Een ruimtetijddiagram illustreert de eigenschappen van ruimte en tijd uit de speciale relativiteitstheorie van Einstein. Een ruimtetijddiagram wordt ook wel een minkowski-diagram genoemd naar de bedenker Hermann Minkowski. Het tweedimensionale diagram beschrijft de situatie die zich beperkt tot één ruimtedimensie. Voorwerpen bewegen hierbij dus alleen vooruit en achteruit. De ruimtetijd is dan de 2D-variant van de minkowski-ruimte (de tweedimensionale vlakke lorentz-variëteit), en het diagram is een soort kaart daarvan. Het diagram kan helpen bij het begrijpen van bijzondere effecten zoals tijddilatatie en lengtecontractie.
De basis Voor een minkowski-diagram kiezen we een inertiaalstelsel dat centraal staat. Voor dit stelsel is er een horizontale ruimteas en een verticale tijdas. Een punt in het ruimtetijddiagram geeft een ruimtetijdpositie weer. Ter vereenvoudiging van formules en ten behoeve van gedeeltelijke symmetrie tussen ruimte en tijd gebruiken we de grootheid τ = ct, met de lichtsnelheid c = 299.792.458 m/s. Een rechte lijn met een helling van 45° naar rechts of naar links (zoals de gele lijn in de figuur) is zo de wereldlijn van een lichtpuls. thumb|350px|Minkowski-diagram met in rood de -as en in groen de -as
Een rechte lijn met een helling van meer dan 45° naar rechts of naar links is de wereldlijn van een puntobject met constante snelheid (met andere woorden, een puntobject dat in een inertiaalstelsel stilstaat). De rode lijn bijvoorbeeld is de wereldlijn van een object dat met een kwart van de lichtsnelheid naar rechts beweegt.
Gelijktijdigheid hangt af van het inertiaalstelsel. Een rechte lijn met een helling van minder dan 45° naar rechts of naar links (zoals de groene lijn) is een verzameling ruimtetijdposities met in een bepaald inertiaalstelsel een bepaalde tijd.
Verandering van inertiaalstelsel Terwijl ruimtetijdposities nog steeds door dezelfde punten worden aangegeven en de wereldlijnen dus ook niet veranderen (en die van lichtpulsen dus nog steeds een helling hebben van 45°) correspondeert een ander inertiaalstelsel met een ander assenstelsel. Een lijn evenwijdig aan een tijdas verbindt ruimtetijdposities op dezelfde ruimtelijke positie in het betreffende inertiaalstelsel. Een lijn evenwijdig aan een ruimteas verbindt ruimtetijdposities die onderling in het betreffende inertiaalstelsel gelijktijdig zijn. Een nieuwe tijdas is de wereldlijn van een bewegend object dat nu als stilstaand wordt beschouwd. Voor de bepaling van de richting van de bijbehorende nieuwe ruimteas bekijken we, als in het artikel gelijktijdigheid, een wagon die in het nieuwe inertiaalstelsel stilstaat. Twee vanuit het midden van de wagon, in de ruimtetijdoorsprong, uitgaande lichtpulsen bereiken de wanden (met wereldlijnen evenwijdig aan de nieuwe tijdas, op gelijke afstanden daarvan) op plaatstijdposities (de snijpunten met de wereldlijnen van de lichtpulsen) die in het nieuwe inertiaalstelsel gelijktijdig zijn. Men leidt eenvoudig af dat de ruimteas over de tegengestelde hoek verdraaid is, vergeleken met de verdraaiing van de tijdas. We krijgen zo een scheef assenstelsel, met bijbehorende aanpassing van de schaal (dezelfde voor beide assen, zie onder).
Met ( met en dus met ) definiëren we inertiaalstelsel als het stelsel waarin een beweging stilstand is. Dit is dus de vergelijking van de -as. De -as heeft de vergelijking .
De betreffende coördinatentransformatie wordt lorentztransformatie genoemd. Het is een lineaire transformatie van de coördinaten ruimte en tijd, van het type hyperbolische rotatie. Met (lorentzfactor) hebben we:
De bijbehorende matrix kan ook geschreven worden met de rapiditeit r = artanh β.
Het is een symmetrische matrix, waaruit volgt dat deze matrix een orthonormale basis van eigenvectoren heeft. Deze hebben een helling van 45°. De determinant van de matrix is 1. Logischerwijs komt inverteren overeen met het vervangen van β door −β. Bij verwisselen van x en τ blijft de transformatie hetzelfde. De eigenwaarden zijn en . De transformatie komt dus neer op uitrekking langs de ene diagonaal en contractie met dezelfde factor langs de andere (waarbij oppervlakken dus hetzelfde blijven).
Voor de verandering van de ruimtetijdpositie van een lichtpuls naar rechts geldt , en voor een lichtpuls naar links en . wat illustreert dat de lichtsnelheid in hetzelfde is.
De bij de minkowskitensor behorende kwadratische vorm (zie ook pseudo-euclidische ruimte), het ruimtetijdinterval genoemd, hangt niet van af. Dit is de lorentzinvariantie. In matrixvorm (zie omzetting van een kwadratische vorm bij een basisovergang):
Voor twee vaste ruimtetijdposities en verschillende inertiaalstelsels geldt dus dat hoe groter de ruimtelijke afstand is, hoe groter de absolute waarde van het tijdsverschil. In het bijzonder geldt dus voor twee ruimtetijdposities met in één inertiaalstelsel een gelijke ruimtelijke positie dat de absolute waarde van het tijdsverschil in dat stelsel kleiner is dan in ieder ander inertiaalstelsel (tijddilatatie in verband met beweging).
Als de wereldlijnen van de uiteinden van een voorwerp en zijn, is de lengte in gedefinieerd als de afstand in dit stelsel tussen de uiteinden bij in dit stelsel gelijktijdige bepaling van de posities. Uit volgt , dus (lengtecontractie: het voorwerp is het langst in het stelsel waarin het stilstaat; deze maximale lengte heet de eigenlengte). Anders gezegd: de afstand in een inertiaalstelsel tussen twee rechte, evenwijdige wereldlijnen is gedefinieerd als de afstand in dit stelsel tussen de snijpunten van de x-as met deze wereldlijnen. Deze afstand is het grootst in het stelsel waarin de wereldlijnen stilstand representeren. Als het wereldlijnen van twee lichtpulsen zijn is er niet zo'n stelsel en kan de afstand willekeurig groot zijn.
Nog even samengevat (met stelsels S en T, grootheden ruimtepositie en tijd, en veranderingen in absolute waarde): Als een grootheid in S minder verandert dan in T, verandert de andere grootheid in S ook minder dan in T. En dus: Als een grootheid in S gelijk blijft, verandert de andere grootheid in S minder dan in T.
De samenhang tussen lengtecontractie en tijddilatatie kan verder nog als volgt worden verduidelijkt. Stel L en β zijn positief. Als O de oorsprong is, A de ruimtetijdpositie met en , en B de ruimtetijdpositie met en (en dus ), dan is de ruimtelijke afstand tussen O en A in gelijk aan (lengtecontractie) en de tijd tussen O en B in gelijk aan (tijddilatatie). Het quotiënt is β (de lorentzfactor valt weg), corresponderend met het feit dat een wereldlijn van A naar B een beweging in naar links representeert met als snelheid die van ten opzichte van .
Merk op dat de meetkundige afstand van (0,0) tot (3,1) in het diagram gelijk is aan , maar voor hetzelfde punt = (3,1) geldt (de schaal op de -as is groter dan op de x-as). In het algemeen: de meetkundige afstand van (0,0) tot (1,β) in het diagram is gelijk is aan , maar voor hetzelfde punt = (1,β), dat op de -as ligt, geldt (zoals eenvoudig volgt uit de lorentzinvariantie) . De schaal op de -as is dienovereenkomstig voor β ≠ 0 groter dan op de -as. Voor de -as geldt dit analoog, zie ook onder.
Er is geen inertiaalstelsel waarin een lichtpuls stilstaat. Als β naar 1 of −1 nadert, naderen de daarbij behorende ruimteas en tijdas beide naar dezelfde lijn onder een hoek van 45 graden. De betreffende limieten van de ruimteas en de tijdas vormen dus geen basis van de minkowskiruimte. Als een lichtpuls in het oorspronkelijke inertiaalstelsel bijvoorbeeld 1 seconde onderweg is en dus 300.000 km aflegt, dan naderen deze tijd en afstand op de betreffende assen naar 0 seconde en 0 km.
Partiële afgeleiden Voor een goede interpretatie van begrippen als tijddilatatie en lengtecontractie volgen hieronder diverse partiële afgeleiden.
Voor een vaste positie in geldt: (de tijd in gaat sneller; niet te verwarren met voor een vaste positie in , zo bekeken gaat de tijd in langzamer) (proper velocity, posities in komen sneller voorbij dan op zichzelf overeenkomt met de relatieve snelheid, of eventueel zelfs de lichtsnelheid; er gaat niet echt iets sneller dan het licht, het komt doordat afstanden en tijden in verschillende stelsels worden gemeten; zo kan een ruimtevaarder in principe bijvoorbeeld 100 lichtjaar afleggen en toch maar een jaar ouder worden) (het quotiënt van de bovengenoemde waarden is gewoon overeenkomstig de relatieve snelheid)
Verwisseling van x en τ geeft het volgende.
Voor een vaste tijd in geldt: (afstanden in zijn langer; niet te verwarren met voor een vaste tijd in , zo bekeken zijn afstanden in korter; dit laatste betekent dat voor de bovengenoemde ruimtevaarder de reistijd maar een jaar is doordat voor hem de reisafstand geen 100 lichtjaar is, maar veel korter) (voor gaat het om een "momentopname", voor varieert de tijd) (idem)
Als voor alleen de waarde 0 van belang is (zoals wanneer het inertiaalstelsel van een klein ruimteschip alleen erbinnen van belang is) reduceert een en ander tot het volgende: (de eigentijd van het ruimteschip, zie ook onder, gaat langzamer dan de tijd in de buitenwereld waar het langs komt) (proper velocity, posities in de buitenwereld komen volgens de klok in het ruimteschip sneller voorbij dat ruimteschip dan op zichzelf overeenkomt met de relatieve snelheid) (het product van de bovengenoemde waarden is gewoon overeenkomstig de relatieve snelheid)
Als β varieert met de tijd kan men uit de laatstgenoemde partiële afgeleiden door integratie vinden als functie van (zie ook onder) en omgekeerd, en de positie van het ruimteschip als functie van , en als functie van .
Galileitransformatie Vergelijk de galileitransformatie (in dezelfde notatie):
De -as is als boven, de -as is gewoon horizontaal, dezelfde als de -as, en met dezelfde schaal. Een tijdsverschil is de verticale afstand.
Ruimte-, licht- en tijdachtige intervallen Voor twee verschillende ruimtetijdposities zijn er drie mogelijkheden voor wat betreft het teken van het ruimtetijdinterval: Als de verbindingslijn een helling heeft van in absolute waarde minder dan 45° () zegt men dat de ruimtetijdposities ruimteachtig gescheiden zijn. Er kan geen causaal verband zijn tussen gebeurtenissen op beide ruimtetijdposities; het tijdverschil is afhankelijk van het inertiaalstelsel positief, nul of negatief. De ruimtelijke afstand is in elk inertiaalstelsel groter dan nul, en het kleinst in het inertiaalstelsel waarin de ruimtetijdposities gelijktijdig zijn. In het al genoemde voorbeeld van (0,0) tot (3,1) is dit het geval in het stelsel waarbij de groene lijn de ruimte-as is. Als de verbindingslijn een helling heeft van in absolute waarde 45° () zegt men dat de ruimtetijdposities lichtachtig gescheiden zijn (omdat een lichtpuls uitgezonden op de ene ruimtetijdpositie op de andere aankomt). De ruimtetijdpositie van aankomst is ondubbelzinnig in de tijd na de ruimtetijdpositie van vertrek, maar voor twee gegeven lichtachtig gescheiden ruimtetijdposities kan door de keuze van het inertiaalstelsel het tijdsverschil (en dienovereenkomstig de ruimtelijke afstand) elke willekeurige positieve waarde aannemen, zoals volgt uit de bovengenoemde eigenwaarden. Van (0,0) naar (4,4) is bijvoorbeeld in het oorspronkelijke inertiaalstelsel een afstand 4 en een tijdsverschil 4/c, en van (3,1) naar (1,3) de helft, maar in het stelsel waarbij de groene lijn de ruimte-as is wordt dit allebei een afstand en een tijdsverschil . Als de verbindingslijn een helling heeft van in absolute waarde meer dan 45° () zegt men dat deze tijdachtig gescheiden zijn. De ene ruimtetijdpositie is ondubbelzinnig in de tijd na de andere. Het tijdsverschil is het kleinst in het inertiaalstelsel waarin de ruimteposities gelijk zijn, het is de verstrijkende eigentijd bij verplaatsing met een constante snelheid tussen de ruimtetijdposities. Van (0,0) naar (1,4) is dit bijvoorbeeld in het stelsel waarbij de rode lijn de tijdas is; het tijdsverschil is er .