Wiskunde (minder gebruikelijk: mathematiek, mathematica of mathesis) is een formele wetenschap die onder andere getallen, patronen en abstracte structuren bestudeert. De wiskunde komt voort uit het rekenen en de meetkunde, maar omvat veel meer dan dat.
Wiskundige structuren worden met strikte logische redeneringen opgebouwd. Wiskundige beweringen waarvan de juistheid is aangetoond heten stellingen; zij doen uitspraken over gedefinieerde objecten en formuleren verbanden daartussen. De formele redenering die aantoont dat een stelling waar is, noemt men een wiskundig bewijs. Bij het opstellen van een bewijs wordt uitgegaan van een (klein) aantal uitgangspunten (axioma's) en van definities.
Wiskunde wordt niet alleen zelfstandig bestudeerd, de opgedane kennis wordt toegepast in allerlei dagelijkse situaties en in andere wetenschappen. Men spreekt dan van toegepaste wiskunde tegenover zuivere wiskunde. De scheidslijn is echter niet heel duidelijk en wat begon als zuivere wiskunde blijkt later toch regelmatig een toepassing te vinden.
In toepassingen wordt gerekend op basis van reeds bewezen stellingen. Dat kan eenvoudig zijn, bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras in de meetkunde om een afstand te bepalen. Maar soms is het probleem in het dagelijks leven zo uitgebreid, dat er een (super)computer voor nodig is om binnen een redelijke tijd een oplossing te vinden. Een voorbeeld daarvan is de weersverwachting in de meteorologie: de atmosfeer wordt toegepast wiskundig gemodelleerd met behulp van differentiaalvergelijkingen. Meetwaarden, afkomstig van meetpunten liefst over de hele aardbol op verschillende hoogten, bepalen na bewerking een begintoestand vanwaaruit de toekomstige druk, wind en luchtvochtigheid wordt berekend. Het doorrekenen van de differentiaalvergelijkingen die uit deze meetgegevens volgen, kost enorm veel computertijd.
Algemeen thumb|Het oudst bekende wiskundige geschrift, de Rhind-papyrus, uit de klassieke Egyptische beschaving.
In de meeste talen is het woord voor wiskunde afgeleid van het Griekse woord μάθημα (máthèma), dat wetenschap, kennis of leren betekent. Voorbeelden: Engels: mathematics, Duits: Mathematik, Frans: mathématiques. Het Nederlandse woord wiskunde is door Simon Stevin in de 17e eeuw als wisconst (kunst van het gewisse of zekere) aan deze wetenschap verbonden.Margriet van der Heijden. Oerknal: dat is pas klare taal. NRC Handelsblad, 15 mei 2021.
Veel onderwerpen van studie in de wiskunde vinden hun oorsprong in andere exacte wetenschappen zoals de natuurkunde en de astronomie. Dit wordt de toegepaste wiskunde genoemd. De wiskunde wordt gebruikt als instrument in deze wetenschappen. Een belangrijk deel van de toegepaste wiskunde betreft de wijze waarop computerberekeningen kunnen worden gedaan. Het deelgebied numerieke wiskunde bijvoorbeeld houdt zich volledig bezig met het onderzoeken van berekeningen.
Hiernaast doen wiskundigen ook fundamenteel onderzoek naar de opbouw en aard van getallen en andere mathematische structuren, zoals ruimtes, functies en groepen. Dit onderzoek kan een puur theoretische invalshoek hebben, of gericht zijn op een algemene oplossing voor vraagstukken op diverse gebieden. De wiskunde die puur gericht is op het onderzoek naar de theorie van mathematische structuren en samenhangen, wordt de zuivere wiskunde genoemd. Desalniettemin kunnen resultaten uit de zuivere wiskunde ook toepassing vinden buiten de wiskunde. De scheidslijn tussen zuivere en toegepaste wiskunde is dan ook niet geheel strikt.
Definities van de wiskunde Aristoteles definieerde wiskunde als "de wetenschap van de hoeveelheid" en deze definitie werd gebruikt tot de 18e eeuw. Beginnende in de 19e eeuw, toen de studie van de wiskunde in toenemende mate strikter werd en ook begon met meer abstracte onderwerpen aan te pakken, zoals de groepentheorie en projectieve meetkunde, die geen duidelijke relatie meer hadden met hoeveelheid en metingen, begonnen wiskundigen en filosofen een verscheidenheid van nieuwe definities voor te stellen. Sommige van deze definities benadrukken het deductieve karakter van een groot deel van de wiskunde, andere benadrukken haar abstractheid en weer andere benadrukken bepaalde onderwerpen binnen de wiskunde. Vandaag de dag is er nog steeds geen consensus over de definitie van de wiskunde, zelfs niet bij professionals. Er is zelfs geen consensus over de vraag of de wiskunde een kunst is of een wetenschap. Een groot aantal professionele wiskundigen is niet geïnteresseerd in een definitie van de wiskunde, of zij beschouwen het als ondefinieerbaar. Sommigen zeggen gewoon "Wiskunde is wat wiskundigen doen".
Geschiedenis thumb|class=skin-invert-image|Bewijs uit de Elementen van Euclides, waarin wordt aangetoond dat er bij elk lijnstuk een gelijkzijdige driehoek bestaat waarvan het lijnstuk een zijde is. Het is een bewijs door constructie.
De geschiedenis van de wiskunde gaat terug tot in de prehistorie. Er zijn kerfstokken uit de prehistorie gevonden, die erop wijzen dat men toen al telde. - De geschiedenis van de wiskunde, 1988, blz 15-16 De wiskunde is daarna uit de rekenkunde ontstaan en was reeds bekend in de vroegste culturen. Zo is uit Egypte de Rhind-papyrus bekend. De Babyloniërs ontwikkelden een geavanceerd getallensysteem gebaseerd op het getal 60. Ook gebruikten zij algebraïsche formules als en tafels met machten om berekeningen sneller te kunnen uitvoeren. Bovendien kenden zij reeds de stelling van Pythagoras. De wiskunde als abstracte wetenschap werd het eerst beoefend in het klassieke Griekenland, waar bijvoorbeeld Euclides zijn 5 axioma's formuleerde die meer dan twintig eeuwen stand hielden. Vanuit deze axioma's bouwden hij en zijn volgelingen de meetkunde als zelfstandige tak van de wiskunde op. Met de ondergang van de Griekse cultuur kwam de ontwikkeling van de wiskunde in het Westen tijdelijk tot stilstand.
Pas in de middeleeuwen pakten Arabische wiskundigen de draad weer op. Via hen werd bijvoorbeeld het cijfer 0 vanuit India in Europa geïntroduceerd. Een bloeiperiode begon met het werk van al-Chwarizmi rond 820 en de vertaling van Griekse teksten. Aan al-Chwarizmi wordt het ontstaan van de algebra toegeschreven. Het woord algoritme is van zijn naam afgeleid. Het duurde tot na de middeleeuwen voor Europa de leidende rol van de Arabische cultuur kon overnemen. Omdat wiskunde een verplicht onderdeel was op de Europese universiteiten, werd al in de middeleeuwen een groot deel van de achterstand op de Arabieren ingelopen.
De westerse wiskunde nam een hoge vlucht vanaf de herontdekking van klassieke en Arabische bronnen in de renaissance en de ontwikkeling van de boekdrukkunst. In de 16de eeuw kwam de algemene oplossing van derde- en vierdegraadsvergelijkingen en de ingebruikname van de decimale schrijfwijze. In de 17de eeuw ontstond de differentiaal- en integraalrekening als hulpmiddel bij berekeningen in de hemelmechanica. Vanaf de 18de eeuw verschenen de complexe getallen.
In de 19de eeuw kreeg de wiskunde haar huidige vorm met strenge eisen aan de logische geldigheid van de bewijsvoering, met name ook in de tot dan toe eerder "intuïtieve" differentiaalrekening. De eis dat wiskundige begrippen hun definitie niet ontlenen aan waarneming of intuïtie, gaf in die periode ook aanleiding tot de ontwikkeling van de niet-euclidische meetkunde. In 1826 stichtte Crelle het eerste gespecialiseerde wiskundige tijdschrift, Journal für die reine und angewandte Mathematik. Vanaf de tweede helft van de 19de eeuw verschenen de (nationale) wiskundige genootschappen. De axiomatische verzamelingenleer leidde tot een logische eenmaking van voorheen afzonderlijke "takken" van de wiskunde zoals algebra, meetkunde en differentiaalrekening. Pioniers zoals Francis Galton en Adolphe Quetelet pasten wiskundige technieken toe in de sociale wetenschappen.
Vanaf de 20ste eeuw werd de wiskunde meegesleurd in de stroomversnelling van de ontwikkeling van de natuurwetenschappen en de technologie. Na de Tweede Wereldoorlog leidde de beschikbaarheid van elektronische computers tot nieuwe inzichten in bestaande problemen, maar ook tot het nieuwe onderzoeksgebied van de theoretische informatica.
Positie in de wetenschap Wiskunde neemt in de wetenschap een speciale positie in door de wijze waarop kennis verkregen wordt. Waar bijvoorbeeld natuurwetenschappen gebaseerd zijn op kennis op basis van het ontbreken van een falsificatie, bouwt wiskunde haar kennis op uit zuivere afleiding uit haar uitgangspunten. Wiskundige kennis is derhalve niet toetsbaar met experimenten. Waar natuurwetenschappelijke kennis per definitie voorlopig is, is wiskundige kennis pas kennis als ze bewezen en definitief is, maar dan is die kennis ook per definitie eeuwig geldend.
De vraag is dan ook bij welk soort wetenschappen wiskunde gerekend moet worden. Doordat de wiskunde veelal door problemen uit de natuurwetenschappen is geïnspireerd en ook vooral haar toepassingen vindt in die wetenschappen, wordt de wiskunde veelal bij de natuurwetenschappen ingedeeld of in bredere zin bij de bètawetenschappen. Dit ondanks het verschil in wijze van verkrijgen van kennis. In een moderne kijk op de filosofie van de wiskunde wordt er echter, in navolging van Imre Lakatos, op gewezen dat ook wiskunde in wezen haar eigen kennis vermeerdert door een empirische kijk. Er wordt, vaak na aanwijzingen in rekenwerk, een vermoeden geuit waarvoor bevestiging wordt gezocht middels een wiskundig bewijs.
Door haar strikte redeneerwerk en methodologie heeft wiskunde ook veel gemeen met filosofie. Met name de logica en grondslagen van de wiskunde zijn duidelijke overlapgebieden. Met dat in het achterhoofd zou men wiskunde ook bij de alfawetenschappen in kunnen delen. Wiskunde houdt zich bezig met producten van de menselijke geest.
Ten slotte wordt wiskunde, samen met bijvoorbeeld informatica, vaak ingedeeld als formele wetenschap.
In de praktijk blijkt echter dat wiskunde aan universiteiten ingedeeld is bij een faculteit voor natuurwetenschappen, al is een combinatie wiskunde-informatica of een aparte wiskundefaculteit ook niet ongebruikelijk.
Bewijzen De fundamentele wiskundige activiteit is het leveren van een wiskundig bewijs, het is de manier waarop wiskundige kennis wordt verkregen. Het leveren van wiskundig bewijs gaat terug op de oude Grieken. Uit oudere beschavingen zijn geen bewijzen bekend, de wiskunde bestond vóór de Grieken uit het oplossen van concrete problemen. Een belangrijke bron vormen de Elementen van Euclides, waarin naast een axiomatische opbouw en definities ook ruim 400 stellingen staan met bewijzen.
Voor het verkrijgen van het bewijs gebruikt men de regels van de logica. Meer in het bijzonder worden deductieve methodes gebruikt, en geen inductieve (met uitzondering van "volledige inductie") of empirische. Men moet zich baseren op axioma's, definities en eerder bewezen stellingen. Het vakgebied dat zich met het bewijzen bezighoudt is de bewijstheorie.
Vroeger bestond het werk van een wiskundige dan ook vooral uit het schrijven van bewijzen. Zijn gereedschappen waren potlood en papier, soms passer en liniaal en nog zeldzamer een rekenmachine. Dat veranderde echter met de opkomst van de computer. Hierdoor is het veel eenvoudiger om wiskundig te experimenteren. Er is bovendien zowel software voor het helpen bij algebra en analyse, de computeralgebrasystemen, als bij het onderzoeken van meetkunde, de dynamische meetkunde software. Chaostheorie en fractals zijn voorbeelden van wiskunde die meer uit experimenten is voortgekomen. De werkelijke kennis is echter uiteindelijk in het klassieke raamwerk van het wiskundig bewijs geplaatst.
Wiskundige notatie en taal thumb|right|Margarita Philosophica, Gregor Reisch (1503)