miniatuur|Hilbert-ruimten kunnen worden gebruikt om de harmonische reeksen van trillende snaren te bestuderen.
In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, is een hilbertruimte, vernoemd naar de Duitse wiskundige David Hilbert, een abstracte reële of complexe vectorruimte die voorzien is van de extra structuur van een inwendig product. Een hilbertruimte is een algemene vorm van het begrip euclidische ruimte en breidt de methoden van de lineaire algebra en de analyse van het tweedimensionale euclidische vlak en de driedimensionale ruimte uit naar ruimten met een eindig of oneindig aantal dimensies.
Hierdoor zijn de begrippen lengte en hoek in een hilbertruimte gedefinieerd en kunnen lengten en hoeken in een hilbertruimte altijd gemeten worden. In aanvulling hierop vereist men verder dat hilbertruimten volledig met betrekking tot de daardoor gedefinieerde norm zijn. Volledigheid houdt in dat een hilbertruimte een voldoende aantal limieten kent, zodanig dat de technieken van de analyse kunnen worden gebruikt in een hilbertruimte.
Hilbertruimten blijken van nature voor te komen in de wiskunde, natuurkunde en de technische wetenschappen, meestal als oneindigdimensionale functieruimten. Vanuit dit gezichtspunt werden de vroegste hilbertruimten in het eerste decennium van de 20e eeuw ook bestudeerd door David Hilbert, Erhard Schmidt en Frigyes Riesz. Hilbertruimten zijn onmisbare hulpmiddelen in de theorieën van partiële differentiaalvergelijkingen, de kwantummechanica, de fourier-analyse (met inbegrip van toepassingen in de signaalverwerking) en de ergodentheorie, die de wiskundige onderbouwing vormt voor de studie van de thermodynamica. John von Neumann bedacht 'hilbertruimte' voor het abstracte begrip dat 'ten grondslag ligt aan veel van deze uiteenlopende toepassingen'. Het succes van de methoden van de hilbertruimte luidde het begin in van een zeer vruchtbare periode voor de functionaalanalyse. Afgezien van de klassieke euclidische ruimten zijn voorbeelden van hilbertruimten ruimtes van kwadratisch integreerbare functies, rijruimten, sobolev-ruimten, bestaande uit veralgemeende functies en hardy-ruimten van holomorfe functies.
Meetkundige intuïtie speelt een belangrijke rol in veel aspecten van de hilbertruimtetheorie. Analoga van de stelling van Pythagoras en de parallellogramwet zijn geldig in een hilbertruimte. Op een dieper niveau spelen loodrechte projecties op een deelruimte (het analogon van het bepalen van de hoogtelijn in een driehoek) een belangrijke rol in optimalisatieproblemen en andere aspecten van de theorie. Een element van een hilbertruimte kan uniek worden bepaald door zijn coördinaten met betrekking tot een verzameling van coördinaatassen (een orthonormale basis), in analogie met cartesiaanse coördinaten in het vlak. Als deze verzameling van coördinatenassen aftelbaar oneindig is, betekent dit dat een hilbertruimte ook beschreven kan worden in termen van oneindige rijen die kwadratisch optelbaar zijn. Lineaire afbeeldingen op een hilbertruimte zijn eveneens vrij concrete objecten: in veel gevallen zijn het transformaties die de ruimte met verschillende factoren in onderling loodrechte richtingen oprekken of inkrimpen in een betekenis die gepreciseerd wordt door het bestuderen van hun spectrum.
Elke hilbertruimte is een banachruimte, maar niet alle banachruimten zijn hilbertruimten. Als een banachruimte een hilbertruimte is, kan men het inwendig product van de hilbertruimte op eenduidige wijze reconstrueren uit de normfunctie.
Definitie en voorbeelden Voorbeeld: euclidische ruimte Een van de bekendste voorbeelden van een hilbertruimte is de euclidische ruimte, die bestaat uit de driedimensionale vectoren, aangeduid met , en uitgerust met een inwendig product als additionele structuur. Het inwendig product van twee vectoren en is een reëel getal , dat voldoet aan de eigenschappen:
het is symmetrisch: ; het is lineair in zijn eerste, en vanwege de symmetrie ook tweede, argument: voor alle scalairen en vectoren en ; het is positief-definiet: voor alle vectoren is met gelijkheid dan en slechts dan als .
Als en worden weergegeven in cartesische coördinaten, wordt het inwendig product gedefinieerd door
Elke andere operatie op paren van vectoren die, net als het inwendig product hierboven, voldoet aan deze drie eigenschappen, heet ook (reëel) inwendig product. Een vectorruimte die is uitgerust met een dergelijk inwendig product, staat bekend als een reële inwendig-productruimte. Elke eindigdimensionale inwendig-productruimte is dus een hilbertruimte. Het basiskenmerk van het inwendig product, dat het verbindt met de euclidische meetkunde, is dat het gerelateerd is aan zowel de lengte of norm van een vector, aangeduid door als aan de hoek tussen twee vectoren en volgens de formule
Multivariabele analyse in de euclidische ruimte berust op de mogelijkheid limieten te bepalen en over bruikbare criteria te beschikken om te kunnen concluderen dat limieten bestaan. Een wiskundige reeks
van vectoren in de , convergeert absoluut als de som van de lengten als een gewone reeks van reële getallen convergeert, Elementary Classical Analysis, W. H. Freeman and Company, San Francisco 1974. loc=§2.8, elders gratis pdf beschikbaar, dus als:
Net als met een reeks van scalairen, convergeert ook een absoluut convergente reeks vectoren naar een limietvector in de euclidische ruimte, in de zin dat er een vector is, zodanig dat:
Deze eigenschap drukt de volledigheid van de euclidische ruimte uit: een reeks die absoluut convergeert, convergeert ook in normale zin. Anders geformuleerd: iedere cauchyrij is convergent.
Definitie Een hilbertruimte is een reële of complexe vectorruimte voorzien van een inwendig product, die tevens een volledige metrische ruimte is met betrekking tot de door het inwendig product geïnduceerde norm. Dat wil zeggen dat elke cauchyrij in convergent is, dus een limiet in heeft.Het wiskundige materiaal in dit artikel kan in elk goed tekstboek over functionaalanalyse worden gevonden, zoals , Foundations of Modern Analysis, uitgebreide en verbeterde druk, Academic Press 1969 of , Functional Analysis, Mc Graw-Hill, 2de uitgave 1991.
De door het inwendig product geïnduceerde norm wordt gedefinieerd als de reëelwaardige functie
en de afstand tussen twee punten en in wordt in termen van de norm gedefinieerd als
Ten opzichte van een op deze manier gedefinieerde afstandsfunctie is elke ruimte met een inwendig product een metrische ruimte. Zo'n inwendig-productruimte staat soms bekend als een prehilbertruimte., 1969. loc=§6.2 Een prehilbertruimte wordt pas een hilbertruimte, indien zij in aanvulling daarop ook volledig is. Volledigheid wordt uitgedrukt door gebruik te maken van het cauchycriterium voor reeksen in : een prehilbertruimte is volledig als iedere cauchyrij in deze ruimte een limiet heeft, waarnaar de rij convergeert.
Volledigheid kan worden gekarakteriseerd door de volgende gelijkwaardige conditie: als een reeks van vectoren absoluut convergeert in de zin dat ,
dan convergeert de reeks in , in de zin dat de partiële sommen naar een element van convergeren.
Hilbertruimten zijn, omdat het volledige genormeerde ruimte zijn, per definitie ook banachruimten. Als zodanig zijn zij topologische vectorruimten, waardoor de begrippen die in de topologie zijn gedefinieerd, zoals de eigenschappen openh en gesloten van deelverzamelingen, ook in hilbertruimten goed zijn gedefinieerd. Van bijzonder belang is de gesloten lineaire deelruimte van een hilbertruimte die, met het inwendig product geïnduceerd door een restrictie, ook volledig is, te weten een gesloten verzameling in een volledige metrische ruimte, dus op zich ook een hilbertruimte.
Tweede voorbeeld: rijruimten De rijruimte bestaat uit alle oneindige rijen van complexe getallen zodanig dat de reeksen
convergeren. Het inwendig product van wordt gedefinieerd door ,
waarvan het bestaan gegarandeerd is doordat de laatste reeks convergeert op grond van de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz.
De ruimte is volledig, aangezien een (in norm) absoluut convergente reeks van elementen uit convergeert naar een element van . Het bewijs is elementair in de wiskundige analyse, en laat zien dat reeksen van elementen uit de ruimte op dezelfde manier behandeld kunnen worden als een reeks van complexe getallen of als vectoren in een eindigdimensionale euclidische ruimte., 1969
Geschiedenis miniatuur|David Hilbert
Voorafgaand aan de ontwikkeling van hilbertruimten waren er al andere generalisaties van euclidische ruimten bekend bij wis- en natuurkundigen. Met name het idee van een abstracte lineaire ruimte had aan het einde van de 19e eeuw ingang gevondenDit kwam grotendeels voort uit het werk van Hermann Grassmann, dat onder de aandacht werd gebracht door August Ferdinand Möbius (Boyer en Merzbach, 1991, pag. 584-586). De eerste moderne axiomatische behandeling van abstracte vectorruimten was afkomstig van Giuseppe Peano (1888) (Grattan-Guinness, (2000, loc §5.2.2); (O'Connor, Robertson (1996}. Een abstracte vectorruimte is een ruimte, waarvan de elementen bij elkaar kunnen worden opgeteld en vermenigvuldigd kunnen worden met scalaire waarden (zoals reële- of complexe getallen), zonder deze elementen noodzakelijkerwijs te identificeren met vectoren, zoals positie- en impulsvectoren in natuurkundige systemen.
Andere soortgelijke structuren die door wiskundigen aan het begin van de 20e eeuw reeds werden bestudeerd, waren onder meer ruimten van rijen, met inbegrip van reeksen, en functieruimten,Een gedetailleerde beschrijving van de geschiedenis van hilbertruimten kan worden gevonden in de "Note historique" van , Eléments de mathématique: espaces vectoriels topologiques chapitres 1 à 5, Masson 1981. Deze ruimten kunnen op natuurlijke wijze worden beschouwd als lineaire ruimten. Functies kunnen bijvoorbeeld bij elkaar worden opgeteld of vermenigvuldigd worden met scalairen. Deze operaties voldoen aan dezelfde algebraïsche wetten die gelden voor optelling en scalaire vermenigvuldiging van ruimtelijke vectoren.
In het eerste decennium van de 20e eeuw hebben parallelle ontwikkelingen tot de introductie van hilbertruimten geleid. De eerste van deze was de constatering die naar voren kwam tijdens de studie van David Hilbert en Erhard Schmidt (1908) naar integraalvergelijkingen, dat twee reëelwaardige kwadratisch integreerbare functies en op een interval een inwendig product
hebben, dat veel van de bekende eigenschappen van het euclidische inwendig product heeft. Met name het idee van een familie van orthogonale functies is van betekenis. Schmidt maakte gebruik van de overeenkomst van dit inwendig product met het gebruikelijke inwendig product om een analogon te bewijzen van de spectrale decompositie voor een operator van de vorm
waarin een continue functie is die symmetrisch is in en . De resulterende eigenfunctie-expansie drukt de functie uit als een reeks van de vorm
waarin de functies een orthogonale familie vormen, in de zin dat voor alle . Er zijn echter eigenfunctie-ontwikkelingen die niet op een geschikte wijze naar kwadratisch integreerbare functies convergeren, als gevolg van de onvolledigheid waardoor convergentie niet gewaarborgd is. (1946) loc=§IX.1