In de groepentheorie is de symmetriegroep van een object in een, twee of drie dimensies de groep van zijn symmetrieën. Een symmetrie is een afbeelding die het object op zichzelf afbeeldt, invariant laat, en daarbij de afstanden behoudt, dus altijd een isometrie. De bewerking in de groep is de samenstelling van afbeeldingen. Als object komen zeer algemeen niet alleen concrete objecten, zoals voorwerpen, gebouwen en dergelijke in aanmerking, maar vooral wiskundige concepten als meetkundige figuren en patronen.
De symmetriegroep is een isometriegroep, dus een ondergroep van de euclidische groep. Deze moet worden onderscheiden van de abstracte groep: verschillende symmetriegroepen kunnen als abstracte groep gelijk zijn. Dit wordt ook aangeduid met het hebben van dezelfde abstracte of dezelfde algebraïsche structuur.
Men kan zich een voorstelling maken van een symmetriegroep door de symmetrieën na te gaan van een concrete tweedimensionale figuur of een driedimensionaal lichaam. Soms kan men hetzelfde object gebruiken voor het beschrijven van meer symmetrieën, door verschillende kleuringen van het object te onderscheiden. Zo bestaat bijvoorbeeld de symmetriegroep van een gelijkzijdige driehoek in het platte vlak uit de identiteit, de rotaties om het zwaartepunt over 120° en 240°, en de spiegelingen om de hoogtelijnen.
Inkleuren Neem als voorbeeld een driedimensionaal lichaam, dat mogelijk al door kleuren is gemerkt. Markeer het lichaam nog meer, maar zodat ieder tweetal punten met oorspronkelijk verschillende kleuren, hierna nog steeds verschillende kleuren heeft. De symmetriegroep van het lichaam na deze extra kleuring is een ondergroep van die van het lichaam voordat het werd gekleurd. Voor een zwart-wittekening op een vlak, zoals een tekening in zwart op een wit vlak, is de genoemde voldoende voorwaarde bijvoorbeeld vervuld als sommige witte delen rood worden en sommige andere blauw, en sommige zwarte delen groen worden. Als daarentegen bijvoorbeeld een zwart-wittekening wordt gewijzigd door er iets bij te tekenen dan kan de symmetrie ook toenemen, zo heeft een vlak met de letter F erop geen symmetrie, maar wel nadat het spiegelbeeld, dat mag even groot, op een willekeurige plaats en in een willekeurige stand, erbij wordt getekend.
Voor de symmetrie is van de inkleuring alleen van belang de daarmee bepaalde partitie van een euclidische ruimte of deelverzameling daarvan. De achtergrond kan al of niet als element van de partitie worden meegenomen. Dit maakt alleen verschil voor de symmetriegroep als de dimensie van een object kleiner is dan die van zijn achtergrond, bijvoorbeeld een lijnstuk in een vlak. Een nadere inkleuring komt neer op een nesting van de partitie (een nadere onderverdeling in meer delen). In 3D is de "achtergrond" net als in 2D de rest van de ruimte. Als het gaat om zichtbare aspecten van een object in 3D gaat het om de vorm, en om de kleuren van het oppervlak, inclusief de vormen van wat met die kleuren op het oppervlak is geschilderd/getekend/geschreven.
Chiraliteit Isometrieën kunnen worden onderscheiden in die zonder en die met verandering van oriëntatie. Verandering van oriëntatie vindt plaats: in één dimensie bij spiegeling in een punt in twee dimensies bij spiegeling in een lijn, inclusief glijspiegeling in drie dimensies bij spiegeling in een vlak, inclusief glijspiegeling en draaispiegeling
Puntspiegeling in twee dimensies valt hier niet onder.
Een symmetriegroep bevat óf alleen isometrieën zonder verandering van oriëntatie (zo'n symmetriegroep en figuren/objecten met zo'n symmetriegroep heten chiraal), óf zowel met als zonder. In het laatste geval vormen de isometrieën zonder verandering van oriëntatie een ondergroep: de chirale versie van de symmetriegroep, corresponderend met de chirale versie van de betreffende symmetrie.
Als de positie en stand van spiegelsHet woord spiegel wordt hier kortweg gebruikt voor een punt in één dimensie, een lijn in twee dimensies of een vlak in drie dimensies ten opzichte waarvan er spiegelsymmetrie is. buiten beschouwing gelaten wordt zijn alle eindige chirale symmetriegroepen in één dimensie en twee dimensies de chirale versie van precies één achirale symmetriegroep, maar in drie dimensies zijn alle eindige chirale symmetriegroepen de chirale versie van meerdere achirale symmetriegroepen, behalve bij octahedrale en icosahedrale symmetrie (zie onder). Ook zijn alle chirale strookpatroongroepen de chirale versie van meerdere achirale symmetriegroepen. Van de chirale behangpatroongroepen is alleen p6 de chirale versie van maar één achirale symmetriegroep.
In drie dimensies is elke eindige chirale symmetriegroep de chirale versie van precies één achirale symmetriegroep die (de groep voortgebracht door puntspiegeling) bevat, namelijk de directe som van die chirale symmetriegroep en .Bij cyclische groepen wordt dezelfde notatie gebruikt voor de groep en een bepaald element dat de groep voortbrengt.Waar een isometrie gelijkgesteld wordt met een isometrieënpaar wordt bedoeld dat de isometrie de samenstelling van de twee is. Dit wordt alleen toegepast als het resultaat niet afhangt van de volgorde.
In drie dimensies is ook elke translatiegroep de chirale versie van precies één achirale symmetriegroep die bevat, die ook gevormd door toevoeging van de combinaties van een translatie en de inverse, alleen commuteren die niet. Iets dergelijks kan ook gelden bij andere chirale symmetriegroepen, maar dan met dien verstande dat het gaat om de inversie t.o.v. een geschikt punt, bijvoorbeeld op een rotatie-as.
Groepsstructuur Soms heeft een symmetriegroep twee ondergroepen en met de volgende eigenschappen: en hebben alleen de identieke functie gemeenschappelijk. Ieder element van kan geschreven worden als met en . Voor alle en geldt .
Ieder element kan dan op precies één manier geschreven worden als met en . De groepsoperatie van kan teruggebracht worden tot die binnen en : .
In één dimensie, twee dimensies en drie dimensies kan bijvoorbeeld de groep zijn voortgebracht door inversie, en een groep die de inversie niet bevat. In drie dimensies is een ander voorbeeld: bestaat uit rotaties om een as en eventueel spiegelingen om vlakken door die as, en wordt voortgebracht door spiegeling in een vlak loodrecht op de as.
Een en ander kan de structuur van de symmetriegroep verduidelijken; hieronder wordt de notatie gebruikt. Een gevolg van deze relatie (niet hetzelfde!) is dat de algebraïsche structuur van het product is van die van en die van . Ter onderscheiding wordt daarbij het teken gebruikt.
Gelijkstelling van symmetriegroepen Bij de indeling van symmetriegroepen in één dimensie, twee dimensies en drie dimensies is een eerste vereenvoudiging om ze te beschouwen "afgezien van translatie en rotatie". Bij een verplaatsbaar fysiek object (star lichaam) is dit des te meer voor de hand liggend omdat de positie of stand van het fysieke object eigenlijk geen eigenschappen zijn van het object zelf. In één dimensie is er geen rotatie, in twee dimensies is er alleen rotatie in het vlak.
Als object B uit A ontstaat door een directe isometrie dan zijn hun symmetriegroepen geconjugeerde ondergroepen van de euclidische groep, dat wil zeggen dat de precieze symmetriegroep van B verkregen wordt uit die van A door de directe isometrie toe te passen op de eventuele spiegelvlakken en rotatieassen (inclusief die van schroefdraaiing en draaispiegeling), en de translatievectoren. Verder geldt dat als een symmetrie van A is, de bijbehorende symmetrie van B is.
Als het gaat om bijvoorbeeld de symmetrie van een vierkante kleurenplaat dan zijn de symmetrie met spiegels evenwijdig aan de zijden (s2As) en die met diagonale spiegels (s2Diag) niet geconjugeerd als ondergroepen van de symmetriegroep van het vierkant als ruimte, maar wel als ondergroepen van de symmetriegroep van het hele vlak, de omliggende-cirkelschijf of de omliggende achthoek ().
Ook bij deze gelijkstelling kunnen verschillende symmetriegroepen, zelfs een chirale en een achirale, nog algebraïsch gelijk zijn.
Een verdere gelijkstelling van symmetriegroepen is om ze te beschouwen afgezien van uniforme verschaling. Bij eindige symmetriegroepen is dit niet aan de orde omdat bij uniforme verschaling van een object ten opzichte van een gegeven punt de meetkundige symmetriegroep precies gelijk blijft, maar wel als er translaties en/of glijspiegelingen tot symmetriegroepen behoren. Deze verdere gelijkstelling ligt voor de hand omdat de structuur van de meetkundige symmetriegroep niet verandert.
Met deze gelijkstelling zijn er zeven strookpatroongroepen.
Het geheel van symmetrie van een tweedimensionaal patroon met minstens translatiesymmetrie in twee richtingen kan worden ingedeeld in 17 categorieën, de behangpatroongroepen. Binnen een categorie kunnen parameters variëren, maar is het geheel van symmetrie in essentie hetzelfde. De hiervoor genoemde categorieën zijn bij acht hogere soorten symmetrie steeds een eigen behangpatroongroep, terwijl de overige negen behangpatroongroepen ook na de gelijkstellingen nog steeds categorieën van meerdere symmetriegroepen zijn. Het zijn de gevallen met hoogstens rotatiesymmetrie van orde 2, omdat daarbij de lengteverhouding tussen de translatievectoren en/of de hoek ertussen niet vastligt.
Eindige symmetriegroepen Een achirale symmetriegroep bevat evenveel chirale als achirale elementen.
Men kan een object dat qua vorm een bepaalde symmetrie heeft beschilderen (bijvoorbeeld in het geval van een veelvlak door de zijvlakken te kleuren of te nummerenMet nummeren wordt hier bedoeld het coderen van een eigenschap zoals kleur, niet het op het zijvlak plaatsen van een getal als figuur.) zodanig dat er geen symmetrie meer is. Elke stand van het object waarin het dezelfde ruimte inneemt als in de oorspronkelijke stand correspondeert met een element van de symmetriegroep van het onbeschilderde object; de standen zijn te onderscheiden door de beschildering (zie de afbeelding). De standen waarin men het object als fysiek object daadwerkelijk kan plaatsen zijn die waarbij men alleen hoeft te draaien; deze corresponderen met de elementen van de chirale versie van de symmetriegroep. Als het object qua vorm achirale symmetrie heeft, kan men de standen die corresponderen met de overige elementen van de symmetriegroep in een spiegel zien.
Voor objecten in een euclidische ruimte met een eindige symmetriegroep geldt dat alle isometrieën van de ruimte die het object in zichzelf afbeelden een gemeenschappelijk dekpunt hebben. Deze isometrieën worden verder geheel bepaald door hun restrictie tot de eenheidsbol om dat dekpunt. Bij een vast dekpunt komen daarom alle symmetriegroepen 1-op-1 overeen met die op de eenheidssfeer: in 1D twee punten, in 2D een cirkel en in 3D een boloppervlak. Rotatiesymmetrie in 2D wordt dan geheel bepaald door de orde ervan, in 3D mede door de rotatie-as, en daarmee door een tweetal antipodale punten op het boloppervlak.
Eén dimensie De symmetriegroepen zijn de triviale groep (geen symmetrie) en de groep van orde 2 die bestaat uit de identieke afbeelding en een puntspiegeling. In de notatie van orthogonale groepen zijn dit en .
Twee dimensies Van een chirale figuur is de symmetriegroep de cyclische groep van orde , corresponderend met rotatiesymmetrie van orde ten opzichte van een punt (). Het geval geldt voor een figuur zonder symmetrie.
Van de overige figuren is de symmetriegroep de dihedrale groep van orde (). Er zijn spiegels, die hoeken maken van . Als oneven is, verkrijgt men deze uit één spiegel door steeds te draaien over de hoek corresponderend met de rotatiesymmetrie: . Als even is, krijgt men op deze wijze maar de helft van de spiegels, doordat men na draaiingen weer de oorspronkelijke spiegel krijgt. De overige spiegels zitten hier tussenin. Het geval geldt voor een figuur met alleen enkelvoudige spiegelsymmetrie.