Kromming (meetkunde)

In de meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, wordt de term kromming gebruikt voor een aantal losjes aan elkaar gerelateerde concepten die in verschillende deelgebieden van de meetkunde worden gebruikt. Intuïtief gesproken is kromming de mate waarin een meetkundig object afwijkt van platheid of, in het geval van een lijn, van rechtheid, maar dit wordt afhankelijk van de context op verschillende manieren gedefinieerd. Er bestaat een belangrijk onderscheid tussen extrinsieke kromming, wat voor objecten die zijn ingebed in een andere ruimte (meestal een euclidische ruimte) op een manier wordt gedefinieerd die verband houdt met de kromtestraal van cirkels die raken aan het object, en intrinsieke kromming, die op elk punt in een differentiaalvariëteit is gedefinieerd.

Het oervoorbeeld van extrinsieke kromming is dat van een cirkel, die een kromming heeft die overal gelijk is aan de inverse van haar straal. Kleinere cirkels hebben scherpere bochten en dus een grotere kromming. De kromming van een gladde kromme wordt op elk punt gedefinieerd als de kromming van haar kromtestraal.

In een vlak, dat wil zeggen een scalaire kwantiteit, maar dan in drie of meer dimensies, wordt het vlak beschreven door een krommingsvector, die niet alleen rekening houdt met de richting van de kromming, maar ook met de scherpte van de bocht. De kromming van meer complexe objecten, zoals oppervlakken of zelfs gekromde -dimensionale ruimten, wordt beschreven door meer complexe objecten uit de lineaire algebra, zoals de algemene krommingstensor van Riemann.

Kromming van vlakke krommen float|rechts|250px

Laat een vlakke kromme zijn. De kromming van in een punt van is een maat voor de grootte van de richtingsverandering van een raaklijn aan door , als naar de andere dichtbijzijnde punten wordt verplaatst. Er zijn een aantal gelijkwaardige manieren waarop dit idee kan worden gepreciseerd.

Een manier is meetkundig. Het is natuurlijk om de kromming van een lijn gelijk aan nul te stellen. De kromming van een cirkel met straal is groot als de straal klein is en klein als de straal groot is. De kromming van een cirkel is daarom gedefinieerd als de omgekeerde van de straal: .

Bij een willekeurige kromme en een punt op deze kromme bestaat er een unieke cirkel of lijn die de kromme in de buurt van het dichtst mogelijk benadert: de zogeheten osculerende cirkel in . De kromming van in wordt dan gedefinieerd als de kromming van deze osculerende cirkel of lijn. De straal van de kromming is bijgevolg de reciproque van de kromming.

Een andere manier om de kromming te begrijpen is natuurkundig. Stel dat een deeltje zich langs de kromme voortbeweegt met snelheid , met . Als men de tijd als parameter neemt voor de plaats van op biedt dit een natuurlijke parametrisatie voor de kromme. De richting van de raakvector , waarvoor , hangt van de tijd af. De kromming is dan de grootte van de mate van verandering van .

De kromming is hierin gelijk aan de middelpuntzoekende versnelling, die het deeltje de kromming van in doet doorlopen.

Het is aan te tonen dat deze middelpuntzoekende versnelling voor een afstand die in de limiet naar nul gaat, gelijk is aan de eerder gedefinieerde kromming .

Definitie thumb|De vectoren en in twee punten op een vlakkromme, een getransleerde versie van het tweede frame, de stippellijn, en de verandering in . is de afstand tussen de punten. In de limiet zal in de richting van gaan en beschrijft de kromming de snelheid van de rotatie van het frame.

De kromme heeft de parameterweergave zo gekozen dat over het gehele domein . Wanneer naar de kromming van in een punt wordt gekeken, kan voor een equivalente parameterweergave worden gekozen, zodat . Het is een voorwaarde dat dit ten minste in geldt.

Kies en zodat en .

, de kromming en de kromtestraal worden gegeven door , , en .

Er wordt hier naar de parameter gedifferentieerd.

Teken van de kromming Het teken van de getekende kromming geeft de richting aan, waarin de eenheidsraakvector roteert als een functie van de parameter langs de kromme. Als de eenheidsraaklijn tegen de klok in draait, dan geldt dat Als deze met de klok meedraait, geldt

De getekende kromming hangt af van de betreffende parametrisatie, die voor deze kromme is gekozen. De eenheidscirkel kan bijvoorbeeld worden geparametriseerd door (tegen de klok in, met ), of door (met de klok mee, met ). Preciezer geformuleerd hangt de ondertekende kromming alleen af van de keuze van oriëntatie van een ondergedompelde kromme. Elke ondergedompelde kromme in het vlak laat twee mogelijke oriëntaties toe.

Lokale uitdrukkingen Voor een vlakke kromme die in cartesische coördinaten parametrisch wordt gegeven door is de kromming

waar accenten verwijzen naar afgeleiden met betrekking tot de parameter De getekende kromming is

Deze kan op een coördinaat-onafhankelijke wijze worden uitgedrukt als

Kromming van een grafiek Voor het minder algemene geval van een vlakkromme die expliciet wordt gegeven als en door nu accenten te gebruiken om de afgeleiden met betrekking tot de -coördinaat weer te geven, is de kromming  ,

en is de getekende kromming

Deze uitdrukkingen zijn eveneens geldig voor impliciete functies waar de afgeleiden eveneens kunnen berekend worden.

Deze vergelijking komt veel voor in de natuurkunde en de techniek; bijvoorbeeld in de vergelijkingen van buiging in balken, de 1D-trilling van een gespannen snaar, benaderingen van vloeistofstromen rond oppervlakken (in de luchtvaart), en de vrij-oppervlakrandvoorwaarden in oceaangolven. In dergelijke toepassingen wordt bijna altijd de aanname gemaakt dat de helling klein is in vergelijking met eenheid, zodat de benadering

kan worden gebruikt. Deze benadering levert een relatief eenvoudige lineaire vergelijking op die het verschijnsel beschrijft, dat anders onhandelbaar zou blijven.

Als een kromme in poolcoördinaten wordt gedefinieerd als , dan is haar kromming gelijk aan

waar het accent nu verwijst naar de differentiatie met betrekking tot .

Voorbeeld Beschouw de parabool Men kan de kromme relatief eenvoudig parametriseren als Als men punten gebruikt om de afgeleiden met betrekking tot de parameter aan te geven, dan geldt

Substitueer deze waarden en laat de onnodige absolute waarden vallen, dan verkrijgt men

Kromming van de ruimtekrommen Zoals ook in het geval van krommen in twee dimensies, is de kromming van een regelmatige ruimtekromme in drie dimensies (en hoger) de grootte van de versnelling van een deeltje, dat zich met de eenheidssnelheid langs een kromme beweegt. Dus als de booglengte parametrisatie van is, dan wordt de eenheidsraakvector gegeven door

en is de kromming de grootte van de versnelling:

De richting van de versnelling is de eenheidsnormaalvector die wordt gedefinieerd door

Het vlak met de twee vectoren en wordt het osculerende vlak op de kromme op genoemd. De kromming heeft de volgende meetkundige interpretatie. Er bestaat een cirkel in het osculerende vlak die raakt aan waarvan de Taylor-reeks van de tweede orde op het punt van contact overeenkomt met die van Dit is de osculerende cirkel op de kromme. De straal van de cirkel wordt de kromtestraal genoemd, en de kromming is de reciproke van de kromtestraal:

Het raakvlak, de kromming en de normaalvector beschrijven samen het tweede-ordegedrag van een kromme in de buurt van een punt. In drie dimensies wordt het derde-ordegedrag van een kromme beschreven door een daaraan gerelateerde notie van torsie, die de mate meet, waarin een kromme de neiging heeft om een kurkentrekker in de ruimte uit te voeren. De torsie en de kromming worden aan elkaar gerelateerd door de formules van Frenet-Serret (in drie dimensies) en hun generalisaties, in hogere dimensies.

Lokale uitdrukkingen Voor een parametrisch gedefinieerde ruimtekromme in cartesische coördinaten in drie dimensies gegeven door , is de kromming

waar het accent staat voor differentiatie met betrekking tot de tijd Dit kan onafhankelijk van het gebruikte coördinatensysteem worden uitgedrukt door middel van de formule

waar het vectorkruisproduct is. Op gelijkwaardige wijze,

Hier duidt de getransponeerde matrix aan. Deze laatste formule is ook geldig voor de kromming van de krommen in een Euclidische ruimte van enige dimensie.

Kromming van boog en koordelengte Gegeven twee punten en op laat de booglengte van het gedeelte van de krommen tussen en zijn en laat de lengte van het lijnstuk van naar aangeven. De kromming van op wordt nu gegeven door de limiet

waar de limiet, die is genomen in het punt benadert op Als noemer kan evengoed worden genomen. De formule is geldig in alle dimensies. Door verder de limiet onafhankelijk aan weerszijden van te nemen, is deze definitie van kromming in sommige gevallen ook geschikt voor een singulariteit in De formule volgt door deze te verifiëren voor de osculerende cirkel.

Krommen op oppervlakken thumb|300px|Zadeloppervlak met normale vlakken in de richtingen van de hoofdkrommingen

Wanneer een eendimensionale kromme op een tweedimensionaal oppervlak ligt, dat is ingebed in de driedimensionale ruimte , zijn er meer maten van kromming van het oppervlak mogelijk. Dit zijn de normale kromming, de geodetische kromming en geodetische torsie.

Elke niet-singuliere kromme op een glad oppervlak zal zijn raakvector in het raakvlak van het oppervlak orthogonaal hebben liggen op de normaalvector. De normale kromming is de kromming van de kromme geprojecteerd op het vlak, dat de raakvector van de kromme in het raakvlak van het oppervlak bevat en de normale , van het oppervlak. De geodetische kromming, is de kromming van de kromme geprojecteerd op het raakvlak van het oppervlak en de geodetische torsie of relatieve torsie, , meet de mate van verandering van de normaalvector van het oppervlak rond het raakvlak van de kromme.

Laat de kromme een eenheidssnelheidskromme zijn en , zodat en een orthonormale basis vormen: het Darboux-frame. De bovenstaande grootheden zijn verbonden door:

Hoofdkromming

Alle krommen met dezelfde raakvector zullen dezelfde normale kromming hebben, die dezelfde is als de kromming van de krommen die wordt verkregen door het oppervlak te doorsnijden met het vlak dat en bevat. Rekening houdend met alle mogelijke raakvectoren worden de maximale en minimale waarden van de normale kromming op een punt de zogenaamde hoofdkrommingen, en genoemd, en worden de richtingen van de corresponderende raakvectoren hoofdrichtingen genoemd.

Twee dimensies: kromming van oppervlakken

Gaussiaanse kromming

In tegenstelling tot krommen, die geen intrinsieke, maar wel een extrinsieke kromming hebben (zij hebben alleen een kromming gegeven een inbedding), kunnen oppervlakken een intrinsieke kromming hebben, die onafhankelijk is van een inbedding. De Gaussiaanse kromming, vernoemd naar Carl Friedrich Gauss, is gelijk aan het product van de hoofdkrommingen. Het heeft een dimensie van 1/lengte2 en is positief voor boloppervlakken, negatief voor eenbladige hyperboloïden en nul voor vlakken. Het bepaalt of een oppervlak lokaal convex is (als de kromming positief is) of een lokaal zadelpunt is (als de kromming negatief is).