In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde is de jordan-maat, ook bekend als de jordan-inhoud, een uitbreiding van het begrip grootte, van lengte, oppervlakte en volume, naar meer gecompliceerde vormen, zoals een driehoek, schijf of parallellepipedum. De jordan-maat is naar de bedenker ervan genoemd, naar de Franse wiskundige Camille Jordan.
Een verzameling moet aan bepaalde voorwaarden voldoen om een jordan-maat te kunnen hebben. Een uitbreiding van de jordan-maat naar meer verzamelingen is de lebesgue-maat. Historisch gezien kwam de jordan-maat aan het einde van de 19e eeuw als eerder.
Jordan-maat van een eenvoudige verzameling thumb|Eenvoudige verzameling
In de euclidische ruimte wordt een verzameling die het cartesisch product is van begrensde intervallen.
die aan de linkerkant gesloten en aan de rechterkant open zijn, een -dimensionale rechthoek, of gewoon een rechthoek genoemd. De half-open intervallen zijn hier een keuze, het is ook mogelijk er open of gesloten intervallen voor te nemen. De jordan-maat van een dergelijke rechthoek is gedefinieerd als het product van de lengtes van de intervallen:
Vervolgens beschouwt men de eenvoudige verzamelingen, ook wel polyrechthoeken genoemd. Eenvoudige verzamelingen zijn eindige verenigingen van rechthoeken,
voor elke . Men kan de jordan-maat van niet definiëren als de som van de individuele rechthoeken, omdat een dergelijke representatie van verre van uniek is en er signifcante overlappingen tussen de rechthoeken kunnen bestaan. Iedere eenvoudige verzameling kan worden herschreven als een vereniging van een eindig aantal rechthoeken, rechthoeken die deze keer onderling disjunct zijn. Dit wetende kan men de jordan-maat definiëren als de som van de maten van de disjuncte rechthoeken. Men kan aantonen dat deze definitie van de jordan-maat van onafhankelijk is van de representatie van als een eindige vereniging van disjuncte rechthoeken. Het is in de herschreven stap dat de aanname wordt gebruikt dat rechthoeken zijn opgebouwd uit half-open intervallen.
Uitbreiding naar meer gecompliceerde verzamelingen thumb
Een verzameling, in de afbeelding weergegeven door het gebied binnen de blauwe lijn, is Jordan meetbaar dan en slechts dan als als deze verzameling zowel van binnenuit als van buitenaf door middel van eenvoudige verzamelingen netjes kan worden benaderd. De grenzen daarvan worden als de donkergroene en de paarse lijn afgebeeld.
Merk op dat een verzameling die het product is van gesloten intervallen,
geen eenvoudige verzameling is, evenmin als een bol dit is. Tot nu toe is de verzameling van jordan-meetbare verzamelingen dus nog steeds beperkt. De belangrijkste stap is dan het definiëren van een begrensde verzameling om jordan-meetbaar te zijn als deze verzameling netjes benaderbaar is door eenvoudige verzamelingen, precies op dezelfde manier zoals een functie riemann integreerbaar is als deze functie netjes kan worden benaderd door stuksgewijze constante functies.
Definieer voor een begrensde verzameling haar binnen jordan-maat als
en haar buiten jordan-maat als
waar het infimum en het supremum worden genomen over eenvoudige verzamelingen . Van de verzameling zegt men dat deze jordan-meetbaar is als de binnen jordan-maat van gelijk is aan de buiten jordan-maat. De gemeenschappelijke waarde van de twee maten wordt dan de jordan-maat van genoemd.
Het blijkt dat alle rechthoeken, met of zonder begrenzing, en ook alle ballen, simplices, enzovoort, jordan-meetbaar zijn. Ook als men twee continue functies beschouwt, is de verzameling van punten tussen de grafieken van deze functies jordan-meetbaar, zolang deze verzameling tenminste is begrensd en het gemeenschappelijke domein van de twee functies ook jordan-meetbaar is. Elke eindige vereniging en doorsnede van jordan-meetbare verzamelingen is jordan-meetbaar. Dit geldt ook voor het verschil van twee jordan-meetbare verzamelingen. Een compacte verzameling is niet noodzakelijkerwijs jordan-meetbaar. De Smith-Volterra-Cantor-verzameling is dit bijvoorbeeld niet. De binnenste jordan-maat daarvan verdwijnt, omdat het complement ervan dicht is, maar de buitenste jordan-maat ervan verdwijnt niet, omdat deze niet kleiner dan de lebesgue-maat kan zijn, is hier in feite aan gelijk. Een begrensde open verzameling is dus niet noodzakelijkerwijs jordan-meetbaar. Het complement van een Smith-Volterra-Cantor verzameling is bijvoorbeeld, binnen het interval, niet jordan-meetbaar. Een begrensde verzameling is dan en slechts dan jordan-meetbaar als de indicatorfunctie ervan riemann-integreerbaar is. Men kan ook bewijzen dat een begrensde verzameling dan en slechts dan jordan-meetbaar is, indien de rand ervan Jordan-meetbaar is en een jordan-maat van nul heeft.
Lebesgue-maat Deze laatste eigenschap beperkt de types van verzamelingen die jordan-meetbaar zijn aanzienlijk. De verzameling van rationale getallen die door het interval [0,1] wordt omsloten is dan bijvoorbeeld niet jordan-meetbaar, omdat de grens gelijk is aan [0,1], een interval dat geen jordan-maat nul heeft. Intuïtief gezien is de verzameling van rationale getallen echter een kleine verzameling, aangezien deze verzameling aftelbaar is en zou deze verzameling grootte nul moeten hebben. Dat is inderdaad het geval, maar alleen als men de jordan-maat door de lebesgue-maat vervangt. De lebesgue-maat van een verzameling is gelijk aan de jordan-maat, tenminste zolang een verzameling een jordan-maat heeft. De lebesgue-maat kan op een meer verzamelingen worden gedefinieerd, zoals de verzameling van rationale getallen in het hierboven genoemde interval en ook voor onbegrensd of zelfs fractale verzamelingen. De lebesgue-maat is dus in tegenstelling tot de jordan-maat een echte maat, dat wil zeggen dat een aftelbare vereniging van lebesgue-meetbare verzamelingen lebesgue-meetbaar is, maar dit is niet het geval als men lebesgue vervangt door jordan.
Categorie:Maattheorie