In de abstracte algebra, meer specifiek de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, heet een niet-triviale ring een priemring, als voor elke twee elementen en van geldt dat als voor alle in , dan is of of . Priemringen kunnen ook verwijzen naar de delingsringen van een lichaam (Ned) / veld (Be) bepaald door haar karakteristiek. Voor een lichaam/veld met karakteristiek 0, is de priemring de verzameling gehele getallen; voor een lichaam/veld met karakteristiek een priemgetal is de priemring het eindige lichaam/veld van orde .Pagina 90 van Algebra van Serge Lang
Onder de eerste definitie kan men priemringen beschouwen als een gelijktijdige generalisatie van zowel integriteitsdomeinen als matrixringen over een lichaam/veld.
Voorbeelden Elke niet-triviale ring zonder nuldelers (domein) is een priemring. Elke enkelvoudige ring is een priemring, en meer in het algemeen is elke linker- of rechter primitieve ring is een priemring. Elke matrixring over een integriteitsdomein is een priemring. Met name is de ring van geheeltallige -matrices een priemring.
Eigenschappen Een commutatieve ring is een priemring dan en slechts dan als deze commutatieve ring ook een Integriteitsdomein is. Een ring is dan en slechts dan priem als haar nulideaal een priemideaal is. Een niet-triviale ring is dan en slechts dan priem als de monoïde van zijn idealen geen nuldelers heeft. De ring van matrices over een priemring is opnieuw een priemring.
Voetnoten
Referenties , A First Course in Noncommutative Rings (Een eerste cursus in niet-commutatieve ringen), Springer-Verlag, Berlin, New York, 2nd, 978-0-387-95325-0, 2001
Categorie:Ringtheorie