In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, heet een groep oplosbaar, als met behulp van een eindige rij uitbreidingen van abelse groepen kan worden geconstrueerd.
Definitie Een groep heet oplosbaar als een rij normaaldelers heeft, waarvan de factorgroepen alle commutatief zijn, dat wil zeggen dat er ondergroepen
zijn, zodanig dat een normaaldeler is in en iedere factorgroep commutatief is.
Een andere definitie die op hetzelfde neerkomt is dat oplosbaar is als de rij commutatorgroepen van , de rij
waarin iedere ondergroep de commutatorgroep van de vorige is, de triviale groep {1} van bereikt. betekent dat een normaaldeler is van .
Deze twee definities zijn gelijkwaardig, aangezien voor elke groep en iedere normaaldeler van , het quotiënt dan en slechts dan commutatief is als gelijk is aan of een ondergroep is van . De kleinste zodanig dat wordt de afgeleide lengte van de oplosbare groep genoemd.
Voorbeelden Alle abelse groepen zijn oplosbaar, het quotiënt is altijd abels als abels is. Te bepalen dat een groep oplosbaar is, heeft dus alleen nut voor groepen, die niet commutatief zijn.
Meer in het algemeen geldt dat alle nilpotente groepen oplosbaar zijn. In het bijzonder zijn de eindige -groepen oplosbaar, aangezien alle eindige -groepen nilpotent zijn.
Het eerste voorbeeld van een oplosbare groep, die niet nil-potent is, is de symmetrische groep . De symmetrische groep is ook oplosbaar. Aangezien de alternerende groep de kleinste enkelvoudige niet-abelse groep is, is elke groep met een orde van minder dan 60 oplosbaar is.
Categorie:Groepentheorie