Het lemma van Fatou, genoemd naar Pierre Fatou, ook lemma van Fatou-Lebesgue genoemd, is een belangrijke hulpstelling in de wiskunde die laat zien dat voor een rij niet-negatieve meetbare functies de Lebesgue-integraal van de liminf van de rij begrensd wordt door de liminf van de Lebesgue-integralen van de functies.
Lemma Laat voor iedere natuurlijke
een niet-negatieve meetbare functie zijn op de maatruimte Dan is de functie
meetbaar en er geldt:
Bewijs
Het hier gegeven bewijs maakt gebruik van de monotone-convergentiestelling. Noem
dan is de rij stijgend en puntsgewijs convergent naar
Als , geldt dus ook zodat
Met behulp van de monotone-convergentiestelling, volgt nu:
Voorbeeld Dat de integraal en de liminf niet zomaar verwisseld mogen worden, blijkt onder meer uit het volgende voorbeeld waarin de ongelijkheid strikt geldt.
Neem voorzien van de borel-algebra en de Lebesgue-maat en zij
Dan convergeert de rij functies puntsgewijze naar 0, maar zijn alle integralen gelijk aan 1.
Zie ook Monotone-convergentiestelling Stelling van de gedomineerde convergentie
Categorie:Wiskundige analyse Categorie:Maattheorie Categorie:Integraalrekening Fatou, Lemma van