Een ketenvoorwaarde is een begrip uit de abstracte wiskundige verzamelingenleer. Ketenvoorwaarden werden voor het eerst geformuleerd door Emmy Noether in de theorie van commutatieve ringen.
Definitie Zij een verzameling met elementen en ≤ een partiële orde op . Het paar voldoet aan de stijgende ketenvoorwaarde als een van de volgende twee gelijkwaardige uitspraken waar is: Iedere oneindige stijgende rij is stationair, dat wil zeggen er bestaat een index , zodat Iedere niet-lege deelverzameling van heeft een maximaal element.
De omgekeerde relatie ≥ van een partiële orde ≤ is eveneens een partiële orde. Men zegt dat aan de dalende ketenvoorwaarde voldoet als aan de stijgende ketenvoorwaarde voldoet.
Voorbeelden Als een eindige verzameling is, dan voldoet elke partiële orde aan de stijgende en de dalende ketenvoorwaarde. De natuurlijke getallen met de gewone orde voldoen aan de dalende ketenvoorwaarde, maar niet aan de stijgende ketenvoorwaarde. De gehele getallen met de gewone orde voldoen aan geen van beide ketenvoorwaarden. Een totale ordening die aan de dalende ketenvoorwaarde voldoet, noemt men een welordening. Een stijgende rij van niet-lege deelverzamelingen van een verzameling , dus waarvoor geldt dat:
voldoet aan de stijgende ketenvoorwaarde als de rij na een eindig aantal stappen stationair wordt, dat wil zeggen dat vanaf zekere index geldt dat .
Een dalende rij die stationair wordt voldoet aan de dalende ketenvoorwaarde,
Oorsprong in de ringtheorie De oorspronkelijke stijgende ketenvoorwaarde van Emmy Noether sloeg op de verzameling van alle idealen van een gegeven commutatieve ring met eenheidselement, met als partiële orde de relatie is een deelverzameling van. Een ring waarvan de idealen aan een dergelijke stijgende ketenvoorwaarde voldoen, noemt men thans een Noetherse ring. Als de idealen aan de overeenkomstige dalende ketenvoorwaarde voldoen, spreekt men van een Artiniaanse ring.
Uitbreiding tot modulen De idealen van een commutatieve ring met eenheid zijn gewoon de deelringen, eventueel zonder eenheidselement, van die voor de gewone vermenigvuldiging een moduul vormen over . Men spreekt in het algemeen over een Noethers moduul als de deelmodulen ervan aan de stijgende ketenvoorwaarde voldoen en over een Artiniaans moduul als de deelmodulen aan de dalende ketenvoorwaarde voldoen.
Alle Artiniaanse ringen zijn in de commutatieve algebra ook Noethers. Voor algemene modulen geldt deze implicatie niet, zoals het volgende voorbeeld aantoont.
Voorbeeld Zij een priemgetal. Beschouw voor alle natuurlijke getallen de abelse groep van , van breuken modulo hun hele deel, die door de equivalentieklassen wordt gevormd van breuken waarvan de noemer een deler is van . Zij de ondergroep gevormd door de equivalentieklassen van breuken waarvan de noemer een willekeurige macht is van . Dan is de vereniging van alle en
waarbij de inclusies tussen verzamelingen strikt zijn, dat wil zeggen
De zijn de enige echte ondergroepen van .
Abelse groepen zijn gelijkwaardig met modulen over de ring dus is een voorbeeld van een Artiniaans moduul dat niet Noethers is.
Literatuur en . Introduction to Commutative Algebra, Inleiding tot de commutatieve algebra, 1696. Westview Press
Categorie:Commutatieve algebra Categorie:Ordetheorie