In de abstracte algebra is het centrum van een groep de verzameling van elementen in die commutatief zijn met alle andere elementen van :

Het centrum is een ondergroep van , want is niet leeg, omdat voor het eenheidsselement van geldt: voor alle , dus . is gesloten onder de groepsbewerking, omdat voor alle en voor alle . Van elke is ook de inverse , omdat voor alle .

Verder is een abelse ondergroep van , een normaaldeler van en zelfs een strikte karakteristieke ondergroep maar niet altijd volledig karakteristiek. Het centrum van een groep is ook de doorsnede van de centralisators van alle elementen van de groep.

Het centrum van is gelijk aan dan en slechts dan als een abelse groep is. Het andere uiterste is het wanneer het centrum van triviaal is, dat wil zeggen alleen uit het neutrale element bestaat. heeft dan geen centrum of alleen een triviaal centrum. Het centrum is een begrip dat in de algebra meer algemeen voorkomt, voor meer structuren, maar de definitie komt steeds overeen met de hier gegeven definitie voor groepen.

Voorbeelden Het centrum van de groep van inverteerbare -matrices over het lichaam/veld bestaat uit de scalaire matrices . Het centrum van de orthogonale groep is . Het centrum van de quaternionengroep is . Het centrum van de multiplicatieve groep van niet-nulzijnde quaternionen is de multiplicatieve groep van de niet-nulzijnde reële getallen. Niet-abelse enkelvoudige groepen hebben geen centrum.

Conjugatie Voor elk element is er een speciaal automorfisme van , gedefinieerd door:

De elementen en zijn elkaars geconjugeerden. Een element dat met commutatief is, wordt door op zichzelf afgebeeld.

Van het groepshomomorfisme van naar de groep van automorfismen van , gedefinieerd door

is de kern precies het centrum van en is het beeld de groep van inwendige automorfismen van , genoteerd als . Als gevolg van de eerste isomorfiestelling geldt:

De cokern van deze afbeelding is de groep van uitwendige automorfismen, en deze vormen de exacte rij:

Hogere centra Als men het centrum van een groep wegdeelt, ontstaat een rij van factorgroepen, die men de hogere centrale rij noemt.

De kern van de afbeelding heet het -de centrum van , aangegeven door . De definitie van deze rij kan door transfiniete inductie naar de transfiniete ordinalen worden doorgevoerd. De vereniging van alle hogere centra van een groep wordt het hypercentrum genoemd.Deze vereniging zal transfiniete termen inhouden, als de hogere centrale rij niet stabiliseert tijdens een eindige stap.

De stijgende rij van ondergroepen

wordt stabiel bij de index , dus zodat dan en slechts dan als geen centrum heeft.

Volgens het lemma van Grün heeft de factorgroep van een perfecte groep en geen centrum, waardoor men kan stellen dat alle hogere centra gelijk zijn aan . Dit is een geval van stabilisatie op .

Categorie:Groepentheorie