thumb|class=skin-invert-image|Tweeplaatsige relatie, die de relatie tussen de elementen in twee verzamelingen en vastlegt
In de wiskunde koppelt een tweeplaatsige relatie of binaire relatie tussen twee verzamelingen elementen van de ene verzameling aan elementen van de andere. Anders geformuleerd is een tweeplaatsige relatie de wiskundige beschrijving van een zeker verband tussen de elementen van twee verzamelingen. Een tweeplaatsige relatie is een relatie met een plaatsigheid twee.
Tweeplaatsige relaties worden vaak kortweg relatie genoemd. Historisch gezien werden met relaties alleen tweeplaatsige relaties aangeduid, maar het begrip is later uitgebreid.
Inleiding
Een intuïtief alledaags voorbeeld van een tweeplaatsige relatie is het begrip 'bezitten'. De tweeplaatsige relatie bezitten koppelt mensen aan objecten, oftewel elementen uit de verzameling van alle mensen aan elementen uit de verzameling van alle objecten. De koning wordt door deze relatie aan de kroon gekoppeld en als Dirk en Anna samen een huis gekocht hebben, dan worden zij beiden aan dat huis gekoppeld. Mensen die niets bezitten worden door de relatie bezitten nergens aan gekoppeld. De koppeling is in zekere zin dus gericht.
Tweeplaatsige relaties zijn in de wiskunde alomtegenwoordig. Voorbeelden zijn de ongelijkheid en deelbaarheid in de rekenkunde en congruentie in de meetkunde. Daarnaast wordt functie, een van de belangrijkste begrippen in de wiskunde, meestal gedefinieerd als een speciaal geval van een tweeplaatsige relatie. Andere exacte wetenschappen passen tweeplaatsige relaties ook veelvuldig toe, in uiteenlopende gebieden. Ze worden in de informatica onder andere gebruikt in het relationele model voor databases, maar ook in de economie, biologie, natuurkunde en andere wetenschappen worden diverse fenomenen met tweeplaatsige relaties gemodelleerd.
Tweeplaatsige relaties liggen aan de basis van de ordetheorie. Een ordening op een verzameling is pas bepaald als de orde tussen ieder paar elementen bekend is of bekend is dat die twee elementen niet met elkaar kunnen worden vergeleken.
Definitie Een tweeplaatsige relatie tussen de verzamelingen en is een 3-tupel waarin ,
dus waarin een deelverzameling is van het cartesisch product van en . Alternatief wordt een tweeplaatsige relatie wel gedefinieerd als het 3-tupel in plaats van .
Als spreekt men van een homogene relatie, of van een endorelatie.
Als duidelijk wordt vermeld of uit de context blijkt, uit welke verzamelingen de leden van de geordende paren komen, wordt een tweeplaatsige relatie soms eenvoudiger gedefinieerd als een verzameling geordende paren, overeenkomend met uit de definitie.
In sommige systemen van de axiomatische verzamelingenleer worden relaties gedefinieerd op klassen in plaats van verzamelingen. Deze aanpassing is onder andere nodig om de begrippen is een element van en is een deelverzameling van te kunnen beschrijven, zonder dat dit tot de russellparadox leidt.
Terminologie Van een tweeplaatsige relatie tussen de verzamelingen en wordt wel aangeduid als de bron(verzameling) en als de doelverzameling of kort als het doel. De verzameling heet de grafiek van . In de theorie over relaties worden de verzamelingen en ook wel aangeduid als de domeinen van , wat een zekere verwarring schept met het begrip domein als de deelverzameling van met de elementen waarvoor gedefinieerd is (dat kan een strikte deelverzameling van zijn). De verzameling wordt ook wel het codomein van genoemd.
Men zegt ook wel dat een relatie over en is. Van een tweeplaatsige relatie wordt gezegd dat een tweeplaatsige relatie op is of dat een tweeplaatsige relatie over is.
Van het geordende paar worden en argumenten van genoemd. Daarbij is een linker argument en een rechter argument. Verder zegt men in dit geval dat in staat tot . Als uit de context duidelijk is welke relatie wordt bedoeld, zegt men ook dat in relatie tot staat. Als de definitie gebruikt wordt waarbij een tweeplaatsige relatie een verzameling geordende paren is, zegt men dat in relatie tot staat als .
De lege relatie over en is de tweeplaatsige relatie tussen en waarvan de grafiek de lege verzameling is. Als de lege relatie tussen en is, geldt dat er geen en zijn zodanig dat in in relatie tot staat.
De universele relatie tussen en is de tweeplaatsige relatie waarvan de grafiek het cartesisch product van en is. Als de universele relatie tussen en is, geldt voor alle en dat in in relatie tot staat.
Notatie De uitspraak ' staat in relatie tot ' wordt op verschillende manieren genoteerd:
functienotatie: infixnotatie: Poolse notatie:
De functienotatie komt overeen met de indicatorfunctie van de grafiek van .
Voorbeeld +Oceanen en werelddelen NA ZA AF EU AZ AU AA Indische Oceaan 0 0 1 0 1 1 1 Noordelijke IJszee 1 0 0 1 1 0 0 Atlantische Oceaan 1 1 1 1 0 0 1 Stille Oceaan 1 1 0 0 1 1 1 thumb|Oceanen en werelddelen
Geef in een tweeplaatsige relatie weer welke oceanen in de wereld aan welke werelddelen liggen.
Indische Oceaan, Noordelijke IJszee, Atlantische Oceaan, Stille Oceaan zijn de oceanen en Noord-Amerika, Zuid-Amerika, Afrika, Europa, Azië, Australië, Antarctica de werelddelen in de wereld. betekent dat oceaan tegen werelddeel aan ligt (op basis van de infixnotatie is dus 'ligt aan tegen'). De overeenkomende incidentiematrix is:
De verzameling paren is: Indische Oceaan, AfrikaIndische Oceaan, AziëIndische Oceaan, Australië Indische Oceaan, AntarcticaNoordelijke IJszee, Noord-AmerikaNoordelijke IJszee, Europa Noordelijke IJszee, AziëAtlantische Oceaan, Noord-AmerikaAtlantische Oceaan, Zuid-Amerika Atlantische Oceaan, AfrikaAtlantische Oceaan, EuropaAtlantische Oceaan, Antarctica Stille Oceaan, Noord-AmerikaStille Oceaan, Zuid-AmerikaStille Oceaan, Azië Stille Oceaan, AustraliëStille Oceaan, Antarctica
Deze tweeplaatsige relatie is noch een functie, noch een afbeelding.
Eigenschappen van tweeplaatsige relaties Een tweeplaatsige relatie tussen en heet:
links-volledig: als voor alle er een is, zodanig dat . surjectief of rechts-volledig: als voor alle er een is, zodanig dat . injectief of links-definiet: als geen twee verschillende linkerargumenten van in relatie staan tot hetzelfde rechterargument van . Dat wil zeggen dat voor alle en geldt: als en dan . rechts-definiet of functioneel: als geen enkel linkerargument van in relatie staat tot twee verschillende rechter argumenten van . Een andere beschrijving van dezelfde eigenschap is dat ieder linkerargument van in relatie staat tot ten hoogste één rechterargument van . Beide omschrijvingen willen zeggen dat voor alle en geldt: als en dan . bijectief of een-eenduidig: als zowel surjectief als injectief is, of anders gezegd links-volledig, rechts-volledig, links-definiet en rechts-definiet is.
Een links-volledige rechts-definiete tweeplaatsige relatie over en wordt een afbeelding van naar genoemd. Een afbeelding waarvan het het codomein een lichaam (Ned) / veld (Be) is, is een functie.
Een tweeplaatsige relatie die links- en rechts-volledig is wordt een correspondentierelatie genoemd, maar is niet noodzakelijk functioneel. De combinatie van functionaliteit en injectiviteit wordt een-eenduidigheid of een-op-een genoemd, maar is noch noodzakelijk links-volledig, noch rechts-volledig. Een bijectieve tweeplaatsige relatie wordt meestal een bijectie genoemd, maar ook een een-op-een-correspondentie. Het verschil tussen een-op-een en correspondentie wordt niet altijd gemaakt. Het verschil is dus dat in een bijectie de beide verzamelingen en evenveel elementen hebben en dat alle elementen uit beide verzamelingen met een element van de andere verzameling zijn gekoppeld en dat in een functionele en injectieve tweeplaatsige relatie er elementen in en kunnen voorkomen, die niet aan een element uit de andere verzameling zijn gekoppeld.
Voorbeelden van bijecties zijn het isomorfisme is in de algebra en het homeomorfisme in de topologie. Bijecties worden in wiskundige bewijzen geconstrueerd om uiteenlopende feiten aan te tonen. Een voorbeeld hiervan is het aantonen van de gelijkmachtigheid van twee verzamelingen. Twee verzamelingen zijn namelijk gelijkmachtig als er een bijectie tussen deze verzamelingen bestaat.
Operaties op tweeplaatsige relaties Aangezien relaties in wezen verzamelingen zijn, laten operaties op verzamelingen zich op natuurlijke wijze uitbreiden tot relaties. Laat en tweeplaatsige relaties tussen en zijn.
Doorsnede en vereniging
Als en zowel in als in tot elkaar in relatie staan, ligt het voor de hand te zeggen dat zij tot elkaar in de doorsnede van de beide relaties staan. En omgekeerd zullen elementen die in de doornede tot elkaar in relatie staan, ook tot elkaar in de beide relaties afzonderlijk staan.
De doorsnede van en is de tweeplaatsige relatie tussen en waarvoor geldt: als
Op analoge wijze is de vereniging van en de tweeplaatsige relatie tussen en waarvoor geldt: als
Vat men een tweeplaatsige relatie op als een verzameling geordende paren, overeenkomend met de grafiek van de relatie onder de andere genoemde definitie, dan zijn de doorsnede en vereniging van tweeplaatsige relaties simpelweg de doorsnede en de vereniging zoals gedefinieerd op verzamelingen in het algemeen.
Complement
Het complement van , genoteerd als of als , is de tweeplaatsige relatie tussen en waarvoor geldt: als
Voor alle tweeplaatsige relaties geldt:
Compositie of samenstelling
Laat een tweeplaatsige relatie tussen en zijn, en een tweeplaatsige relatie tussen en . De compositie of samenstelling van en is de tweeplaatsige relatie tussen en waarvoor geldt: als er een is waarvoor
Compositie is associatief:
Daarom wordt meestal alleen geschreven in plaats van of .
Vaak wordt de compositie van en genoteerd als in plaats van , zodat de notatie in overeenstemming is met de notatie voor functiecompositie. Deze keuze doet recht aan het inzicht dat compositie van tweeplaatsige relaties en compositie van functies hetzelfde inhouden, omdat functies bijzondere gevallen van tweeplaatsige relaties zijn.
Inverse
De inverse van is de tweeplaatsige relatie tussen en waarvoor geldt: als
Voor alle tweeplaatsige relaties geldt:
Als links-volledig is, dan is rechts-volledig. Als rechts-volledig is, dan is links-volledig. Als links-definiet is, dan is rechts-definiet. Als rechts-definiet is, dan is links-definiet. Als bijectief is, dan is dat ook.
Eigenschappen van deze operaties Zij en tweeplaatsige relaties tussen en , een tweeplaatsige relatie tussen en , en een tweeplaatsige relatie tussen en .
De doorsnede van en het complement van is de lege relatie tussen en :
De vereniging van en het complement van is de universele relatie tussen en :
De inverse van het complement van is hetzelfde als het complement van de inverse van :
De inverse van de compositie van en is hetzelfde als de compositie van de inverse van en de inverse van :
De inverse is distributief over zowel doorsnede als vereniging:
De compositie is zowel links- als rechtsdistributief over de vereniging: (dit geldt niet voor de doorsnede).
Homogene tweeplaatsige relaties Een homogene tweeplaatsige relatie of tweeplaatsige endorelatie is een tweeplaatsige relatie waarvan het domein en het codomein dezelfde verzameling zijn. Als een homogene tweeplaatsige relatie op is, wordt soms gedefinieerd als het 2-tupel of koppel in plaats van het 3-tupel . Deze wijze van noteren is bijvoorbeeld gebruikelijk in de grafentheorie.
Eigenschappen van homogene tweeplaatsige relaties Een homogene tweeplaatsige relatie op heet
voortzettend: als voor alle er een is zodanig dat . reflexief: als voor alle geldt dat . alternatief: als voor de grafiek van en de identieke afbeelding van geldt: . irreflexief: als er geen is zodanig dat . symmetrisch: als voor alle geldt: als , dan . alternatief: als voor de grafieken van en van geldt: asymmetrisch: als er geen paar is met en .