thumb|Ferrersdiagram met de partities van de getallen 1 tot 8 In de getaltheorie is een partitie van een positief natuurlijk getal een manier om dat getal te schrijven als een som van positieve natuurlijke getallen, waarbij dezelfde termen in een andere volgorde niet als andere som geldt. Het aantal partities van wordt gegeven door de partitiefunctie
Een Ferrersdiagram is de grafische voorstelling van een partitie van een getal.
Voorbeelden Partities van het getal 4 4 3 + 1 2 + 2 2 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1
Groepentheorie Het is in de groepentheorie gegeven dat iedere conjugatieklasse in de symmetrische groep door het cykeltype van de elementen binnen die conjugatieklasse is bepaald. Het aantal conjugatieklassen in de symmetrische groep is dus gelijk aan het aantal partities van het getal
{| class="wikitable" !colspan=3| partities van 7 |- ! !! cykeltype !! aantalHet aantal conjugatieklassen in de symmetrische groep met het gegeven cykeltype |- | align="right" | 1 || 1 1 1 1 1 1 1 || align="right" | 1 |- | align="right" | 2 || 2 1 1 1 1 1 || align="right" | 21 |- | align="right" | 3 || 3 1 1 1 1 || align="right" | 70 |- | align="right" | 4 || 2 2 1 1 1 || align="right" | 105 |- | align="right" | 5 || 4 1 1 1 || align="right" | 210 |- | align="right" | 6 || 3 2 1 1 || align="right" | 420 |- | align="right" | 7 || 5 1 1 || align="right" | 504 |- | align="right" | 8 || 2 2 2 1 || align="right" | 105 |- | align="right" | 9 || 4 2 1 || align="right" | 630 |- | align="right" | 10 || 3 3 1 || align="right" | 280 |- | align="right" | 11 || 6 1 || align="right" | 840 |- | align="right" | 12 || 3 2 2 || align="right" | 210 |- | align="right" | 13 || 5 2 || align="right" | 504 |- | align="right" | 14 || 4 3 || align="right" | 420 |- | align="right" | 15 || 7 || align="right" | 720 |- | || || align="right" | 5040
Partitiefunctie De partitiefunctie is gelijk aan het aantal mogelijke partities van het getal Bijvoorbeeld is Per definitie is . Voor het gemak definieert men ook voor negatieve gehele getallen
Waarden p(1) = 1 p(2) = 2 p(3) = 3 p(4) = 5 p(5) = 7 p(6) = 11 p(7) = 15 p(8) = 22 p(9) = 30 p(10) = 42 p(100) = 190.569.292 p(200) = 3.972.999.029.388 p(1000) = 24.061.467.864.032.622.473.692.149.727.991 ≈ 2,4 × 1031
Srinivasa Aaiyangar Ramanujan heeft in de partitiefunctie een aantal congruenties ontdekt. Voor elke gehele geldt
Voortbrengende functie De voortbrengende functie voor is, zoals bewezen door Euler:
Elke factor in dit product kan worden beschouwd als de som van een meetkundige rij, zodat men het kan uitwerken als:
Intermediaire partitiefunctie De intermediaire partitiefunctie is het aantal partities die alleen maar getallen gebruikt die groter of gelijk zijn aan Hier enkele voorbeelden:
p(1, 4) = 5 p(2, 8) = 7 p(3, 12) = 9 p(4, 16) = 11 p(5, 20) = 13 p(6, 24) = 16
De originele partitiefunctie is dus
Hier volgt een tabel met waarden van :
{| class="wikitable" !colspan=2 rowspan=2| ||colspan=10 align=center | k |-align=right ! width="22" | 1 ! width="22" | 2 ! width="22" | 3 ! width="22" | 4 ! width="22" | 5 ! width="22" | 6 ! width="22" | 7 ! width="22" | 8 ! width="22" | 9 ! width="22" | 10 |-align=right ! rowspan=10 width="22" | n ! width="22" | 1 |1||0||0||0||0||0||0||0||0||0 |-align=right !2 |2||1||0||0||0||0||0||0||0||0 |-align=right !3 |3||1||1||0||0||0||0||0||0||0 |-align=right !4 |5||2||1||1||0||0||0||0||0||0 |-align=right !5 |7||2||1||1||1||0||0||0||0||0 |-align=right !6 |11||4||2||1||1||1||0||0||0||0 |-align=right !7 |15||4||2||1||1||1||1||0||0||0 |-align=right !8 |22||7||3||2||1||1||1||1||0||0 |-align=right !9 |30||8||4||2||1||1||1||1||1||0 |-align=right !10 |42||12||5||3||2||1||1||1||1||1
Partities met voorwaarden Van de 22 partities voor het getal 8 zijn er 6 partities met alleen oneven getallen: 7 + 1 5 + 3 5 + 1 + 1 + 1 3 + 3 + 1 + 1 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
Het aantal partities van 8 met alleen verschillende getallen is eveneens gelijk aan 6: 8 7 + 1 6 + 2 5 + 3 5 + 2 + 1 4 + 3 + 1
Leonhard Euler toonde in 1748 aan dat voor alle natuurlijke getallen het aantal partities met oneven getallen altijd gelijk is aan het aantal partities met verschillende getallen. Number Theory, 1971. blz 149–150.
Externe link Uit Hoeveel sommen komt 20? over de berekening van het aantal partities van een getal Referenties
Categorie:Combinatoriek Categorie:Getaltheorie Categorie:Rij van gehele getallen