatgetal.
Voorbeelden De eerste 50 kwadraatgetallen groter dan 0 zijn:
12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100 112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361 202 = 400
212 = 441 222 = 484 232 = 529 242 = 576 252 = 625 262 = 676 272 = 729 282 = 784 292 = 841 302 = 900
312 = 961 322 = 1024 332 = 1089 342 = 1156 352 = 1225 362 = 1296 372 = 1369 382 = 1444 392 = 1521 402 = 1600
412 = 1681 422 = 1764 432 = 1849 442 = 1936 452 = 2025 462 = 2116 472 = 2209 482 = 2304 492 = 2401 502 = 2500
Merk op dat de kwadraten van en steeds eindigen op dezelfde twee cijfers, hun verschil is .
Het patroon tussen de perfecte vierkanten van negatief oneindig tot positief oneindig is als volgt:
en dus ook
Eigenschappen Het getal m is dan en slechts dan een kwadraatgetal als men de m punten in een vierkant kan arrangeren: m = 12 = 1Bestand:Square number 1.pngm = 22 = 4Bestand:Square number 4.pngm = 32 = 9Bestand:Square number 9.pngm = 42 = 16Bestand:Square number 16.pngm = 52 = 25Bestand:Square number 25.png
De uitdrukking voor het n-de kwadraatgetal is n2. Dat dit ook gelijk is aan de som van de eerste n oneven getallen kan men zien in de bovenstaande plaatjes, waar een vierkant de som is van het voorgaande vierkant met daarbij een oneven aantal punten (in cyaan) opgeteld. De formule volgt: . Zo is bijvoorbeeld 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Het verschil tussen twee willekeurige kwadraatgetallen is een oneven getal of de som van twee opeenvolgende oneven getallen.
Elk kwadraatgetal n2 kan ook geschreven worden als de som van een rekenkundige rij van n getallen met als eerste element (n+1)/2 en als verschil 1:
22 = 4 = 1,5 + 2,5 32 = 9 = 2 + 3 + 4 42 = 16 = 2,5 + 3,5 + 4,5 + 5,5 52 = 25 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 62 = 36 = 3,5 + 4,5 + 5,5 + 6,5 + 7,5 + 8,5 72 = 49 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
enzoverder. Hieruit blijkt dat als n een oneven getal is, het kwadraat ervan de som is van n opeenvolgende natuurlijke getallen.
Zie ook Driehoekskwadraatgetal
Categorie:Algebra Categorie:Figuratief getal