250px|thumb|Functiecompositie van de functies en , bijvoorbeeld is
In de wiskunde is functiecompositie, of samenstelling, de constructie van een nieuwe functie uit twee of meer functies, door het na elkaar uitvoeren daarvan. Een tweede of volgende functie wordt toegepast op het resultaat, op het beeld van de voorgaande functie. Het resultaat van de samenstelling van de functies en noemt men een samengestelde functie, genoteerd als , dus:
Dit is in de figuur in beeld gebracht. Daarin is te zien dat de functie bijvoorbeeld aan het origineel 3 het beeld toevoegt. beeldt 1 af op 2. Dat geeft samen dat 2 het beeld van 3 onder de samenstelling is:
Definitie De samenstelling van de twee functies en , genoteerd als , is voor gedefinieerd door: .
Eerst wordt op uitgevoerd en daarna op . De notatie laat zich lezen als gevolgd door , maar ook als na . Merk op dat men soms schrijft voor .
Eigenschappen Associativiteit De functiecompositie is associatief, dat wil zeggen dat voor de functies en geldt dat: , aangezien
en
Commutativiteit De volgorde van de functies is uiteraard van belang, zodat functiecompositie in het algemeen niet commutatief is. Voor de functies en met en
geldt bijvoorbeeld:
en
Identieke afbeeldingen De identieke afbeelding gedraagt zich bij functiecompositie neutraal, voor een functie geldt dat ,
waar en de identieke afbeeldingen zijn op de verzamelingen en .
Relaties De functiecompositie definieert een samengestelde relatie. Belangrijke kenmerken die een functie bezitten kan, zijn injectiviteit – beeldt niet meer dan een element uit op een bepaald element uit af. surjectiviteit – beeldt ten minste een element uit op een bepaald element uit af. bijectiviteit – beeldt precies een element van op een bepaald element uit af. Ieder van deze eigenschappen is ook van toepassing op de samengestelde functie, daarom is: de functiecompositie van injectieve functies weer injectief, de functiecompositie van surjectieve functies weer surjectief en de functiecompositie van bijectieve functies is weer bijectief. Omgekeerd geldt: als een functiecompositie injectief is, dan is injectief. surjectief is, dan is surjectief, bijectief is, dan is injectief en surjectief.
Voorbeelden Als de functies en voorgeschreven worden door de polynomen en , dan ook hun samengestelde functie . kan door substitutie worden uitgerekend. Voor het ingewikkeldere omgekeerde probleem, namelijk: gegeven een polynoom of deze het product is van twee polynomen waarvan de graad minstens 2 is, zijn algoritmen beschreven door Gutierrez (1988) en door Kozen en Landau (1989).. Polynomial Algorithms in Computer Algebra, 1996. 6. Decomposition of polynomials, blz 151, Springer, Wenen Er geldt ook:
Categorie:Hogere-orde functie Categorie:Relaties op verzamelingen Categorie:Wiskundige analyse